专题28 与圆有关的角
聚焦考点☆温习理解
一、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
1、圆心角
顶点在圆心的角叫做圆心角。
2、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦想等,所对的弦的弦心距相等。
推论:在同圆或等圆中,如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
3、圆周角
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
4、圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
名师点睛☆典例分类
考点典例一、圆心角、圆周角之间的换算.
【例1】(2016山东济宁第5题)如图,在⊙O中,=,∠AOB=40°,则∠ADC的度数是( )
A.40° B.30° C.20° D.15°
【答案】C.
【解析】
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考点:圆周角定理.
【点睛】此题运用了圆周角定理.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
【举一反三】
(2016湖南娄底第6题)如图,已知AB是⊙O的直径,∠D=40°,则∠CAB的度数为( )
A.20° B.40° C.50° D.70°
【答案】C.
【解析】
试题分析:根据圆周角定理可得∠B=∠D=40°,∠ACB=90°,所以∠CAB=90°﹣40°=50°.故答案选C.
考点:圆周角定理.
考点典例二、圆周角与垂径定理的关系
【例2】(2016内蒙古巴彦淖尔第3题)如图,线段AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,∠CAB=40°,则∠ABD与∠AOD分别等于( )
A.40°,80° B.50°,100° C.50°,80° D.40°,100°
【答案】B.
【解析】
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考点:圆周角定理;垂径定理.
【举一反三】
如图,在⊙O中,CD⊥AB于E,若∠BAD=30°,且BE=2,则CD= .
【答案】.
【解析】
试题分析:如答图,连接OD,设⊙O的半径为r,
∵∠BAD=30°,
∴∠BOD=2∠BAD=60°.
∵CD⊥AB,
∴DE=CE.
在Rt△ODE中,OE=OB-BE=r-2,OD=r,
∵,
∴ ,解得r =4,
∴OE=4-2=2,
∴.
∴CD=2DE=.
考点典例三 圆周角与切线之间的关系
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【例3】(2016海南省第12题)如图,AB是⊙O的直径,直线PA与⊙O相切于点A,PO交⊙O于点C,连接BC.若∠P=40°,则∠ABC的度数为( )
A.20° B.25° C.40° D.50°
【答案】B.
【解析】
【举一反三】
(2016黑龙江哈尔滨第18题)如图,AB为⊙O的直径,直线l与⊙O相切于点C,AD⊥l,垂足为D,AD交⊙O于点E,连接OC、BE.若AE=6,OA=5,则线段DC的长为 .
【答案】4.
【解析】
试题分析:令OC交BE于F,∵AB为⊙O的直径,∴∠AEB=90°,∵AD⊥CD,∴BE∥CD,∵CD为⊙O的切线,∴OC⊥CD,∴OC⊥BE,∴四边形CDEF为矩形,∴CD=EF,在Rt△ABE中,,∵OF⊥BE,∴BF=EF=4,∴CD=4.
考点:1切线;2矩形的性质;3勾股定理.
考点典例四 与圆周角有关的证明
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【例4】(2016湖北黄石第19题)(本小题满分7分)如图,⊙O的直径为,点在圆周上(异于),.
(1)若=3,,求的值;
(2)若是的平分线,求证:直线是⊙O的切线.
第19题图
【答案】(1)4;(2)详见解析.
【解析】
(2)证明:是的角平分线,
又
∽
又,
是⊙的切线.
解法二(2)证明:是的角平分线,
圆的性质,
即∥,又,是⊙的切线
考点:圆周角定理;勾股定理;切线的判定.
【举一反三】
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如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径作⊙O交AB于点D,连接CD.
(1)求证:∠A=∠BCD;
(2)若M为线段BC上一点,试问当点M在什么位置时,直线DM与⊙O相切?并说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)当MC=MD(或点M是BC的中点)时,直线DM与⊙O相切,理由见解析.
【解析】
∵∠ACB=90°,∴∠DCB+∠ACD=90°. ∴∠DCB=∠A.
(2)当MC=MD(或点M是BC的中点)时,直线DM与⊙O相切,理由如下:
如答图,连接DO,
∵DO=CO,∴∠1=∠2.
∵DM=CM,∴∠4=∠3.
∵∠2+∠4=90°,∴∠1+∠3=90°. ∴直线DM与⊙O相切.
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课时作业☆能力提升
一.选择题
1.(2016江苏常州第5题)如图,把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上,两直角边与圆弧分别交于点M、N,量得OM=8cm,ON=6cm,则该圆玻璃镜的半径是( )
A.cm B.5cm C.6cm D.10cm
【答案】B.
【解析】
考点:圆周角定理;勾股定理.
2. (2016四川达州第7题)如图,半径为3的⊙A经过原点O和点C(0,2),B是y轴左侧⊙A优弧上一点,则tan∠OBC为( )
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A. B.2 C. D.
【答案】C.
【解析】
考点:圆周角定理;锐角三角函数的定义.
