专题40 数据的收集与处理
聚焦考点☆温习理解
一、调查方式
1.普查：为了某一特定目的，而对考察对象进行全面的调查，叫普查.
2.抽样调查：抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况.
二、总体、个体、样本及样本容量
(1)总体：把所要考察对象的全体叫总体．
(2)个体：每一个考察对象叫做个体．
(3)样本：从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本．
(4)样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量．
三、平均数
（1）平均数：一般地，如果有n个数那么，叫做这n个数的平均数，读作“x拔”。
（2）加权平均数：如果n个数中，出现次，出现次，…，出现次（这里），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中叫做权。
四、众数、中位数
1、众数
在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。
2、中位数
将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。
五、方差与标准差
在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“”表示，即
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方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即
六、频数与频率
①极差：最大值与最小值的差
②频数：落在各个小组内的数据的个数
③频率：每一小组的频数与数据总数（样本容量n）的比值叫做这一小组的频率。
名师点睛☆典例分类
考点典例一、选择合适的调查方式
【例1】（2016广西河池第7题）要调查河池市中学生了解禁毒知识的情况，下列调查方式最适合的是（ ）
A．在某中学抽取200名女生 B．在某中学抽取200名男生
C．在某中学抽取200名学生 D．在河池市中学生中随机抽取200名学生
【答案】D．
考点：全面调查与抽样调查．
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
【举一反三】
（2016内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟第3题）下列调查适合做抽样调查的是（ ）
A．对某小区的卫生死角进行调查
B．审核书稿中的错别字
C．对八名同学的身高情况进行调查
D．对中学生目前的睡眠情况进行调查
【答案】D．
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考点：全面调查与抽样调查．
考点典例二、总体、个体、样本、样本容量
【例2】（巴中）今年我市有4万名考生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行了统计分析，在这个问题中，下列说法：①这4万名考生的数学中考成绩的全体是总体；②每个考生是个体；③2000名考生是总体的一个样本；④样本容量是2000，其中说法正确的有( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】A．
【解析】
试题分析：这4万名考生的数学中考成绩的全体是总体；每个考生的数学中考成绩是个体；2000名考生的中考数学成绩是总体的一个样本，样本容量是2000．故正确的是①④．
故选A．
考点：1.总体2.个体3.样本4.样本容量．
【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的概念，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
【举一反三】
（2016辽宁营口第7题）为了解某市参加中考的25000名学生的身高情况，抽查了其中1200名学生的身高进行统计分析．下面叙述正确的是（ ）
A．25000名学生是总体 B．1200名学生的身高是总体的一个样本
C．每名学生是总体的一个个体 D．以上调查是全面调查
【答案】B．
【解析】
试题分析：A．总体是25000名学生的身高情况，故A错误；
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B．1200名学生的身高是总体的一个样本，故B正确；
C．每名学生的身高是总体的一个个体，故C错误；
D．该调查是抽样调查，故D错误．
故选B．
考点：总体、个体、样本、样本容量．
考点典例三、平均数、众数、中位数的计算
【例3】（2016湖北十堰第3题）一次数学测验中，某小组五位同学的成绩分别是：110，105，90，95，90，则这五个数据的中位数是（ ）
A．90 B．95 C．100 D．105
【答案】B．
考点：中位数.
【例4】（2016湖南娄底第7题）11名同学参加数学竞赛初赛，他们的等分互不相同，按从高分录到低分的原则，取前6名同学参加复赛，现在小明同学已经知道自己的分数，如果他想知道自己能否进入复赛，那么还需知道所有参赛学生成绩的（ ）
A． 平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】B.
【解析】
试题分析：由于总共有11个人，且他们的分数互不相同，第6的成绩是中位数，要判断是否进入前6名，知道中位数即可．故答案选B．
考点：中位数.
【点睛】平均数、众数、中位数是中考的热点之一，解决这类问题的关键是弄清概念．平均数的大小与一组数据里的每一个数据均有关系，其中任何一个数据的变动都会引起平均数的变动；众数着眼于各数据出现的频率，其大小只与这组数据中的部分数据有关，可以是一个或多个；中位数则与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，计算时要分清数据是奇数个，还是偶数个．
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【举一反三】
（2016山东济宁第8题）在学校开展的“争做最优秀中学生”的一次演讲比赛中，编号1，2，3，4，5的五位同学最后成绩如下表所示：
参赛者编号
1
2
3
4
5
成绩/分
96
88
86
93
86
那么这五位同学演讲成绩的众数与中位数依次是（ ）
A．96，88， B．86，86 C．88，86 D．86，88
【答案】D.
【解析】
试题分析：这五位同学演讲成绩为96，88，86，93，86，按照从小到大的顺序排列为86，86，88，93，96，86出现两次，次数最多，是众数，中位数是中间的数为88，故答案选D.
