专题33 分式及其计算
聚焦考点☆温习理解
1、分式的概念
一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。
当B≠0时，分式有意义，当B=0时，分式无意义；当A=0且B≠0，分式的值等于0.
2、分式的性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
用式子表示为：＝，＝(M是不等于零的整式)
（2）分式的变号法则：
分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
3、分式的运算法则
4．最简分式
如果一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式叫做最简分式．
5．分式的约分、通分
把分式中分子与分母的公因式约去，这种变形叫做约分，约分的根据是分式的基本性质．
把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，这种变形叫做分式的通分，通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．
6．分式的混合运算
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在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算．若有括号，先算括号里面的．灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．
7．解分式方程，其思路是去分母转化为整式方程，要特别注意验根．使分母为0的未知数的值是增根，需舍去．
名师点睛☆典例分类
考点典例一、分式的概念，求字母的取值范围
【例1】（2016山东威海第2题）函数y=的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2 B．x≥﹣2且x≠0 C．x≠0 D．x＞0且x≠﹣2
【答案】B．
【解析】
试题分析：根据被开方数大于等于0，分母不等于0可得x+2≥0且x≠0，解得x≥﹣2且x≠0，故答案选B．
考点：函数自变量的范围.
【例2】若分式的值为零，则x的值为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．±1
【答案】C.
【解析】
②当x=-1时，x-1=-2≠0，
∴x=-1时分式的值为0．
故选：C．
考点：分式的值为零的条件．
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【点睛】(1)分式有意义就是使分母不为0，解不等式即可求出，有时还要考虑二次根式有意义；(2)首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0，当它使分母的值不为0时，这就是所要求的字母的值．
【举一反三】
（2016湖南怀化第9题）函数y=中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x＞1 C．x≥1且x≠2 D．x≠2
【答案】C.
【解析】
考点：函数自变量的取值范围．
考点典例二、分式的性质
【例3】已知x+y=xy，求代数式-（1-x）（1-y）的值．
【答案】0.
【解析】
试题分析：首先将所求代数式展开化简，然后整体代入即可求值．
试题解析：∵x+y=xy，
∴-（1-x）（1-y）
=-（1-x-y+xy）
=-1+x+y-xy
=1-1+0
=0
考点：分式的化简求值．
【点睛】
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(1)分式的基本性质是分式变形的理论依据，所有分式变形都不得与此相违背，否则分式的值改变；(2)将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多项式，要先将它们分别分解因式，然后再约分，约分应彻底；(3)巧用分式的性质，可以解决某些较复杂的计算题，可应用逆向思维，把要求的算式和已知条件由两头向中间凑的方式来求代数式的值.
【举一反三】
1.分式可变形为【 】
A. B. C. D.
【答案】D．
【解析】
考点：分式的基本性质．
考点典例三、分式的加减法
【例4】（2016福建泉州第13题）计算： = ．
【答案】3.
【解析】
试题分析：利用同分母分式的加法法则计算即可，即原式==3.
考点：分式的加减法．
【举一反三】
1.（2016湖南衡阳第14题）计算：= ．
【答案】1.
【解析】
试题分析：根据同分母的分式相加减的法则可得，原式=.
考点：分式的加减法．
2.化简的结果是
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【答案】.
【解析】
考点：分式的加减法．
考点典例四、分式的四则混合运算
【例5】（2016山东滨州第19题）先化简，再求值：÷（﹣），其中a=．
【答案】原式=（a﹣2）2，当a=，原式=（﹣2）2=6﹣4
【解析】
试题分析：先把括号内通分化简后把乘除化为乘法，再进行约分，化为最简分式后代入计算即可．
试题解析：原式=÷[﹣]
=÷
=•
=（a﹣2）2，
∵a=，
∴原式=（﹣2）2=6﹣4
考点：分式的化简求值．
【点睛】准确、灵活、简便地运用法则进行化简
【举一反三】
1. （2016湖北黄石第18题）（本小题满分7分）先化简，再求值：，其中
【答案】原式==2016+1=2017
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【解析】
考点：分式的化简求值.
2. （2016湖北十堰第17题）化简：．
【答案】原式=.
【解析】
试题分析：先把第一个分式的分子、分母分解因式后约分，再通分，然后根据分式的加减法法则分母不变，分子相加即可．
试题解析：原式=
=
=
=
=
考点：分式的化简.
