2017年中考数学知识点专题28与圆有关的角
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资料简介
专题28 与圆有关的角 聚焦考点☆温习理解 一、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 ‎1、圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角。‎ ‎2、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦想等,所对的弦的弦心距相等。‎ 推论:在同圆或等圆中,如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。‎ ‎3、圆周角 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。‎ ‎4、圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。‎ 推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。‎ 推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。‎ 推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。‎ 名师点睛☆典例分类 考点典例一、圆心角、圆周角之间的换算.‎ ‎【例1】(2016山东济宁第5题)如图,在⊙O中,=,∠AOB=40°,则∠ADC的度数是(  )‎ A.40° B.30° C.20° D.15°‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】‎ 15‎ 考点:圆周角定理.‎ ‎【点睛】此题运用了圆周角定理.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.‎ ‎【举一反三】‎ ‎(2016湖南娄底第6题)如图,已知AB是⊙O的直径,∠D=40°,则∠CAB的度数为(  )‎ A.20° B.40° C.50° D.70°‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:根据圆周角定理可得∠B=∠D=40°,∠ACB=90°,所以∠CAB=90°﹣40°=50°.故答案选C.‎ 考点:圆周角定理.‎ 考点典例二、圆周角与垂径定理的关系 ‎【例2】(2016内蒙古巴彦淖尔第3题)如图,线段AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,∠CAB=40°,则∠ABD与∠AOD分别等于(  )‎ A.40°,80°      B.50°,100°      C.50°,80°      D.40°,100°‎ ‎【答案】B.‎ ‎【解析】‎ 15‎ 考点:圆周角定理;垂径定理.‎ ‎【举一反三】‎ 如图,在⊙O中,CD⊥AB于E,若∠BAD=30°,且BE=2,则CD= .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:如答图,连接OD,设⊙O的半径为r,‎ ‎∵∠BAD=30°,‎ ‎∴∠BOD=2∠BAD=60°.‎ ‎∵CD⊥AB,‎ ‎∴DE=CE.‎ 在Rt△ODE中,OE=OB-BE=r-2,OD=r,‎ ‎∵,‎ ‎∴ ,解得r =4,‎ ‎∴OE=4-2=2,‎ ‎∴.‎ ‎∴CD=2DE=.‎ 考点典例三 圆周角与切线之间的关系 15‎ ‎【例3】(2016海南省第12题)如图,AB是⊙O的直径,直线PA与⊙O相切于点A,PO交⊙O于点C,连接BC.若∠P=40°,则∠ABC的度数为(  )‎ A.20° B.25° C.40° D.50°‎ ‎【答案】B.‎ ‎【解析】‎ ‎【举一反三】‎ ‎(2016黑龙江哈尔滨第18题)如图,AB为⊙O的直径,直线l与⊙O相切于点C,AD⊥l,垂足为D,AD交⊙O于点E,连接OC、BE.若AE=6,OA=5,则线段DC的长为      .‎ ‎【答案】4.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:令OC交BE于F,∵AB为⊙O的直径,∴∠AEB=90°,∵AD⊥CD,∴BE∥CD,∵CD为⊙O的切线,∴OC⊥CD,∴OC⊥BE,∴四边形CDEF为矩形,∴CD=EF,在Rt△ABE中,,∵OF⊥BE,∴BF=EF=4,∴CD=4.‎ 考点:1切线;2矩形的性质;3勾股定理.‎ 考点典例四 与圆周角有关的证明 15‎ ‎【例4】(2016湖北黄石第19题)(本小题满分7分)如图,⊙O的直径为,点在圆周上(异于),.‎ ‎(1)若=3,,求的值;‎ ‎(2)若是的平分线,求证:直线是⊙O的切线.‎ 第19题图 ‎【答案】(1)4;(2)详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎(2)证明:是的角平分线,‎ 又 ‎∽‎ 又,‎ 是⊙的切线. ‎ 解法二(2)证明:是的角平分线,‎ 圆的性质,‎ 即∥,又,是⊙的切线 考点:圆周角定理;勾股定理;切线的判定. ‎ ‎【举一反三】‎ 15‎ 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径作⊙O交AB于点D,连接CD.‎ ‎(1)求证:∠A=∠BCD;‎ ‎(2)若M为线段BC上一点,试问当点M在什么位置时,直线DM与⊙O相切?并说明理由.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2)当MC=MD(或点M是BC的中点)时,直线DM与⊙O相切,理由见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎∵∠ACB=90°,∴∠DCB+∠ACD=90°. ∴∠DCB=∠A.‎ ‎(2)当MC=MD(或点M是BC的中点)时,直线DM与⊙O相切,理由如下:‎ 如答图,连接DO,‎ ‎∵DO=CO,∴∠1=∠2.‎ ‎∵DM=CM,∴∠4=∠3.‎ ‎∵∠2+∠4=90°,∴∠1+∠3=90°. ∴直线DM与⊙O相切.‎ 15‎ 课时作业☆能力提升 一.选择题 ‎1.(2016江苏常州第5题)如图,把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上,两直角边与圆弧分别交于点M、N,量得OM=8cm,ON=6cm,则该圆玻璃镜的半径是(  )‎ A.cm      B.5cm      C.6cm      D.10cm ‎【答案】B.‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ 考点:圆周角定理;勾股定理.‎ ‎2. (2016四川达州第7题)如图,半径为3的⊙A经过原点O和点C(0,2),B是y轴左侧⊙A优弧上一点,则tan∠OBC为(  )‎ 15‎ A. ‎ B.2 C. D.‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】‎ 考点:圆周角定理;锐角三角函数的定义.‎ ‎3. (2016湖北襄阳第8题)如图,I是∆ABC的内心,AI向延长线和△ABC的外接圆相交于点D,连接BI,BD,DC下列说法中错误的一项是( )‎ A.线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合 B.线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI熏合 C.∠CAD绕点A顺时针旋转一定能与∠DAB重合 D.线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合 ‎【答案】D.‎ ‎【解析】‎ 15‎ 考点:内心的概念;圆周角定理.‎ ‎4. (2016湖南娄底第6题)如图,已知AB是⊙O的直径,∠D=40°,则∠CAB的度数为(  )‎ A.20° B.40° C.50° D.70°‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:根据圆周角定理可得∠B=∠D=40°,∠ACB=90°,所以∠CAB=90°﹣40°=50°.故答案选C.‎ 考点:圆周角定理.‎ ‎5. (2016内蒙古巴彦淖尔第3题)如图,线段AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,∠CAB=40°,则∠ABD与∠AOD分别等于(  )‎ A.40°,80°      B.50°,100°      C.50°,80°      D.40°,100°‎ ‎【答案】B.‎ ‎【解析】‎ 考点:圆周角定理;垂径定理.‎ ‎6.如图所示,点A,B,C在圆O上,∠A=64°,则∠BOC的度数是(  )‎ 15‎ ‎  A. 26° B. 116° C. 128° D. 154°‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】 ‎ 试题分析:∵∠A=64°,‎ ‎∴∠BOC=2∠A=2×64°=128°.‎ 故选C.‎ 考点:圆周角定理.‎ 二.填空题 ‎1. (2016内蒙古包头第18题)如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的切线与AB的延长线交于点P,连接AC,若∠A=30°,PC=3,则BP的长为      .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 考点:切线的性质;锐角三角函数.‎ ‎2. (2016湖南湘西州第7题)如图,在⊙O中,圆心角∠AOB=70°,那么圆周角∠C=      .‎ 15‎ ‎【答案】35°.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:根据在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,可得∠C=∠AOB=×70°=35°.‎ 考点:圆周角定理.‎ ‎3. (2016山东枣庄第15题)如图,在半径为3的⊙O中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD,若AC=2,则tanD=    . ‎ 第15题图 ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:如图,连接BC,根据直径所对的圆周角为直角可得△ACB为直角三角形,在直角三角形△ACB中,AC=2,AB=6,由勾股定理可得BC=4,由圆周角定理可得∠A=∠D,所以tanD=tanA=.‎ 考点:圆周角定理;勾股定理;锐角三角函数.‎ ‎4. (2016贵州铜仁第16题)如图,点A,B,C在⊙O上,∠OBC=18°,则∠A= .‎ 15‎ ‎【答案】72°.‎ ‎【解析】‎ 考点:圆周角定理.‎ ‎5. (2016浙江台州第13题)如图,△ABC的外接圆O的半径为2,∠C=40°,则的长是 .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:∵∠C=40°,∴∠AOB=80°,∴的长是=.故答案为:.‎ 考点:三角形的外接圆与外心;弧长的计算.‎ ‎6. (2016广西来宾第18题)如图,在⊙O中,点A、B、C在⊙O上,且∠ACB=110°,则∠α= .‎ ‎【答案】140°.‎ ‎【解析】‎ 15‎ 考点:圆周角定理.‎ ‎7. (2016广西河池第16题)如图,AB是⊙O的直径,点C,D都在⊙O上,∠ABC=50°,则∠BDC的大小是 .‎ ‎【答案】40°.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:∵∠ABC=50°,∴的度数为100°,∵AB为直径,∴的度数为80°,∴∠BDC=×80°=40°,故答案为:40°.‎ 考点:圆周角定理.‎ ‎8.(2016青海第10题)如图,在⊙O中,AB为直径,CD为弦,已知∠CAB=50°,则∠ADC=      .‎ ‎【答案】40°.‎ ‎【解析】‎ 15‎ 考点:圆周角定理.‎ ‎9.(2016重庆A卷第15题)如图,OA,OB是⊙O的半径,点C在⊙O上,连接AC,BC,若∠AOB=120°,则∠ACB= 度.‎ ‎【答案】60.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:∵OA⊥OB,∴∠AOB=120°,∴∠ACB=120°×=60°,故答案为:60.‎ 考点:圆周角定理.‎ ‎10.(2016辽宁葫芦岛第15题)如图,A,B,C,D是⊙O上的四个点,∠C=110°,则∠BOD=      度.‎ ‎【答案】140.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:已知A,B,C,D是⊙O上的四个点,∠C=110°,可知四边形ABCD是圆内接四边形,根据圆内接四边形对角互补和可得∠C+∠A=180°,再由∠A=70°,∠BOD=2∠A,可得∠BOD=140°.‎ 考点:圆周角定理;圆内接四边形的性质.‎ 三、解答题 ‎1.(2016湖北黄石第19题)(本小题满分7分)如图,⊙O的直径为,点在圆周上(异于),.‎ ‎(1)若=3,,求的值;‎ ‎(2)若是的平分线,求证:直线是⊙O的切线.‎ 15‎ 第19题图 ‎【答案】(1)4;(2)详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎(2)证明:是的角平分线,‎ 又 ‎∽‎ 又,‎ 是⊙的切线. ‎ 解法二(2)证明:是的角平分线,‎ 圆的性质,‎ 即∥,又,是⊙的切线 考点:圆周角定理;勾股定理;切线的判定.‎ 15‎

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