专题31 图形的变换
聚焦考点☆温习理解
一、平移
1、定义
把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同,图形的这种移动叫做平移变换,简称平移。
2、性质
(1)平移不改变图形的大小和形状,但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动
(2)连接各组对应点的线段平行(或在同一直线上)且相等。
二、轴对称
1、定义
把一个图形沿着某条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称,该直线叫做对称轴。
2、性质
(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形。
(2)如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
(3)两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上。
3、判定
如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。
4、轴对称图形
把一个图形沿着某条直线折叠,如果直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴。
三、旋转
1、定义
把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转,其中O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角。
2、性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等。
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(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
四、中心对称
1、定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心。
2、性质
(1)关于中心对称的两个图形是全等形。
(2)关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分。
(3)关于中心对称的两个图形,对应线段平行(或在同一直线上)且相等。
3、判定
如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称。
4、中心对称图形
把一个图形绕某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个店就是它的对称中心。
考点五、坐标系中对称点的特征
1、关于原点对称的点的特征
两个点关于原点对称时,它们的坐标的符号相反,即点P(x,y)关于原点的对称点为P′(-x,-y)
2、关于x轴对称的点的特征
两个点关于x轴对称时,它们的坐标中,x相等,y的符号相反,即点P(x,y)关于x轴的对称点为P′(x,-y)
3、关于y轴对称的点的特征
两个点关于y轴对称时,它们的坐标中,y相等,x的符号相反,即点P(x,y)关于y轴的对称点为P′(-x,y)
名师点睛☆典例分类
考点典例一、轴对称变换(含折叠)问题
【例1】(2016山东威海第12题)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点,将△ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内点F处,连接CF,则CF的长为( )
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A. B. C. D.
【答案】D.
【解析】
考点:翻折变换;矩形的性质;勾股定理.
【点睛】本题考查了翻折变换的性质,矩形的性质,勾股定理,熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出BE的长度是解题的关键,也是本题的突破口.
【举一反三】
(2016四川南充第8题)如图,对折矩形纸片ABCD,使AB与DC重合得到折痕EF,将纸片展平;再一次折叠,使点D落到EF上点G处,并使折痕经过点A,展平纸片后∠DAG的大小为( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
【答案】C.
【解析】
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考点:翻折变换(折叠问题).
考点典例二、点的对称
【例2】(2016湖北武汉第6题)已知点A(a,1)与点A′(5,b)关于坐标原点对称,则实数a、b的值是( )
A.a=5,b=1 B.a=-5,b=1
C.a=5,b=-1 D.a=-5,b=-1
【答案】D.
【解析】
试题分析:已知点A(a,1)与点A′(5,b)关于坐标原点对称,根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标互为相反数可得a=-5,b=-1,故答案选D.
考点:关于原点对称的点的坐标.
【点睛】关于原点对称的点的坐标特征是横纵坐标互为相反数.
考点典例三、平移
【例3】(2016浙江台州第12题)如图,把三角板的斜边紧靠直尺平移,一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”,则顶点C平移的距离CC′= .
【答案】.
【解析】
试题分析:∵把三角板的斜边紧靠直尺平移,一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”,∴三角板向右平移了5个单位,∴顶点C平移的距离CC′=5.故答案为:5.
考点:平移的性质.
【点睛】根据平移的基本性质,①平移不改变图形的形状和大小;②
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经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等;即可求出答案.
【举一反三】
如图,如果把△ABC的顶点A先向下平移3格,再向左平移1格到达A′点,连接A′B,则线段A′B与线段AC的关系是( )
A.垂直 B.相等 C.平分 D.平分且垂直[来
【答案】D.
【解析】
考点典例四、旋转变换(含中心对称)问题
【例4】(2016新疆生产建设兵团第5题)如图所示,将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转,使得点B,A,C′在同一条直线上,则三角板ABC旋转的角度是( )
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A.60° B.90° C.120° D.150°
【答案】D.
【解析】
试题分析:根据旋转角的定义,两对应边的夹角就是旋转角,可得旋转角是∠CAC′=180°﹣30°=150°.故答案选D.
考点:旋转的性质.
【点睛】根据旋转角的定义,两对应边的夹角就是旋转角,即可得结论.
【举一反三】
(2016辽宁大连第11题)如图,将△ABC绕点A逆时针旋转的到△ADE,点C和点E是对应点,若∠CAE=90°,AB=1,则BD= .
【答案】.
【解析】
试题分析:.
考点:旋转的性质;勾股定理.