考点：中位数；众数.
考点典例四、方差的计算
【例5】（2016四川达州第13题）已知一组数据0，1，2，2，x，3的平均数是2，则这组数据的方差是 ．
【答案】.
考点：平均数；方差.
【点睛】一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
【举一反三】
1. （2016河南第7题）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲
乙
丙
丁
18
平均数（cm）
185
180
185
180
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择【 】
（A） 甲 （B）乙 （C）丙 （D）丁
【答案】A.
【解析】
试题分析：在平均数一样的情况下，方差越小，数据的波动越小，由此可得应该选择甲，故答案选A.
考点：方差.
2.（常州）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩平均数均是9.2环，方差分别为，则成绩最稳定的是 ( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】D.
考点：方差的意义.
考点典例五、利用统计量，解决实际问题
【例6】（2016湖南娄底第7题）11名同学参加数学竞赛初赛，他们的等分互不相同，按从高分录到低分的原则，取前6名同学参加复赛，现在小明同学已经知道自己的分数，如果他想知道自己能否进入复赛，那么还需知道所有参赛学生成绩的（ ）
A． 平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】B.
【解析】
试题分析：由于总共有11个人，且他们的分数互不相同，第6的成绩是中位数，要判断是否进入前6名，知道中位数即可．故答案选B．
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考点：中位数.
【点睛】中位数是将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．学会运用中位数解决问题．
【举一反三】
（2016湖南永州第6题）在“爱我永州”中学生演讲比赛中，五位评委分别给甲、乙两位选手的评分如下：
甲：8、7、9、8、8
乙：7、9、6、9、9
则下列说法中错误的是（ ）
A．甲、乙得分的平均数都是8
B．甲得分的众数是8，乙得分的众数是9
C．甲得分的中位数是9，乙得分的中位数是6
D．甲得分的方差比乙得分的方差小
【答案】C.
考点：算术平均数；中位数；众数；方差．
考点典例六、统计图表的分析
【例7】（2016浙江宁波第21题）（本题8分）为深化义务教育课程改革，某校积极开展拓展性课程建设，设计开设艺术、体育、劳技、文学等多个类别的拓展性课程，要求每一位学生都自主选择一个类别的拓展性课程。为了了解学生选择拓展性课程的情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下统计图（部分信息未给出）：
18
根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）求本次被调查的学生人数；
（2）将条形图补充完整；
（3）若该校共有1600名学生，请估计全校选择体育类的学生人数。
【答案】(1)200人；（2）详见解析；（3）560人.
；
（3）1600×=560（人）
答：估计全校选择体育类的学生有560人.
考点：条形统计图；扇形统计图；样本估计总体.
18
【点睛】本题主要考查了条形统计图，用样本估计总体及扇形统计图，解题的关键是把条形统计图和扇形统计图中的数据正确的结合起来求解．
【举一反三】
（2016河南第17题）（9分）在一次社会调查活动中，小华收集到某“健步走运动”团队中20名成员一天行走的步数，记录如下：
5640 6430 6520 6798 7325 8430 8215 7453 7446 6754
7638 6834 7326 6830 8648 8753 9450 9865 7290 7850
对这20个数据按组距1000进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：
请根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：=__________，=__________；
（2）补全频数统计图；
（3）这20名“健步走运动”团队成员一天步行步数的中位数落在_________组；
（4）若该团队共有120人，请估计其中一天行走步数不少于7500步的人数.
【答案】（1）)4,1；（2）图见解析；（3）B；（4）48.
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考点：频数分布直方图；中位数；用样本估计总体.
课时作业☆能力提升
1. （2016浙江宁波第7题）某班10名学生校服尺寸与对应人数如下表所示：
尺寸（cm）
160
165
170
175
180
学生人数（人）
1
3
2
2
2
则这10名学生校服尺寸的众数和中位数分别为
A. 165cm，165cm B. 165cm，170cm C. 170cm，165cm D. 170cm，170cm
【答案】B.
【解析】
18
试题分析：众数是一组数据中出现次数最多的数据，所以众数是165；把数据按从小到大顺序排列，可得中位数=（170+170）÷2=170,故答案选B.
考点：中位数；众数.
2. （2016山东滨州第5题）某校男子足球队的年龄分布如图所示，则根据图中信息可知这些队员年龄的平均数，中位数分别是（ ）
A．15.5，15.5 B．15.5，15 C．15，15.5 D．15，15
【答案】D.
考点：条形统计图；算术平均数；中位数．
3. （2016年福建龙岩第6题）在2016年龙岩市初中体育中考中，随意抽取某校5位同学一分钟跳绳的次数分别为：158，160，154，158，170，则由这组数据得到的结论错误的是（ ）
A．平均数为160 B．中位数为158 C．众数为158 D．方差为20.3
【答案】D.
