2017年中考数学知识点专题38弧长及扇形的面积
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资料简介
专题38 弧长及扇形的面积 聚焦考点☆温习理解 ‎1.弧长及扇形的面积 ‎(1)半径为r,n°的圆心角所对的弧长公式:l=;‎ ‎(2)半径为r,n°的圆心角所对的扇形面积公式:S==lr.‎ ‎2.圆锥的侧面积和全面积 圆锥的侧面展开图是一个扇形,若设圆锥的母线长为l,底面半径为r,那么这个扇形的半径为l,扇形的弧长为2πr.‎ ‎(1)圆锥侧面积公式:S圆锥侧=πrl;‎ ‎(2)圆锥全面积公式:S圆锥全=πrl+πr2.‎ ‎3.求阴影部分面积的几种常见方法 ‎(1)公式法;‎ ‎(2)割补法;‎ ‎(3)拼凑法;‎ ‎(4)等积变形构造方程法;‎ ‎(5)去重法.‎ 名师点睛☆典例分类 考点典例一、弧长公式的应用 ‎【例1】(2016湖南长沙第15题)如图,扇形OAB的圆心角为120°,半径为3,则该扇形的弧长为      .(结果保留π)‎ ‎【答案】2π.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:已知扇形OAB的圆心角为120°,半径为3,根据弧长公式可得扇形的弧长为=2π.‎ 考点:弧长公式.‎ 17‎ ‎【点睛】本题考查了弧长的计算,解答本题的关键是熟练掌握弧长的计算公式.‎ ‎【举一反三】‎ ‎(2016湖南岳阳第11题)在半径为6cm的圆中,120°的圆心角所对的弧长为      cm.‎ ‎【答案】4π.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:根据弧长公式可得半径为6cm的圆中,120°的圆心角所对的弧长为:=4πcm.‎ 考点:弧长的计算.‎ 考点典例二、扇形面积的计算 ‎【例2】(2016山东东营第17题)如图,某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心,AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细),则所得的扇形ABD的面积为______________.‎ ‎【答案】25.‎ 考点:扇形的计算.‎ ‎【举一反三】‎ ‎(2016辽宁营口第12题)如图,AB是⊙O的直径,弦CD垂直平分OB,垂足为点E,连接OD、BC,若BC=1,则扇形OBD的面积为 .‎ ‎【答案】.‎ 17‎ 考点:扇形面积的计算;线段垂直平分线的性质.‎ 考点典例三、扇形面积公式的运用 ‎【例3】(莱芜)如图,AB为半圆的直径,且AB=4,半圆绕点B顺时针旋转45°,点A旋转到A′的位置,则图中阴影部分的面积为(  )‎ A.π B.2π C. D.4π ‎【答案】B.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:根据题意可得出阴影部分的面积等于扇形ABA′的面积加上半圆面积再减去半圆面积,即为扇形面积即可.‎ 试题解析:∵S阴影=S扇形ABA′+S半圆-S半圆 ‎=S扇形ABA′‎ ‎==2π,‎ 故选:B.‎ 考点:扇形面积的计算;旋转的性质.‎ ‎【点睛】阴影部分一般都是不规则的图形,不能直接用公式求解,通常有两条思路:一是转化成规则图形面积的和、差;二是进行图形的割补.‎ ‎【举一反三】‎ 17‎ ‎(2016山东枣庄第11题) 如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,∠CDB=30°,CD=,则阴影部分的面积为 ‎ A.2π B.Π C. D.‎ 第11题图 ‎【答案】D.‎ 考点:垂径定理;圆周角定理;扇形面积公式.‎ 考点典例四、圆锥的侧面展开图 ‎【例4】(2016湖北十堰第9题)如图,从一张腰长为60cm,顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD,用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗),则该圆锥的高为(  )‎ A.10cm B.15cm C.10cm D.20cm ‎【答案】D.‎ 17‎ 考点:圆锥的计算.