课时作业☆能力提升
1. (2016海南省第10题)在平面直角坐标系中,将△AOB绕原点O顺时针旋转180°后得到△A1OB1,若点B的坐标为(2,1),则点B的对应点B1的坐标为( )
A.(1,2) B.(2,﹣1) C.(﹣2,1) D.(﹣2,﹣1)
【答案】D.
【解析】
试题分析:根据题意可知B1与B关于原点中心对称,而关于原点中心对称点的横纵坐标互为相反数,因此B1
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的坐标为(-2,-1),故选D.
考点:坐标与图形变化.
2. (2016江苏苏州第17题)如图,在△ABC中,AB=10,∠B=60°,点D、E分别在AB、BC上,且BD=BE=4,将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE(点B′在四边形ADEC内),连接AB′,则AB′的长为 .
【答案】2.
【解析】
考点:1轴对称;2等边三角形.
3. (2016四川甘孜州第10题)如图,在5×5的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,若将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′,则A点运动的路径的长为( )
A.π B.2π C.4π D.8π
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【答案】B.
【解析】
考点:弧长的计算;旋转的性质.
4. (2016贵州铜仁第10题)如图,正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CE=2DE.将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连结AG、CF.下列结论:①△ABG≌△AFG;②BG=GC;③EG=DE+BG;④AG∥CF;⑤S△FGC=3.6.其中正确结论的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】D.
【解析】
试题分析:∵正方形ABCD的边长为6,CE=2DE,∴DE=2,EC=4,∵把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置,∴AF=AD=6,EF=ED=2,∠AFE=∠D=90°,∠FAE=∠DAE,在Rt△ABG和Rt△AFG中,∵AB=AF,AG=AG,∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL),∴GB=GF,∠BAG=∠FAG,∴∠GAE=∠FAE+∠FAG=∠BAD=45°,所以①正确;
设BG=x,则GF=x,C=BC﹣BG=6﹣x,在Rt△CGE中,GE=x+2,EC=4,CG=6﹣x,∵,∴,解得x=3,∴BG=3,CG=6﹣3=3,∴BG=CG,所以②正确;
∵EF=ED,GB=GF,∴GE=GF+EF=BG+DE,所以③正确;
∵GF=GC,∴∠GFC=∠GCF,又∵Rt△ABG≌Rt△AFG,∴∠AGB=∠AGF,而∠BGF=∠GFC+∠GCF,∴∠AGB+∠AGF=∠GFC+∠GCF,∴∠AGB=∠GCF,∴CF∥AG,所以④正确;
过F作FH⊥DC.∵BC⊥DH,∴FH∥GC,∴△EFH∽△EGC,∴,EF=DE=2,GF=3,∴EG=5,∴△EFH∽△EGC,∴相似比为:=,∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=×3×4﹣×4×(×
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3)=3.6,所以⑤正确.
故正确的有①②③④⑤,故选D.
考点:翻折变换(折叠问题);全等三角形的判定与性质;正方形的性质.
5.(2016湖南长沙第8题)若将点A(1,3)向左平移2个单位,再向下平移4个单位得到点B,则点B的坐标为( )
A.(﹣2,﹣1) B.(﹣1,0) C.(﹣1,﹣1) D.(﹣2,0)
【答案】C.
【解析】
考点:坐标与图形变化﹣平移.
6.(2016河南第8题)如图,已知菱形OABC的顶点O(0,0),B(2,2),若菱形绕点O逆时针旋转,每秒旋转45°,则第60秒时,菱形的对角线交点D的坐标为【 】
(A)(1,-1) (B)(-1,-1)
(C)(,0) (D)(0,-)
【答案】B.
【解析】
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考点:规律探究题.
7. (2016湖北武汉第14题)如图,在□ABCD中,E为边CD上一点,将△ADE沿AE折叠至△AD′E处,AD′与CE交于点F.若∠B=52°,∠DAE=20°,则∠FED′的大小为_______.
【答案】36°.
【解析】
试题分析:∵四边形ABCD为平行四边形,∴∠D=∠B=52°,由折叠的性质得:∠EAD,=∠DAE=20°,∠AED,=∠AED=180°-∠DAE-∠D=180°-20°-52°=108°,∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°,∴∠FED′=108°-72°=36°.
考点:平行四边形的性质;折叠的性质.
8. (2016四川达州第15题)如图,P是等边三角形ABC内一点,将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ,连接BQ.若PA=6,PB=8,PC=10,则四边形APBQ的面积为 .
【答案】24+9.
【解析】
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考点:旋转的性质;等边三角形的性质;全等三角形的判定及性质.
7. (2016湖南怀化第12题)旋转不改变图形的 和 .
【答案】形状,大小.
【解析】
试题分析:根据旋转的性质可得旋转不改变图形的形状和大小,只改变图形的位置.
