专题27 与圆有关的概念
聚焦考点☆温习理解
1、圆的定义
在一个个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径。
2、弦
连接圆上任意两点的线段叫做弦。(如图中的AB)
3.直径
经过圆心的弦叫做直径。(如图中的CD)
直径等于半径的2倍。
4.半圆
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆。
5.弧、优弧、劣弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。
弧用符号“⌒”表示,以A,B为端点的弧记作“”,读作“圆弧AB”或“弧AB”。
大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示);小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示)
5、垂径定理及其推论
垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。
推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。
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(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。
推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。
6、圆的对称性
1、圆的轴对称性
圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
2、圆的中心对称性
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
7、弦心距
从圆心到弦的距离叫做弦心距。
名师点睛☆典例分类
考点典例一、垂径定理
【例1】(2016湖北黄石第8题)如图所示,⊙的半径为13,弦的长度是24,,垂足为,则( )
A.5 B.7 C.9 D. 11
第8题图
【答案】A.
【解析】
考点:垂径定理;勾股定理.
【点睛】根据“两条辅助线(半径和边心距),一个直角三角形,两个定理(垂径定理、勾股定理)”解决即可。
【举一反三】
(2016湖南长沙第16题)如图,在⊙O中,弦AB=6,圆心O到AB的距离OC=2,则⊙O的半径长为 .
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【答案】.
【解析】
试题分析:已知弦AB=6,圆心O到AB的距离OC为2,根据垂径定理可得AC=BC=3,∠ACO=90°,由勾股定理可求得OA=.
考点:垂径定理;勾股定理.
考点典例二、求边心距
【例2】(2016贵州贵阳第8题)小颖同学在手工制作中,把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上,若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上,则圆的半径为( )
A.cm B.cm C.cm D.cm
【答案】B.
【解析】
考点:三角形的外接圆与外心;等边三角形的性质.
【点睛】作出几何图形,再由外接圆半径、边心距和边长的一半组成的三角形中,已知外接圆半径和特殊角,可求得边心距.考查了等边三角形的性质.注意:等边三角形的外接圆和内切圆是同心圆,圆心到顶点的距离等于外接圆半径,边心距等于内切圆半径.
【举一反三】
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如图,半径为5的⊙A中,弦BC,ED所对的圆心角分别是∠BAC,∠EAD. 已知DE=6,∠BAC+∠EAD=180°,则弦BC的弦心距等于( )
A. B. C. 4 D. 3
【答案】D.
考点:1.圆周角定理;2.全等三角形的判定和性质;3.垂径定理;4.三角形中位线定理.
【分析】如答图,过点A作AH⊥BC于H,作直径CF,连接BF,
考点典例三、最短路线问题
【例3】如图,MN是半径为1的⊙O的直径,点A在⊙O上,∠AMN=30°,点B为劣弧AN的中点.点P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值为( )
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A. B.1 C. 2 D. 2
【答案】A.
【解析】作点B关于MN的对称点B′,连接OA、OB、OB′、AB′,
则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点,PA+PB的最小值=AB′,
∵∠AMN=30°,
∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°,
∵点B为劣弧AN的中点,
∴∠BON=∠AON=×60°=30°,
由对称性,∠B′ON=∠BON=30°,
∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°,
∴△AOB′是等腰直角三角形,
∴AB′=OA=×1=,
即PA+PB的最小值=.
故选A.
【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题,在同圆或等圆中,同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍的性质,作辅助线并得到△AOB′是等腰直角三角形是解题的关键.
【举一反三】
(2016浙江台州第10题)如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,以边AB的中点O为圆心,作半圆与AC相切,点P,Q分别是边BC和半圆上的动点,连接PQ,则PQ长的最大值与最小值的和是( )
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A. 6 B. C. 9 D.
【答案】C.
【解析】
考点:切线的性质;最值问题.