‎ ‎【点睛】就圆锥而言,“底面圆的半径”和“侧面展开图的扇形半径”是完全不同的两个概念,要注意其区别和联系,其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长,扇形的半径为圆锥的母线长;圆锥的底面半径、母线和高组成了一个直角三角形.‎ ‎【举一反三】‎ ‎(2016湖南衡阳第17题)若圆锥底面圆的周长为8π,侧面展开图的圆心角为90°,则该圆锥的母线长为      .‎ ‎【答案】16.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:设该圆锥的母线长为l,圆锥的侧面展开图为一扇形,根据这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长可得8π=,解得l=16,即该圆锥的母线长为16.‎ 考点:圆锥的计算.‎ 考点典例五、求阴影部分的面积 ‎【例5】(2016湖北襄阳第15题)如图,AB是半圆O的直径,点C、D是半圆O的三等分点,若弦CD=2,则图中阴影部分的面积为 .‎ ‎【答案】.‎ 17‎ 考点:扇形的面积计算.‎ ‎【点睛】阴影部分一般都是不规则的图形,不能直接用公式求解,通常有两条思路:一是转化成规则图形面积的和、差;二是进行图形的割补.‎ ‎【举一反三】‎ ‎(2016山东威海第22题)如图,在△BCE中,点A时边BE上一点,以AB为直径的⊙O与CE相切于点D,AD∥OC,点F为OC与⊙O的交点,连接AF.‎ ‎(1)求证:CB是⊙O的切线;‎ ‎(2)若∠ECB=60°,AB=6,求图中阴影部分的面积.‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2).‎ ‎【解析】‎ 17‎ ‎(2)由(1)可知∠3=∠BCO,∠1=∠2,‎ ‎∵∠ECB=60°,‎ ‎∴∠3=∠ECB=30°,‎ ‎∴∠1=∠2=60°,‎ ‎∴∠4=60°,‎ ‎∵OA=OD,‎ ‎∴△OAD是等边三角形,‎ 17‎ ‎∴AD=OD=OF,∵∠1=∠ADO,‎ 在△ADG和△FOG中,‎ ‎,‎ ‎∴△ADG≌△FOG,‎ ‎∴S△ADG=S△FOG,‎ ‎∵AB=6,‎ ‎∴⊙O的半径r=3,‎ ‎∴S阴=S扇形ODF==.‎ 考点:切线的性质和判定;扇形的面积公式;全等三角形的判定及性质.‎ 课时作业☆能力提升 ‎1. (2016贵州遵义第10题)如图,半圆的圆心为O,直径AB的长为12,C为半圆上一点,∠CAB=30°,的长是(  )‎ A.12π      B.6π      C.5π      D.4π ‎【答案】D.‎ 考点:弧长的计算.‎ ‎2. (2016四川甘孜州第10题)如图,在5×5的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,若将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′,则A点运动的路径的长为(  )‎ 17‎ A.π      B.2π      C.4π      D.8π ‎【答案】B.‎ 考点:弧长的计算;旋转的性质.‎ ‎3. (2016福建泉州第6题)如图,圆锥底面半径为rcm,母线长为10cm,其侧面展开图是圆心角为216°的扇形,则r的值为(  )‎ A.3 B.6 C.3π D.6π ‎【答案】B.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:已知圆锥底面半径为rcm,母线长为10cm,其侧面展开图是圆心角为216°的扇形,所以2πr=×2π×10,解得r=6.故选B.‎ 考点:圆锥的计算.‎ ‎4. (2016内蒙古通辽第8题)如图,AB是⊙O的直径,CD⊥AB,∠ABD=60°,CD=,则阴影部分的面积为(  )‎ 17‎ A.      B.π      C.2π      D.4π ‎【答案】A.‎ 考点:扇形面积的计算.‎ ‎5. (2016重庆A卷第9题)如图,以AB为直径,点O为圆心的半圆经过点C,若AC=BC=,则图中阴影部分的面积是(  )‎ A.      B.      C.      D.‎ ‎【答案】A.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:∵AB为直径,∴∠ACB=90°,∵AC=BC=,∴△ACB为等腰直角三角形,∴OC⊥AB,∴△AOC和△BOC都是等腰直角三角形,∴S△AOC=S△BOC,OA=AC=1,∴S阴影部分=S扇形AOC==.