专题36 一元二次方程
聚焦考点☆温习理解
一、一元二次方程及有关概念
1. 一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程.
2. 一般形式:ax2+bx+c=0(其中a、b、c为常数，a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数.
3. 一元二次方程必须具备三个条件：(1)必须是整式方程；(2)必须只含有1个未知数；(3)所含未知数的最高次数是2.
【温馨提示】在一元二次方程的一般形式中要注意a≠0.因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程.
4. 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
二、一元二次方程的解法：
解一元二次方程的基本思想——转化，即把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.
直接开平方法；配方法；公式法；因式分解法.
三、一元二次方程的根的判别式
对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)：
(1)b2－4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
(2)b2－4ac＝0⇔方程有两个的实数根；
(3)b2－4ac＜0⇔方程没有实数根．
四、一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝，x1x2＝．
五、一元二次方程的应用
1. 列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程（组）解应用题的步骤相同，即审、设、列、解、验答五步.
2. 列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握以下内容：
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(1)增长率等量关系:
A.增长率＝×100%；
B.设a为原来量，m为平均增长率,n为增长次数，b为增长后的量，则a(1+m)n=b;当m为平均下降率，n为下降次数，b为下降后的量时，则有a(1-m)n=b.
(2)利润等量关系:
A.利润＝售价-成本；
B.利润率＝利润成本×100%.
(3)面积问题
名师点睛☆典例分类
考点典例一、解一元二次方程
【例1】（2016山东淄博第19题）（5分）解方程：x2+4x﹣1=0．
【答案】x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．
考点：解一元二次方程.
【点睛】一元二次方程有四种解法:因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法.
（1）若一元二次方程缺少常数项,且方程的右边为0,可考虑用因式分解法求解;
（2）若一元二次方程缺少一次项,可考虑用因式分解法或直接开平方法求解;
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（3）若一元二次方程的二次项系数为1,且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时,可考虑用配方法求解;
（4）若用以上三种方法都不容易求解时,可考虑用公式法求解.
【举一反三】
（2016湖北鄂州第11题）方程x2－3=0的根是
【答案】x1=，x2= -．
【解析】
试题分析：移项得x2=3，开方得x1=，x2= -．
考点：解一元二次方程．
考点典例二、配方法
【例2】用配方法把代数式3x－2x2－2化为a(x＋m)2＋n的形式，并说明不论x取何值，这个代数式的值总是负数．并求出当x取何值时，这个代数式的值最大．
【答案】证明见解析；，-.
∴-2（x-）2-＜0，
∴不论x取何值，3x-2x2-2的值总是负数，
且当x=时，这个代数式的值最大，最大值为-．
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考点：配方法的应用；非负数的性质：偶次方．
【点睛】(1)代数式的配方是一种重要的数学方法，它既是恒等变形的重要手段，又是研究相等关系，讨论不等关系的常用方法．在配方前，先将二次项系数－2提出来，使括号中的二次项系数化为1，然后通过配方分离出一个完全平方式．(2)注意与方程的配方的区别．
【举一反三】
（2016新疆生产建设兵团第8题）一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（ ）
A．（x﹣3）2=14 B．（x﹣3）2=4 C．（x+3）2=14 D．（x+3）2=4
【答案】C.
【解析】
试题分析：x2﹣6x﹣5=0，把方程的常数项移到右边得，x2﹣6x=5，方程两边都加上32得，x2﹣6x+9=5+9，所以（x﹣3）2=14，故答案选C.
考点：解一元二次方程.
考点典例三、一元二次方程根的判别式
【例3】（2016湖南怀化第4题）一元二次方程x2﹣x﹣1=0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A．
考点：根的判别式．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
【举一反三】
（2016河南第11题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围__________________.
【答案】k＞.
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【解析】
试题分析：已知一元二次方程有两个不相等的实数根，由此可得△=9+4k＞0，解得k＞.
考点：根的判别式.
考点典例四、一元二次方程根与系数的关系
【例4】（2016四川达州第14题）设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，则m2+3m+n= ．
【答案】2016．
考点：一元二次方程的根；根与系数的关系.
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=-，x1•x2=
【举一反三】
（2016湖北黄石第12题）关于的一元二次方程的两实数根之积为负，则实数的取值范围是_______________.
【答案】.
【解析】
试题分析：根据一元二次方程根与系数的关系可得一元二次方程的两实数根之积为-2m+1，即可得-2m+1＜0，△=4-4（-2m+1）＞0，解得.
考点：一元二次方程根与系数的关系.
考点典例五、一元二次方程的应用
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【例5】（2016新疆生产建设兵团第13题）某加工厂九月份加工了10吨干果，十一月份加工了13吨干果．设该厂加工干果重量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为 ．
【答案】10（1+x）2=13．
考点：一元二次方程的应用.
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据“十一月份加工量=九月份加工量×（1+月平均增长率）2”得出方程是解题关键．
【举一反三】
（2016新疆第20题）周口体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？
【答案】8支.
【解析】
试题分析：此题利用一元二次方程解决，等量关系为：比赛总场次=28场.
试题解析：设要邀请x支球队参加比赛，由题意得 x（x﹣1）=28，解得：x1=8，x2=﹣7（舍去）．
答：应邀请8支球队参加比赛.