课时作业☆能力提升
一.选择题
1.(2016福建南平第6题)若正六边形的半径长为4,则它的边长等于( )
A.4 B.2 C. D.
【答案】A.
【解析】
考点:正多边形和圆.
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2. (2016内蒙古巴彦淖尔第3题)如图,线段AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,∠CAB=40°,则∠ABD与∠AOD分别等于( )
A.40°,80° B.50°,100° C.50°,80° D.40°,100°
【答案】B.
【解析】
试题分析:∵CD⊥AB,∴∠AEC=90°,∵∠CAB=40°,∴∠C=50°,∴∠ABD=∠C=50°,∵OB=OD,∴∠ABD=∠ODB=50°,∴∠AOD=∠ABD+∠ODB=100°,故选B.
考点:圆周角定理;垂径定理.
3.已知⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC的长为( )
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C.
【解析】
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考点:1.垂径定理;2.勾股定理;3.分类思想的应用.
4.已知⊙O的面积为2π,则其内接正三角形的面积为【 】
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】
5. 如图,MN是⊙O的直径,点A是半圆上的三等分点,点B是劣弧AN的中点,点P是直径MN上一动点.若MN=2,则PA+PB的最小值是( )
A.2 B. C.1 D.2
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【答案】D.
【解析】作点A关于MN的对称点A′,连接A′B,交MN于点P,连接OA′,OA,OB,PA,AA′.
∵点A与A′关于MN对称,点A是半圆上的一个三等分点,
∴∠A′ON=∠AON=60°,PA=PA′,
∵点B是弧AN的中点,
∴∠BON=30°,
∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°,
又∵OA=OA′=,
∴A′B=2.
∴PA+PB=PA′+PB=A′B=2.
故选D.
二.填空题
6. (2016贵州贵阳第14题)如图,已知⊙O的半径为6cm,弦AB的长为8cm,P是AB延长线上一点,BP=2cm,则tan∠OPA的值是 .
【答案】.
【解析】
考点:垂径定理;解直角三角形.
7. (2016黑龙江绥化第16题)如图,⊙O的直径CD=20cm,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为M,若
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OM=6cm,则AB的长为 cm.
【答案】16.
【解析】
试题分析:连接OA,∵⊙O的直径CD=20cm,∴OA=10cm,在Rt△OAM中,由勾股定理得:AM==8cm,∴由垂径定理得:AB=2AM=16cm.故答案为:16.
考点:垂径定理.
8.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,OC=5cm,CD=6cm,则OE= cm.
【答案】4.
【解析】
考点:1.垂径定理;2.勾股定理.
9.如图, AB为⊙O的直径,CD⊥AB,若AB=10,CD=8,则圆心O到弦CD的距离为 .
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【答案】3.
【解析】连接OC,由AB=10得出OC的长,再根据垂径定理求出CE的长,根据勾股定理求出OE即可.
试题解析:连接OC,
∵AB为⊙O的直径,AB=10,
∴OC=5,
∵CD⊥AB,CD=8,
∴CE=4,
∴OE=.
考点:1.垂径定理;2.勾股定理.
10.如图,AB为⊙O的直径,CD⊥AB,若AB=10,CD=8,则圆心O到弦CD的距离为 .
【答案】3.
【解析】
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考点:1.垂径定理;2.勾股定理.
11.⊙O的半径为2,弦BC=2,点A是⊙O上一点,且AB=AC,直线AO与BC交于点D,则AD的长为 .
【答案】1或3
【解析】
试题分析:如图所示:
∵⊙O的半径为2,弦BC=2,点A是⊙O上一点,且AB=AC,
∴AD⊥BC,
∴BD=BC=,
在Rt△OBD中,
∵BD2+OD2=OB2,即()2+OD2=22,解得OD=1,
∴当如图1所示时,AD=OA﹣OD=2﹣1=1;
当如图2所示时,AD=OA+OD=2+1=3.
故答案为:1或3.
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考点:1、垂径定理;2、勾股定理.
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