2017年中考数学黄金知识点系列专题37解直角三角形20170309137.doc

专题37 解直角三角形 聚焦考点☆温习理解 一、锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b 正弦：sinA＝＝ 余弦：cosA＝＝ 余切：tanA＝＝ 二、特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα ‎30°‎ ‎45°‎ ‎1‎ ‎60°‎ 三、解直角三角形 解直角三角形的常用关系 在Rt△ABC中，∠C＝90°，则：‎ ‎(1)三边关系：a2＋b2＝c2；‎ ‎(2)两锐角关系：∠A＋∠B＝90°；‎ ‎(3)边与角关系：sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝；‎ ‎(4)sin‎2A＋cos‎2A＝1‎ 19‎ 四、解直角三角形的应用常用知识 ‎1. 仰角和俯角：‎ 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角 ‎2.坡度和坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i＝________‎ 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i＝tanα 坡度越大，α角越大，坡面________‎ ‎3.方向角(或方位角)‎ 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角 名师点睛☆典例分类 考点典例一、锐角三角函数的定义 ‎【例1】如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B.‎ 19‎ 在Rt△PBF和Rt△OAF中，‎ ‎，‎ ‎∴Rt△PBF∽Rt△OAF．‎ ‎∴，‎ ‎∴AF=FB，‎ 在Rt△FBP中，‎ ‎∵PF2-PB2=FB2‎ ‎∴（PA+AF）2-PB2=FB2‎ ‎∴（r+BF）2-（r）2=BF2，‎ 解得BF=r，‎ 19‎ ‎∴tan∠APB=，‎ 故选：B．‎ 考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．‎ ‎【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形及三角函数的定义，解决本题的关键是切线与相似三角形相结合，找准线段及角的关系．‎ ‎【举一反三】‎ ‎（2016山东淄博第9题）如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是（　　）‎ A． ‎ B．1 C． D．2‎ ‎【答案】D.‎ 考点：相似三角形的判定及性质；勾股定理．‎ 考点典例二、锐角三角函数的计算 ‎【例2】（凉山州）在△ABC中，若|cosA-|+（1-tanB）2=0，则∠C的度数是（　　）‎ 19‎ A．45° B．60° C．75° D．105°‎ ‎【答案】‎ 考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理．‎ ‎【点睛】利用特殊角的三角函数值进行数的运算，往往与绝对值、乘方、开方、二次根式相结合．此题考查了特殊角的三角形函数值及绝对值、偶次方的非负性，属于基础题，关键是熟记一些特殊角的三角形函数值，也要注意运用三角形的内角和定理．‎ ‎【举一反三】‎ ‎（2016湖南永州第11题）下列式子错误的是（　　）‎ A．cos40°=sin50° B．tan15°•tan75°=1‎ C．sin225°+cos225°=1 D．sin60°=2sin30°‎ ‎【答案】D．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：选项A，sin40°=sin（90°﹣50°）=cos50°，式子正确；选项Btan15°•tan75°=tan15°•cot15°=1，式子正确；选项C，sin225°+cos225°=1正确；选项D，sin60°=，sin30°=，则sin60°=2sin30°错误．故答案选D．‎ 考点：互余两角三角函数的关系；同角三角函数的关系；特殊角的三角函数值．‎ 考点典例三、解直角三角形 ‎【例3】（宁夏）在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB=，AD=1．求BC的长．‎ 19‎ ‎【答案】2+1．‎ 考点：解直角三角形；勾股定理．‎ ‎【点睛】本题考查了三角形的高的定义，勾股定理，解直角三角形，难度中等，分别解Rt△ADB与Rt△ADC，得出BD=2，DC=1是解题的关键．将三角形转化为直角三角形时，注意尽量不要破坏所给条件．‎ ‎【举一反三】‎ ‎(2016湖北襄阳第9题)如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为( )‎ ‎ ‎ 19‎ ‎【答案】B.‎ 考点：锐角三角函数函数；三角形面积公式；勾股定理.‎ 考点典例四、解直角三角形的实际运用 ‎【例4】（2016四川达州第21题）如图，在一条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5km的码头MN和灯塔C，灯塔C距码头的东端N有20km．以轮船以36km/h的速度航行，上午10：00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向，上午10：40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C相距12km．‎ ‎（1）若轮船照此速度与航向航向，何时到达海岸线？‎ ‎（2）若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由．（参考数据：≈1.4，≈1.7）‎ ‎【答案】（1）轮船照此速度与航向航向，上午11：：00到达海岸线；（2）轮船不改变航向，轮船可以停靠在码头，理由详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1）延长AB交海岸线l于点D，过点B作BE⊥海岸线l于点E，过点A作AF⊥l于F，易证△ABC是直角三角形，再证明∠BAC=30°，再求出BD的长即可解决问题．（2）在RT△BEC中，求出CD的长度，和CN、CM比较即可解决问题．‎ 试题解析：（1）延长AB交海岸线l于点D，过点B作BE⊥海岸线l于点E，过点A作AF⊥l于F，如图所示．‎ 19‎ 考点：解直角三角形的应用.‎ ‎【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解方位角角的定义，及勾股定理的表达式，要注意根据题意构造直角三角形，并解直角三角形；注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．‎ ‎【举一反三】‎ ‎（2016河南第19题）‎ 19‎ ‎（9分）如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°.升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处. 