考点：一元二次方程的应用.
课时作业☆能力提升
1.（2016山东威海第5题）已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1•x2=1，则ba的值是（ ）
A． B．﹣ C．4 D．﹣1
【答案】A．
考点：根与系数的关系.
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2. （2016山东威海第5题）已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1•x2=1，则ba的值是（ ）
A． B．﹣ C．4 D．﹣1
【答案】A．
【解析】
试题分析：已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣a=﹣2，x1•x2=﹣2b=1，解得a=2，b=﹣，所以ba=（﹣）2=．故答案选A．
考点：根与系数的关系.
3. （2016河北第14题）a，b，c为常数，且（a-c）2>a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（ ）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．有一根为0
【答案】B.
【解析】
试题分析：由（a-c）2>a2+c2得出－2ａｃ＞０，因此△＝ｂ２－4ａｃ＞０，所以方程有两个不相等的实数根，故答案选Ｂ.
考点：根的判别式.
4. （2016黑龙江大庆第10题）若x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，设M=1﹣ac，N=（ax0+1）2，则M与N的大小关系正确的为（ ）
A．M＞N B．M=N C．M＜N D．不确定
【答案】B.
【解析】
试题分析：∵x0是方程ax2+2x+c=0的一个根，∴ax02+2x0+c=0，∴ax02+2x0=﹣c，则N﹣M=（ax0+1）2﹣（1﹣ac）=a2x02+2ax0+1﹣1+ac=a（ax02+2x0）+ac=﹣ac+ac=0，∴M=N，故选：B．
考点：1一元二次方程；2做差法比较大小.
5. （2016辽宁沈阳第8题）一元二次方程x2﹣4x=12的根是（ ）
A．x1=2，x2=﹣6 B．x1=﹣2，x2=6 C．x1=﹣2，x2=﹣6 D．x1=2，x2=6
【答案】B.
【解析】
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试题分析：方程整理得x2﹣4x﹣12=0，分解因式得（x+2）（x﹣6）=0，解得x1=﹣2，x2=6，故答案选B.
考点：解一元二次方程.
6．（2016内蒙古包头第7题）若关于x的方程x2+（m+1）x+=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m的值是（ ）
A．﹣B． C．﹣或D．1
【答案】C．
考点：一元二次方程的解；根与系数的关系．
7. （.2016湖北随州第8题）随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（ ）
A．20（1+2x）=28.8 B．28.8（1+x）2=20
C．20（1+x）2=28.8 D．20+20（1+x）+20（1+x）2=28.8
【答案】C.
【解析】
试题分析：设这两年观赏人数年均增长率为x，根据“2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次”，可得方程20（1+x）2=28.8．故答案选C．
考点：一元二次方程的应用.
8. （2016广西桂林第10题）若关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5
【答案】B．
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考点：根的判别式；一元二次方程的定义．
9. （2016河南第11题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围__________________.
【答案】k＞.
【解析】
试题分析：已知一元二次方程有两个不相等的实数根，由此可得△=9+4k＞0，解得k＞.
考点：根的判别式.
10. （2016湖南长沙第14题）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．
【答案】m＞﹣4．
【解析】
试题分析：已知方程有两个不相等的实数根，可知△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）=16+4m＞0，解得m＞﹣4．
考点：一元二次方程根的判别式.
11.（2016湖北鄂州第11题）方程x2－3=0的根是
【答案】x1=，x2= -．
【解析】
试题分析：移项得x2=3，开方得x1=，x2= -．
考点：解一元二次方程．
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12.（2016新疆生产建设兵团第13题）某加工厂九月份加工了10吨干果，十一月份加工了13吨干果．设该厂加工干果重量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为 ．
【答案】10（1+x）2=13．
【解析】
试题分析：设该厂加工干果重量的月平均增长率为x，根据“十一月份加工量=九月份加工量×（1+月平均增长率）2”，可列方程为：10（1+x）2=13.
考点：一元二次方程的应用.
13.（2016湖北鄂州第20题）（本题满分9分）关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0
（1）（4分）求证：无论k为何值，方程总有实数根。
（2）（5分）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值。若不能，请说明理由。
【答案】（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2.
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=
=
=
=2k-2=2，
解得k=2，
∴当k=2时，S的值为2
∴S的值能为2，此时k的值为2.
考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系.
14.（2016湖南岳阳第22题）已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）已知方程的一个根为x=0，求代数式（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5的值（要求先化简再求值）．
【答案】(1)详见解析；（2）5.
考点：根的判别式；一元二次方程的解．
15.（2016湖南永州第24题）某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
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（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
【答案】（1）10%；（2）第一次降价后至少要售出该种商品23件．
考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．
16.（2016湖北十堰第21题）已知关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0．
（1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程两实数根分别为x1，x2，且满足，求实数p的值．
【答案】（1）详见解析；（2）根与系的关系
【解析】
试题分析：（1）先把方程化成一般形式，在计算根的判别式，判定△＞0，方即可得程总有两个不相等的实数根；（2）根据一元二次方程根与系的关系可得两根和与两根积，再把变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于p的一元二次方程，解方程即可求解．
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考点：根的判别式；根与系的关系．
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