专题32 整式及其运算
聚焦考点☆温习理解
一、单项式:
由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式,所有字母指数的和叫做单项式的次数,数字因数叫做单项式的系数.单独的数、字母也是单项式.
二、多项式:
由几个单项式组成的代数式叫做多项式,多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数,其中不含字母的项叫做常数项.
三.整式:
单项式和多项式统称为整式.
四.同类项:
多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项.
五.幂的运算法则
(1)同底数幂相乘:am·an=am+n(m,n都是整数,a≠0)
(2)幂的乘方:(am)n=amn(m,n都是整数,a≠0)
(3)积的乘方:(ab)n=an·bn(n是整数,a≠0,b≠0)
(4)同底数幂相除:am÷an=am-n(m,n都是整数,a≠0)
六.整式乘法
单项式与单项式相乘,把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式,只在一个单项式里含有的字母,连同它的指数一起作为积的一个因式.
单项式乘多项式:m(a+b)=ma+mb;
多项式乘多项式:(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
七.乘法公式
(1)平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2
(2)完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2.
八.整式除法
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单项式与单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,连同它的指数作为商的一个因式.多项式除以单项式,将这个多项式的每一项分别除以这个单项式,然后把所得的商相加.
名师点睛☆典例分类
考点典例一、整式的加减运算
【例1】(2016广西来宾第1题)下列计算正确的是( )
A. B.
C.3x﹣2x=1 D.
【答案】D.
【解析】
考点:合并同类项.
【点睛】整式的加减,实质上就是合并同类项,有括号的,先去括号,只要算式中没有同类项,就是最后的结果.
【举一反三】
(2016浙江台州第4题)下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】
试题分析:A.,故此选项错误;
B.,正确;
C.,故此选项错误;
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D.,故此选项错误;
故选B.
考点:幂的乘方与积的乘方;合并同类项;同底数幂的乘法.
考点典例二、同类项的概念及合并同类项
【例2】(2016湖南常德第6题)若﹣x3ya与xby是同类项,则a+b的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C.
【解析】
试题分析:已知﹣x3ya与xby是同类项,根据同类项的定义可得a=1,b=3,则a+b=1+3=4.故答案选C.
考点:同类项.
【点睛】 (1)判断同类项时,看字母和相应字母的指数,与系数无关,也与字母的相关位置无关,两个只含数字的单项式也是同类项;(2)只有同类项才可以合并.
【举一反三】
(2016江苏苏州第3题)下列运算结果正确的是( )
A.a+2b=3ab B.3a2﹣2a2=1
C.a2•a4=a8 D.(﹣a2b)3÷(a3b)2=﹣b
【答案】D.
【解析】
考点:1合并同类项;2同底数幂的乘法;3幂的乘方与积的乘方.
考点典例三、幂的运算
【例3】(2016湖北黄石第5题)下列运算正确的是
A. B. C. D.
【答案】D.
【解析】
试题分析:选项A,根据同底数幂相乘,底数不变,指数相加,可得,错误;选项B,根据同底数幂相除,底数不变,指数相减,可得,错误;选项C,,错误;选项D,根据幂的乘方,底数不变,指数相乘,可得,正确.故答案选D.
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考点:同底数幂的乘法;同底数幂的除法;幂的乘方.
【点睛】(1)幂的运算法则是进行整式乘除法的基础,要熟练掌握,解题时要明确运算的类型,正确运用法则;(2)在运算的过程中,一定要注意指数、系数和符号的处理.
【举一反三】
1. (2016湖南岳阳第2题)下列运算结果正确的是( )
A.a2+a3=a5 B.(a2)3=a6 C.a2•a3=a6 D.3a﹣2a=1
【答案】B.
【解析】
试题分析:选项A,a2与a3不是同类项,不能合并,错误;选项B,(a2)3=a6,正确;选项C,a2•a3=a5,错误;选项D,3a﹣2a=a,错误,故答案选B.
考点:幂的乘方与积的乘方;合并同类项;同底数幂的乘法.
2. (2016山东威海第4题)下列运算正确的是( )
A.x3+x2=x5 B.a3•a4=a12 C.(﹣x3)2÷x5=1 D.(﹣xy)3•(﹣xy)﹣2=﹣xy
【答案】D.
【解析】
考点:整式的运算.
考点典例四、整式的乘除法.
【例4】(2016浙江宁波第19题)(本题6分)先化简,再求值:,其中
【答案】原式=;当时,原式=5.
【解析】
试题分析:先利用平方差公式和单项式乘多项式乘法法则去掉括号,在合并同类项后代入求值即可.
试题解析:原式=;
当时,原式=6-1=5.
考点:整式的化简求值.
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【点睛】此题考查了平方差公式、单项式乘多项式及整式的加减运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
【举一反三】
(2016湖南怀化第3题)下列计算正确的是( )
A.(x+y)2=x2+y2B.(x﹣y)2=x2﹣2xy﹣y2
C.(x+1)(x﹣1)=x2﹣1 D.(x﹣1)2=x2﹣1
【答案】C.
【解析】
考点:完全平方公式;平方差公式.
考点典例五、整式的混合运算及求值
【例5】(2016山东济宁第16题)先化简,再求值:a(a﹣2b)+(a+b)2,其中a=﹣1,b=.
【答案】原式=2a2+b2,当a=﹣1,b=时,原式==4.
【解析】
试题分析:先根据单项式乘以多项式,完全平方公式化简,再去括号后合并同类项化简,把a与b的值代入计算即可求出值.
试题解析:原式=a2﹣2ab+a2+2ab+b2=2a2+b2,
当a=﹣1,b=时,原式=2+2=4.