3. (2016湖北襄阳第8题)如图,I是∆ABC的内心,AI向延长线和△ABC的外接圆相交于点D,连接BI,BD,DC下列说法中错误的一项是( )
A.线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合
B.线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI熏合
C.∠CAD绕点A顺时针旋转一定能与∠DAB重合
D.线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合
【答案】D.
【解析】
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考点:内心的概念;圆周角定理.
4. (2016湖南娄底第6题)如图,已知AB是⊙O的直径,∠D=40°,则∠CAB的度数为( )
A.20° B.40° C.50° D.70°
【答案】C.
【解析】
试题分析:根据圆周角定理可得∠B=∠D=40°,∠ACB=90°,所以∠CAB=90°﹣40°=50°.故答案选C.
考点:圆周角定理.
5. (2016内蒙古巴彦淖尔第3题)如图,线段AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,∠CAB=40°,则∠ABD与∠AOD分别等于( )
A.40°,80° B.50°,100° C.50°,80° D.40°,100°
【答案】B.
【解析】
考点:圆周角定理;垂径定理.
6.如图所示,点A,B,C在圆O上,∠A=64°,则∠BOC的度数是( )
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A. 26° B. 116° C. 128° D. 154°
【答案】C.
【解析】
试题分析:∵∠A=64°,
∴∠BOC=2∠A=2×64°=128°.
故选C.
考点:圆周角定理.
二.填空题
1. (2016内蒙古包头第18题)如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的切线与AB的延长线交于点P,连接AC,若∠A=30°,PC=3,则BP的长为 .
【答案】.
【解析】
考点:切线的性质;锐角三角函数.
2. (2016湖南湘西州第7题)如图,在⊙O中,圆心角∠AOB=70°,那么圆周角∠C= .
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【答案】35°.
【解析】
试题分析:根据在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,可得∠C=∠AOB=×70°=35°.
考点:圆周角定理.
3. (2016山东枣庄第15题)如图,在半径为3的⊙O中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD,若AC=2,则tanD= .
第15题图
【答案】.
【解析】
试题分析:如图,连接BC,根据直径所对的圆周角为直角可得△ACB为直角三角形,在直角三角形△ACB中,AC=2,AB=6,由勾股定理可得BC=4,由圆周角定理可得∠A=∠D,所以tanD=tanA=.
考点:圆周角定理;勾股定理;锐角三角函数.
4. (2016贵州铜仁第16题)如图,点A,B,C在⊙O上,∠OBC=18°,则∠A= .
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【答案】72°.
【解析】
考点:圆周角定理.
5. (2016浙江台州第13题)如图,△ABC的外接圆O的半径为2,∠C=40°,则的长是 .
【答案】.
【解析】
试题分析:∵∠C=40°,∴∠AOB=80°,∴的长是=.故答案为:.
考点:三角形的外接圆与外心;弧长的计算.
6. (2016广西来宾第18题)如图,在⊙O中,点A、B、C在⊙O上,且∠ACB=110°,则∠α= .
【答案】140°.
【解析】
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考点:圆周角定理.
7. (2016广西河池第16题)如图,AB是⊙O的直径,点C,D都在⊙O上,∠ABC=50°,则∠BDC的大小是 .
【答案】40°.
【解析】
试题分析:∵∠ABC=50°,∴的度数为100°,∵AB为直径,∴的度数为80°,∴∠BDC=×80°=40°,故答案为:40°.
考点:圆周角定理.
8.(2016青海第10题)如图,在⊙O中,AB为直径,CD为弦,已知∠CAB=50°,则∠ADC= .
【答案】40°.
【解析】
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考点:圆周角定理.
9.(2016重庆A卷第15题)如图,OA,OB是⊙O的半径,点C在⊙O上,连接AC,BC,若∠AOB=120°,则∠ACB= 度.
【答案】60.
【解析】
试题分析:∵OA⊥OB,∴∠AOB=120°,∴∠ACB=120°×=60°,故答案为:60.
考点:圆周角定理.
10.(2016辽宁葫芦岛第15题)如图,A,B,C,D是⊙O上的四个点,∠C=110°,则∠BOD= 度.
【答案】140.
【解析】
试题分析:已知A,B,C,D是⊙O上的四个点,∠C=110°,可知四边形ABCD是圆内接四边形,根据圆内接四边形对角互补和可得∠C+∠A=180°,再由∠A=70°,∠BOD=2∠A,可得∠BOD=140°.
考点:圆周角定理;圆内接四边形的性质.
三、解答题
1.(2016湖北黄石第19题)(本小题满分7分)如图,⊙O的直径为,点在圆周上(异于),.
(1)若=3,,求的值;
(2)若是的平分线,求证:直线是⊙O的切线.
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第19题图
【答案】(1)4;(2)详见解析.
【解析】
(2)证明:是的角平分线,
又
∽
又,
是⊙的切线.
解法二(2)证明:是的角平分线,
圆的性质,
即∥,又,是⊙的切线
考点:圆周角定理;勾股定理;切线的判定.
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