专题26 四边形
聚焦考点☆温习理解
一、四边形的内角和定理及外角和定理
四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。
四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。
推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于180°；
多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。
二、平行四边形
1、平行四边形的概念
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形的性质
（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。
（2）平行四边形的对边平行且相等。
推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
（3）平行四边形的对角线互相平分。
（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。
3、平行四边形的判定
（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
三、矩形
1、矩形的概念
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质
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（1）具有平行四边形的一切性质
（2）矩形的四个角都是直角
（3）矩形的对角线相等
（4）矩形是轴对称图形
3、矩形的判定
（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
四、菱形
1、菱形的概念
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2、菱形的性质
（1）具有平行四边形的一切性质
（2）菱形的四条边相等
（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
（4）菱形是轴对称图形
3、菱形的判定
（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形
（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4、菱形的面积
S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半
五、正方形
1、正方形的概念
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、正方形的性质
（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质
（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等
（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
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（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴
（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形
（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
六、梯形
1、梯形的相关概念
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
2、等腰梯形的性质
（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。
（3）等腰梯形的对角线相等。
（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。
3、等腰梯形的判定
（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形
（2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。
4、梯形中位线定理
梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
名师点睛☆典例分类
考点典例一、四边形的内角和及外角和
【例1】（2016广西来宾第4题）如果一个正多边形的一个外角为30°，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．6 B．11 C．12 D．18
【答案】C．
【解析】
试题分析：这个正多边形的边数：360°÷30°=12，故选C．
考点：多边形内角与外角．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键．
【举一反三】
（2016福建泉州第12题）十边形的外角和是 °．
【答案】360．
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【解析】
试题分析：根据多边形的外角和等于360°即可得十边形的外角和是360°．
考点：多边形内角与外角．
考点典例二、平行四边形的性质与判定
【例2】（2016湖南湘西州第11题）下列说法错误的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
【答案】D．
【解析】
考点：平行四边形的判定．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
【举一反三】
(2016湖北襄阳第7题)如图，在□ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB，AD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H，则下列结论中不能由条件推理得出的是( )
A．AG平分∠DAB B．AD=DH C．DH=BC D．CH=DH
【答案】D.
【解析】
试题分析：由角平分线的作法，依题意可知AG平分∠DAB，A正确；∠DAH＝∠BAH，又AB∥DC，所以∠
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BAH＝∠ADH，所以，∠DAH＝∠ADH，所以，AD＝DH，又AD＝BC，所以，DH＝BC，B、C正确，故答案选D.
考点：平行四边形的性质；平行线的性质.
考点典例三、矩形的性质与判定
【例3】（2016内蒙古包头第17题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE= 度．
【答案】22.5°．
【解析】
考点：矩形的性质；等腰三角形的性质．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．
【举一反三】
（2016辽宁营口第6题）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB=30°，AB=2，则OC的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】A．
【解析】
22
考点：矩形的性质．
考点典例四、菱形的性质与判定
【例4】（2016山东枣庄第9题）如图，四边形ABCD是菱形，，，于H，则DH等于
A． B． C．5 D．4
第9题图
A
B
C
D
H
【答案】A.
【解析】
试题分析：如图，四边形ABCD是菱形，，，根据菱形的性质可得OA=4，OB=3，由勾股定理可得AB=5，再由即可求得DH=,故答案选A.
考点：菱形的性质.
【点睛】本题主要考查了根据菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键.
【举一反三】
（2016青海第11题）如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=8，BD=6，则菱形ABCD的高DH= ．
22
【答案】4.8．
【解析】
考点：菱形的性质．
考点典例五、正方形的性质与判定
【例5】（(2016湖北襄阳第16题)如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点0，E是OC的中点。连接BE，过点A作AM⊥BE于点M交BD于点F则FM的长为 ．
【答案】.
【解析】
22
考点：正方形的性质；锐角三角函数；勾股定理.
【点睛】本题考查了正方形的性质，直角三角形的性质的应用，题目比较典型，难度适中．
【举一反三】
（2016湖北随州第16题）如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是 ．
（1）EF=OE；（2）S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；（3）BE+BF=OA；（4）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE=；（5）OG•BD=AE2+CF2．
【答案】（1），（2），（3），（5）．
【解析】
22
（2）∵S四边形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=S正方形ABCD，
∴S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；故正确；
（3）∴BE+BF=BF+CF=BC=OA；故正确；
（4）过点O作OH⊥BC，
∵BC=1，
∴OH=BC=，
设AE=x，则BE=CF=1﹣x，BF=x，
∴S△BEF+S△COF=BE•BF+CF•OH=x（1﹣x）+（1﹣x）×=﹣（x﹣）2+，
∵a=﹣＜0，
∴当x=时，S△BEF+S△COF最大；
即在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE=；故错误；
（5）∵∠EOG=∠BOE，∠OEG=∠OBE=45°，
∴△OEG∽△OBE，
∴OE：OB=OG：OE，
∴OG•OB=OE2，
22
∵OB=BD，OE=EF，
∴OG•BD=EF2，
∵在△BEF中，EF2=BE2+BF2，
∴EF2=AE2+CF2，
∴OG•BD=AE2+CF2．故正确．
考点：四边形综合题．
考点典例六、等腰梯形的性质与判定
如图，等腰梯形ABCD的周长为16，BC=4，CD=3，则AB= ．
【答案】5.