若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？‎ ‎（参考数据：sian37°=0.60， cos37°=0.80，tan37°=0.75）‎ ‎【答案】国旗应以0.3米/秒的速度匀速上升.‎ 考点：解直角三角形的应用.‎ 课时作业☆能力提升 19‎ ‎1. （2016辽宁沈阳第9题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是（　　）‎ A． ‎ B．4 C．8 D．4‎ ‎【答案】D.‎ 考点：解直角三角形.‎ ‎2. （2016湖南怀化第10题）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AC=6cm，则BC的长度为（　　）‎ A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm ‎【答案】C．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：已知sinA==，设BC=4x，AB=5x，又因AC2+BC2=AB2，即62+（4x）2=（5x）2，解得：x=2或x=﹣2（舍），所以BC=4x=8cm，故答案选C．‎ 考点：解直角三角形．‎ ‎3.（2016浙江宁波第16题）如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为 m（结果保留根号）‎ ‎【答案】10+1.‎ 19‎ 考点：解直角三角形的应用.‎ ‎4. （2016江苏苏州第8题）如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（　　）‎ A．2m B．2m C．（2﹣2）m D．（2﹣2）m ‎【答案】B.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：在Rt△ABD中，∠D=90°，∵sin∠ABD=，∴AD=4sin60°=2（m），在Rt△ACD中，∠D=90°，∵sin∠ACD=，∴AC=（m）．故选B.‎ 考点：解直角三角形的应用.‎ ‎5. （2016年福建龙岩第13题）如图，若点A的坐标为，则sin∠1=　　　　　　．‎ 19‎ ‎【答案】.‎ 考点：1三角函数；2坐标与图形性质.‎ ‎6. （2016黑龙江大庆第16题）一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为　　　　　　海里/小时．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设该船行驶的速度为x海里/时，3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，由题意得：AB=80海里，BC=3x海里，在Rt△ABQ中，∠BAQ=60°，∴∠B=90°﹣60°=30°，∴AQ=AB=40，BQ=AQ=40，‎ 在Rt△AQC中，∠CAQ=45°，∴CQ=AQ=40，∴BC=40+40=3x，解得：‎ 19‎ ‎．即该船行驶的速度为海里/时.‎ 考点：解直角三角形的应用.‎ ‎7. （2016新疆第14题）如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB=30°，D点测得∠ADB=60°，又CD=60m，则河宽AB为　　　　　　m（结果保留根号）．‎ ‎【答案】30.‎ 考点：解直角三角形的应用.‎ ‎8. （2016湖南岳阳第14题）如图，一山坡的坡度为i=1：，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了　　　　　　米．‎ ‎【答案】100．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据坡比的定义可得tan∠A=，即可得∠A=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系可得BC=AB=×200=100m．‎ 考点：解直角三角形的应用.‎ ‎9. （2016湖北黄石第22题）（本小题满分8分）如图，为测量一座山峰的 19‎ 高度，将此山的某侧山坡划分为和两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长米，米，坡角 ，.‎ ‎（1）求段山坡的高度；‎ ‎（2）求山峰的高度.（，结果精确到米）‎ ‎【答案】(1)400;(2)541.‎ 考点：解直角三角形的应用.‎ ‎10. （2016湖北鄂州第21题）（本题满分9分）为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度。一天，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的A、B两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在C处海域。如图所示，AB＝60海里，在B处测得C在北偏东45º的方向上，A处测得C在北偏西30º的方向上，在海岸线AB上有一灯塔D，测得AD＝120海里。‎ ‎（1）（4分）分别求出A与C及B与C的距离AC，BC（结果保留根号）‎ 19‎ （2） ‎（5分）已知在灯塔D周围100海里范围内有暗礁群，我在A处海监船沿AC前往C处盘查，途中有无触礁的危险？（参考数据：＝1.41，＝1.73，＝2.45）‎ ‎【答案】（1）AC=120海里 ，BC=120海里；（2）无触礁危险.‎ 19‎ 在△AFD中,DF=DA ‎∴DF=×60(－)=60(3－) ≈106.8＞100‎ 所以无触礁危险. ‎ 考点：解直角三角形的应用.‎ ‎11. （2016山东济宁第18题）某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．‎ ‎（1）求新坡面的坡角a；‎ ‎（2）原天桥底部正前方8米处（PB的长）的文化墙PM是否需要拆桥？请说明理由．‎ ‎【答案】（1）30°；（2）文化墙PM不需要拆除，理由详见解析.‎ ‎∴文化墙PM不需要拆除．‎ 19‎ 考点：解直角三角形的应用.‎ ‎12. （2016新疆生产建设兵团第19题）如图，某校数学兴趣小组为测得校园里旗杆AB的高度，在操场的平地上选择一点C，测得旗杆顶端A的仰角为30°，再向旗杆的方向前进16米，到达点D处（C、D、B三点在同一直线上），又测得旗杆顶端A的仰角为45°，请计算旗杆AB的高度（结果保留根号）‎ ‎【答案】旗杆AB的高度是（8+8）米．‎ 考点：解直角三角形的应用.‎ ‎13.（2016湖南娄底第22题）‎ 19‎ 芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米，≈1.732）‎ ‎【答案】立柱BH的长约为16.3米．‎ 考点：解直角三角形的应用．‎ ‎14.（2016海南省第22题）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上．‎ ‎（1）求斜坡CD的高度DE；‎ 19‎ ‎（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）‎ ‎【答案】（1）2米；（2）（6+）或（6-）米.‎ 考点：1特殊直角三角形；2三角函数；3勾股定理.‎ 19‎