考点:整式的化简求值.
【点睛】注意多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏,应用乘法公式进行简便计算,另外去括号时,要注意符号的变化,最后把所得式子化简,即合并同类项,再代值计算.
【举一反三】
1. (2016湖北襄阳第17题)(本小题满分6分)
先化简,再求值:(2x+1)(2x-1)-(x+1)(3x-2),其中x=一1.
【答案】原式,当x=-1时,原式
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【解析】
考点:整式的化简与求值
2. (2016福建泉州第19题)先化简,再求值:(x+2)2﹣4x(x+1),其中x=.
【答案】原式=﹣3x2+4,当x=时,原式=﹣2.
【解析】
考点:整式的化简求值.
课时作业☆能力提升
一、选择题
1. (2016浙江宁波第2题)下列计算正确的是
A. B. C. D.
【答案】D.
【解析】
试题分析:根据合并同类项法则可得,选项A,,选项A错误;选项B,,选项B错误;根据幂的乘方运算法则可得选项C,,选项C错误;根据同底数幂乘法法则可得选项D,,正确,故答案选D.
考点:合并同类项法则;同底数幂乘法法则;幂的乘方运算.
2. (2016湖北黄石第5题)下列运算正确的是
A. B. C. D.
【答案】D.
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【解析】
考点:同底数幂的乘法;同底数幂的除法;幂的乘方.
3. (2016山东威海第7题)若x2﹣3y﹣5=0,则6y﹣2x2﹣6的值为( )
A.4 B.﹣4 C.16 D.﹣16
【答案】D.
【解析】
试题分析:由x2﹣3y﹣5=0可得x2﹣3y=5,所以6y﹣2x2﹣6=﹣2(x2﹣3y)﹣6=﹣2×5﹣6=﹣16,故答案选D.
考点:整体思想.
4. (2016山东济宁第2题)下列计算正确的是( )
A.x2•x3=x5 B.x6+x6=x12 C.(x2)3=x5 D.x﹣1=x
【答案】A.
【解析】
试题分析:选项A,根据同底数幂的乘法可得原式=x5,正确;选项B,根据合并同类项法则可得原式=2x6,错误;选项C,根据幂的乘方可得原式=x6,错误;选项D,根据负整数指数幂法则原式=,错误,故答案选A.
考点:负整数指数幂;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方.
5. (2016湖南娄底第3题)下列运算正确的是( )
A.a2•a3=a6B.5a﹣2a=3a2C.(a3)4=a12D.(x+y)2=x2+y2
【答案】C.
【解析】
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考点:幂的乘方与积的乘方;合并同类项;同底数幂的乘法;完全平方公式.
6. (2016贵州铜仁第3题)单项式的系数是( )
A. B.π C.2 D.
【答案】D.
【解析】
试题分析:单项式的系数是:.故选D.
考点:单项式.
7. (2016福建泉州第2题)(x2y)3的结果是( )
A.x5y3 B.x6y C.3x2y D.x6y3
【答案】D.
【解析】
试题分析:利用积的乘方运算法则与幂的乘方运算法则可得(x2y)3=x6y3.故选D.
考点:幂的乘方与积的乘方.
8. (2016内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟第2题)化简(﹣x)3(﹣x)2,结果正确的是( )
A.﹣x6 B.x6 C.x5 D.﹣x5
【答案】D.
【解析】
试题分析:根据同底数幂相乘,底数不变,指数相加计算即可得(﹣x)3(﹣x)2=(﹣x)3+2=﹣x5.故选D.
考点:同底数幂的乘法.
二、解答题
9. (2016湖南衡阳第19题)先化简,再求值:(a+b)(a﹣b)+(a+b)2,其中a=﹣1,b=.
【答案】原式=2a2+2ab,当a=﹣1,b=时,原式=1.
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【解析】
考点:整式的化简求值.
10. (2016湖北宜昌第17题)先化简,再求值:4x•x+(2x﹣1)(1﹣2x).其中x=.
【答案】原式=4x﹣1,当x=时,原式=﹣.
【解析】
试题分析:直接利用整式乘法运算法则计算,再去括号,进而合并同类项,把已知代入求出答案.
试题解析:原式=4x2+(2x﹣4x2﹣1+2x)=4x2+4x﹣4x2﹣1=4x﹣1,
当x=时,原式=4×﹣1=﹣.
考点:整式的化简求值.
11.(2016辽宁大连第18题)先化简,再求值:(2a+b)2﹣a(4a+3b),其中a=1,b=.
【答案】原式=ab+b2,当a=1,b=时,原式=+2.
【解析】
试题分析:先利用完全平方公式,单项式乘以多项式法则进行计算,去括号合并得到最简结果,把a与b的值代入计算即可求出值.
试题解析:原式=4a2+4ab+b2﹣4a2﹣3ab=ab+b2,
当a=1,b=时,原式=+2.
考点:整式的化简求值.
12. (2016湖南湘西州第20题)先化简,再求值:(a+b)(a﹣b)﹣b(a﹣b),其中,a=﹣2,b=1.
【答案】原式=a2﹣ab,当a=﹣2,b=1时,原式=6.
【解析】
试题分析:先运用平方差公式,单项式乘以多项式法则计算,再去括号合并得到最简结果,把a与b的值代入计算即可求值.
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试题解析::原式=a2﹣b2﹣ab+b2=a2﹣ab,当a=﹣2,b=1时,原式=4+2=6.
考点:整式的化简求值.
13. (2016江苏常州第19题)先化简,再求值,其中x=.
【答案】﹣5x+1.
【解析】
考点:多项式乘多项式.
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