【解析】
【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，是基础知识要熟练掌握．
【举一反三】
如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC、DB相交于点P，∠BAC=∠CDB=90°，AB=AD=DC．则cos∠DPC的值是（ ）
22
A． B． C． D．
【答案】A．
【解析】
课时作业☆能力提升
一．选择题
1．（2016贵州遵义第8题）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（ ）
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A．AB=AD B．AC⊥BD C．AC=BD D．∠BAC=∠DAC
【答案】C．
【解析】
考点：菱形的判定；平行四边形的性质．
2. （2016湖南株洲第7题）已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（ ）
A．OE=DC B．OA=OC C．∠BOE=∠OBA D．∠OBE=∠OCE
【答案】D．
【解析】
试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，AB∥DC，又∵点E是BC的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴OE=DC，OE∥DC，∴OE∥AB，∴∠BOE=∠OBA，∴选项A、B、C正确；
∵OB≠OC，∴∠OBE≠∠OCE，∴选项D错误；故选D．
考点：平行四边形的性质．
3.（2016广西河池第8题）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为（ ）
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A．150° B．130° C．120° D．100°
【答案】C．
【解析】
考点：平行四边形的性质．
4.（2016广西河池第11题）如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（ ）
A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60° D．∠ACB=60°
【答案】B．
【解析】
试题分析：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴ABCD，∴四边形ABCD为平行四边形，当AC=BC时，平行四边形ACED是菱形．故选B．
考点：菱形的判定；平移的性质．
5. （2016黑龙江绥化第10题）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
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【答案】B．
【解析】
考点：矩形的性质；菱形的判定与性质．
6. （2016四川南充第8题）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】C．
【解析】
试题分析：如图所示：由题意可得：∠1=∠2，AN=MN，∠MGA=90°，则NG=AM，故AN=NG，则∠2=∠4，∵EF∥AB，∴∠4=∠3，∴∠1=∠2=∠3=×90°=30°，∴∠DAG=60°．故选C．
考点：翻折变换（折叠问题）．
7. （2016湖北十堰第8题）如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（ ）
A．140米 B．150米 C．160米 D．240米
【答案】B.
【解析】
22
试题分析：已知多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°，可得多边形的边数为360°÷24°=15，所以小明一共走了：15×10=150米．故答案选B．
考点：多边形内角与外角．
8. （2016山东淄博第8题）如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（ ）
8．
A． B．2 C． D．10﹣5
【答案】B.
【解析】
考点：正方形的性质；全等三角形的判定及性质；勾股定理.
二．填空题
9. （2016河南第10题）如图，在□ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1=20°，则∠2的度数是_________.
22
【答案】110°.
【解析】
试题分析：由平行四边形的性质可得AB∥CD，所以∠1=∠3=20°，根据三角形外角的性质可得∠2=∠3+∠ABE=20°+90°=110°.
考点：平行四边形的性质;三角形外角的性质.
10. （2016湖北十堰第14题）如图，在▱ABCD中，AB=2cm，AD=4cm，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长长 cm．
【答案】4．
【解析】
考点：平行四边形的性质；勾股定理．
11.如图，若该图案是由8个全等的等腰梯形拼成的，则图中的__________º.
【答案】67.5.
【解析】
22
考点：1.多边形内角和定理；2. 等腰梯形的性质.
12.（2016贵州铜仁第15题）将矩形ABCD纸片按如图所示的方式折叠，EF，EG为折痕，试问∠AEF+∠BEG= ．
【答案】90°．
【解析】
试题分析：由折叠的性质，得∠AEF=∠A′EF，∠BEG=∠B′EG，∴∠AEF+∠BEG =180°÷2=90°．故答案为：90°．
考点：翻折变换（折叠问题）．
13.（2016福建泉州第17题）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是AD中点，EF⊥BC于点F，BC=5，EF=3．
（1）若AB=DC，则四边形ABCD的面积S= ；
（2）若AB＞DC，则此时四边形ABCD的面积S′ S（用“＞”或“=”或“＜”填空）．
【答案】(1)15；（2）=．
【解析】
22
=S△PCE+S△BCE
=2S△BCE
=2××BC×EF
=15，
∴当AB＞DC，则此时四边形ABCD的面积S′=S，
考点：平行四边形的判定与性质．
14.（2016江苏盐城第18题）如图，已知菱形ABCD的边长2，∠A=60°，点E、F分别在边AB、AD
22
上，若将△AEF沿直线EF折叠，使得点A恰好落在CD边的中点G处，则EF= ．
【答案】．
【解析】
考点：菱形的性质；翻折变换（折叠问题）．
三、解答题
15.（2016河北第22题）（本小题满分9分）
已知n边形的内角和θ=（n-2）×180°.
（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，说明理由；
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.
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【答案】(1)甲对，乙不对,理由见解析；（2）2.
【解析】
考点：多边形的内角和.
16.（2016四川达州第20题）如图，在▱ABCD中，已知AD＞AB．
（1）实践与操作：作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）猜想并证明：猜想四边形ABEF的形状，并给予证明．
【答案】(1)详见解析；（2）四边形ABEF是菱形，理由详见解析.
【解析】
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考点：角平分线的画法；平行四边形的性质；菱形的判定.
17.（2016湖北鄂州第18题）（本题满分8分）如图，□ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N。
（1）（4分）求证：四边形CMAN是平行四边形。
（2）（4分）已知DE＝4，FN＝3，求BN的长。
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【答案】（1）详见解析；（2）5.
【解析】
考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
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