考点:旋转的性质.
9. (2016湖南株洲第4题)如图,在三角形ABC中,∠ACB=90°,∠B=50°,将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到三角形A′B′C,若点B′恰好落在线段AB上,AC、A′B′交于点O,则∠COA′的度数是( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
【答案】B.
【解析】
试题分析:∵在三角形ABC中,∠ACB=90°,∠B=50°,∴∠A=180°﹣∠ACB﹣∠B=40°.
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由旋转的性质可知:BC=B′C,∴∠B=∠BB′C=50°.又∵∠BB′C=∠A+∠ACB′=40°+∠ACB′,∴∠ACB′=10°,∴∠COA′=∠AOB′=∠OB′C+∠ACB′=∠B+∠ACB′=60°.故选B.
考点:旋转的性质.
10.(2016广西来宾第11题)下列3个图形中,能通过旋转得到右侧图形的有( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
【答案】B.
【解析】
考点:利用旋转设计图案.
11.(2016福建莆田第8题)规定:在平面内,将一个图形绕着某一点旋转一定的角度(小于周角)后能和自身重合,则称此图形为旋转对称图形.下列图形是旋转对称图形,且有一个旋转角为60°的是( )
A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正十边形
【答案】C.
【解析】
试题分析:A.正三角形的最小旋转角是120°,故此选项错误;
B.正方形的旋转角度是90°,故此选项错误;
C.正六边形的最小旋转角是60°,故此选项正确;
D.正十角形的最小旋转角是36°,故此选项错误;
故选C.
考点:旋转对称图形.
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12.(2016福建莆田第9题)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,将△ABC折叠,使点A落在BC边上的点D处,EF为折痕,若AE=3,则sin∠BFD的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A.
【解析】
考点:翻折变换(折叠问题);等腰直角三角形;锐角三角函数的定义.
13.(2016广西河池第10题)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(1,),将线段OA绕原点O逆时针旋转30°,得到线段OB,则点B的坐标是( )
A.(0,2) B.(2,0) C.(1,﹣) D.(﹣1,)
【答案】A.
【解析】
试题分析:作AC⊥x轴于点C,∵点A的坐标为(1,),∴OC=1,AC=,则OA==2,tan∠AOC==,∴∠AOC=60°,∴将线段OA绕原点O逆时针旋转30°,得到线段OB,则点B的坐标是(0,2),故选A.
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考点:坐标与图形变化-旋转.
14.(2016内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟第12题)如图,Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,折痕为PQ,则线段BQ的长度为( )
A. B. C.4 D.5
【答案】C.
【解析】
考点:翻折变换(折叠问题).
15. (2016年福建龙岩第22题)图1是某公交公司1路车从起点站A站途经B站和C站,最终到达终点站D站的格点站路线图.(8×8的格点图是由边长为1的小正方形组成)
(1)求1路车从A站到D站所走的路程(精确到0.1);
(2)在图2、图3和图4的网格中各画出一种从A站到D站的路线图.(要求:①与图1路线不同、路程相同;②途中必须经过两个格点站;③所画路线图不重复)
【答案】(1)9.7;(2)图形见解析.
【解析】
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考点:1勾股定理;2利用轴对称,平移,中心对称作图.
16.如图,已知:BC与CD重合,∠ABC=∠CDE=90°,△ABC≌△CDE,并且△CDE可由△ABC逆时针旋转而得到.请你利用尺规作出旋转中心O(保留作图痕迹,不写作法,注意最后用墨水笔加黑),并直接写出旋转角度是 .
【答案】作图见解析,90°.
【解析】
试题分析:分别作出AC,CE的垂直平分线进而得出其交点O,根据线段垂直平分线的性质和正方形的判定,AC,CE的中点M,N和O,C构成正方形OMCN,所以旋转角∠MON=90°.
试题解析:作图如答图所示:旋转角度是90°.
考点:1.作图(旋转变换);2.线段垂直平分线的性质;3.正方形的判定和性质.
17.在下列网格图中,每个小正方形的边长均为1个单位.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.
(1)试在图中做出△ABC以A为旋转中心,沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1;
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(2)若点B的坐标为(﹣3,5),试在图中画出直角坐标系,并标出A、C两点的坐标;
(3)根据(2)的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2,并标出B2、C2两点的坐标.
【答案】(1)作图见解析;(2)作图见解析;(3)作图见解析.
【解析】
(2)如答图所示,A(0,1),C(﹣3,1);
(3)△A2B2C2如答图所示,B2(3,﹣5),C2(3,﹣1).
考点:1.网格问题;2. 作图(旋转变换)
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