考点典例五、分式方程的解法
【例6】分式方程的解为 。
【答案】-2.
【解析】
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考点：解分式方程.
【点睛】(1)按照基本步骤解分式方程，其关键是确定各分式的最简公分母．若分母为多项式时，应首先进行分解因式．将分式方程转化为整式方程，乘最简公分母时，应乘原分式方程的每一项，不要漏乘常数项；(2)检验是否产生增根：分式方程的增根是分式方程去分母后整式方程的某个根，但因为它使分式方程的某些分母为零，故应是原方程的增根，须舍去.
【举一反三】
（2016福建南平第18题）解分式方程：．
【答案】x=3．
【解析】
试题分析：先去分母，再解一元一次方程即可．
试题解析：去分母得，3（1+x）=4x，去括号得，3+3x=4x，移项、合并得，x=3，检验：把x=3代入x（x+1）=3×4=12≠0，∴x=3是原方程的解．
考点：解分式方程．
课时作业☆能力提升
一、选择题
1. （2016湖北武汉第2题）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＜3 B．x＞3 C．x≠3 D．x＝3
【答案】C.
【解析】
试题分析：要使有意义，则x－3≠0，即x≠3，故答案选C.
考点：分式有意义的条件.
2. （2016河北第4题）下列运算结果为x-1的是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B.
【解析】
考点：分式的计算.
3. （2016海南省第7题）解分式方程+1=0，正确的结果是（ ）
A．x=0 B．x=1 C．x=2 D．无解
【答案】A.
【解析】
试题分析：+1=0，1+x-1=0，x=0，经检验：x=0是原方程的根，故选A.
考点：解分式方程.
4.将分式方程去分母后得到的整式方程，正确的是（ ）
A． x﹣2=2x B． x2﹣2x=2x C． x﹣2=x D． x=2x﹣4
【答案】A.
【解析】
试题分析：去分母得：x﹣2=2x，
故选A
考点：解分式方程．
二、填空题
5. （2016辽宁营口第14题）若分式有意义，则a的取值范围是 ．
【答案】a≠1．
【解析】
试题分析：分式有意义，则a﹣1≠0，则a的取值范围是：a≠1．故答案为：a≠1．
考点：分式有意义的条件．
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6. （2016四川南充第11题）计算：= ．
【答案】y．
【解析】
试题分析：=y，故答案为：y．
考点：约分．
7. （2016新疆第10题）计算（1﹣）（x+1）的结果是 ．
【答案】x.
【解析】
试题分析：原式-×（x+1）=x.
考点：分式的混合运算.
8. （2016山东淄博第13题）计算的结果是 ．
【答案】1﹣2a．
【解析】
考点：分式的化简.
9. （2016贵州铜仁第13题）方程的解为 ．
【答案】x=﹣3．
【解析】
试题分析：去分母，得：5x﹣3（x﹣2）=0，整理，得：2x+6=0，解得：x=﹣3，经检验：x=﹣3是原分式方程的解，故答案为：x=﹣3．
考点：解分式方程．
三、解答题
10. （2016年福建龙岩第18题）先化简再求值：,其中．
【答案】x+2，.
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【解析】
试题分析：根据分式运算法则化简，再代入求值即可.
试题解析：原式=.当时，原式=.
考点：分式化简求值.
11．（乐山市）解方程：．
【答案】x=-1.5
【解析】
考点：解分式方程．
12.（攀枝花市）解方程：．
【答案】x=﹣2．
【解析】
试题分析：观察可得最简公分母是（x+1）（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
试题解析：方程的两边同乘（x+1）（x﹣1），得
x（x+1）+1=x2﹣1，
解得x=﹣2．
检验：把x=﹣2代入（x+1）（x﹣1）=3≠0．
∴原方程的解为：x=﹣2．
考点：解分式方程．
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13. （2016江苏苏州第21题）先化简，再求值：，其中x=．
【答案】，.
【解析】
考点：分式化简求值.
14. （2016湖北随州第18题）先化简，再求值：（﹣x+1）÷，其中x=﹣2．
【答案】原式=，当x=﹣2时，原式=2．
【解析】
考点：分式的化简求值．
15. （2016湖南常德第19题）先化简，再求值：（），其中x=2．
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【答案】原式=，当x=2时，原式=.
【解析】
考点：分式的化简求值.
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