故选A.‎ 考点:扇形面积的计算.‎ ‎6. (2016浙江台州第13题)如图,△ABC的外接圆O的半径为2,∠C=40°,则的长是 .‎ 17‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:∵∠C=40°,∴∠AOB=80°,∴的长是=.故答案为:.‎ 考点:三角形的外接圆与外心;弧长的计算.‎ ‎7.(2016湖南株洲第14题)如图,正六边形ABCDEF内接于半径为3的圆O,则劣弧AB的长度为 .‎ ‎【答案】π.‎ 考点:正多边形和圆;弧长的计算.‎ ‎8. (2016青海第8题)如图,AC是汽车挡风玻璃前的雨刷器,如果AO=45cm,CO=5cm,当AC绕点O顺时针旋转90°时,则雨刷器AC扫过的面积为      cm2(结果保留π).‎ 17‎ ‎【答案】500π.‎ 考点:扇形面积的计算;旋转的性质.‎ ‎9.(2014·南京) 如图,沿一条母线将圆锥侧面剪开并展开,得到一个扇形,若圆锥底面圆半径r=‎2cm,扇形圆心角,则该圆锥母线长l为 ▲ cm.‎ ‎【答案】6.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:∵圆锥底面圆半径r=‎2cm, ∴根据圆的周长公式,得圆的周长为 ‎∵侧面展开后所得扇形弧长等于圆的周长,∴扇形弧长.‎ 又∵侧面展开后所得扇形的圆心角为120°,‎ ‎∴根据扇形的弧长公式,侧面展开后所得扇形的弧长为.‎ 考点:圆锥和扇形的计算.‎ ‎10. (2016内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟第16题)小杨用一个半径为36cm、面积为324πcm2的扇形纸板制作一个圆锥形的玩具帽(接缝的重合部分忽略不计),则帽子的底面半径为      cm.‎ ‎【答案】9.‎ ‎【解析】‎ 17‎ 试题分析:已知扇形的半径为36cm,面积为324πcm2,所以扇形的弧长L==18π,即可得帽子的底面半径=9cm.‎ 考点:圆锥的计算.‎ ‎11.(2016江苏盐城第14题)已知圆锥的底面半径是2,母线长是4,则圆锥的侧面积是 .‎ ‎【答案】8π.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:底面半径是2,则底面周长=4π,圆锥的侧面积=×4π×4=8π.故答案为:8π.‎ 考点:圆锥的计算.‎ ‎12.(2016贵州铜仁第24题)如图,已知AB是⊙O的直径,点P为圆上一点,点C为AB延长线上一点,PA=PC,∠C=30°.‎ ‎(1)求证:CP是⊙O的切线.‎ ‎(2)若⊙O的直径为8,求阴影部分的面积.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2).‎ 17‎ 考点:切线的判定;扇形面积的计算.‎ ‎13.(2016辽宁葫芦岛第23题)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交线段BC,AC于点D,E,过点D作DF⊥AC,垂足为F,线段FD,AB的延长线相交于点G.‎ ‎(1)求证:DF是⊙O的切线;‎ ‎(2)若CF=1,DF=,求图中阴影部分的面积.‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2)‎ 17‎ 考点:切线的判定;等腰三角形的性质;扇形面积的计算.‎ ‎14.(2016辽宁沈阳第21题)(2016•沈阳)如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O分别于BC,AC相交于点D,E,BD=CD,过点D作⊙O的切线交边AC于点F.‎ ‎(1)求证:DF⊥AC;‎ ‎(2)若⊙O的半径为5,∠CDF=30°,求的长(结果保留π).‎ 17‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2).‎ 17‎ 考点:切线的性质;弧长的计算.‎ 17‎

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