【解析】
试题分析：平均数：，选项A正确；把这组数据按从大到小的顺序排列后，位于中间的是158，因此中位数为158，选项B正确；这组数据中出现次数最多的是158，因此众数为158，选项C正确；方差：
18
，选项D错误.故选D.
考点：1平均数；2中位数；3众数；4方差.
4. （2016辽宁沈阳第7题）已知一组数据：3，4，6，7，8，8，下列说法正确的是（ ）
A．众数是2 B．众数是8 C．中位数是6 D．中位数是7
【答案】B.
【解析】
试题分析：根据众数和中位数的定义可得数据3，4，6，7，8，8的众数为8，中位数为6.5．故答案选B．
考点：众数；中位数.
5. （2016江苏苏州第7题）根据国家发改委实施“阶梯水价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从2016年1月1日起对居民生活用水按新的“阶梯水价”标准收费，某中学研究学习小组的同学们在社会实践活动中调查了30户家庭某月的用水量，如表所示：
用水量（吨）
15
20
25
30
35
户数
3
6
7
9
5
则这30户家庭该用用水量的众数和中位数分别是（ ）
A．25，27 B．25，25 C．30，27 D．30，25
【答案】D.
考点：1众数；2中位数.
6. （2016湖北随州第6题）为了响应学校“书香校园”建设，阳光班的同学们积极捐书，其中宏志学习小组的同学捐书册数分别是：5，7，x，3，4，6．已知他们平均每人捐5本，则这组数据的众数、中位数和方差分别是（ ）
A．5，5， B．5，5，10 C．6，5.5， D．5，5，
【答案】D．
【解析】
18
试题分析：由5，7，x， 3，4，6．已知他们平均每人捐5本，得x=5．由此可得众数是5，中位数是5，根据方差公式可得方差为，故答案选D．
考点：方差；中位数；众数．
7.（2016江苏盐城第5题）下列调查中，最适宜采用普查方式的是（ ）
A．对我国初中学生视力状况的调查
B．对量子科学通信卫星上某种零部件的调查
C．对一批节能灯管使用寿命的调查
D．对“最强大脑”节目收视率的调查
【答案】B．
考点：全面调查与抽样调查．
8.（2016黑龙江大庆第13题）甲乙两人进行飞镖比赛，每人各投5次，所得平均环数相等，其中甲所得环数的方差为15，乙所得环数如下：0，1，5，9，10，那么成绩较稳定的是 （填“甲”或“乙”）．
【答案】甲.
【解析】
试题分析：乙的平均数为.乙的方差为，∵5＜16.4，∴甲成绩较稳定.
考点：方差.
18
9.（2016江苏苏州第13题）要从甲、乙两名运动员中选出一名参加“2016里约奥运会”100m比赛，对这两名运动员进行了10次测试，经过数据分析，甲、乙两名运动员的平均成绩均为10.05（s），甲的方差为0.024（s2），乙的方差为0.008（s2），则这10次测试成绩比较稳定的是 运动员．（填“甲”或“乙”）
【答案】乙.
【解析】
试题分析：方差越小，数据越稳定.乙的方差小于甲的方差，所以乙比较稳定.
考点：方差.
10.（2016江苏苏州第14题）某学校计划购买一批课外读物，为了了解学生对课外读物的需求情况，学校进行了一次“我最喜爱的课外读物”的调查，设置了“文学”、“科普”、“艺术”和“其他”四个类别，规定每人必须并且只能选择其中一类，现从全体学生的调查表中随机抽取了部分学生的调查表进行统计，并把统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，则在扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是 度．
【答案】72.
考点：1条形统计图；2扇形统计图.
11.（2016新疆第12题）某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：
时间（小时）
5
6
7
8
人数
10
15
20
5
则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是 小时．
18
【答案】6.4
【解析】
试题分析： 体育锻炼时间=（小时）.
考点：加权平均数.
12.（2016山东东营第13题）某学习小组有8人，在一次数学测验中的成绩分别是：102，115，100，105，92，105，85，104，则他们成绩的平均数是_____________．
【答案】101.
考点：平均数.
13.（2016湖南长沙第21题）为积极响应市委政府“加快建设天蓝•水碧•地绿的美丽长沙”的号召，我市某街道决定从备选的五种树中选购一种进行栽种．为了更好地了解社情民意，工作人员在街道辖区范围内随机抽取了部分居民，进行“我最喜欢的一种树”的调查活动（每人限选其中一种树），并将调查结果整理后，绘制成如图两个不完整的统计图：
请根据所给信息解答以下问题：
（1）这次参与调查的居民人数为： ；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）请计算扇形统计图中“枫树”所在扇形的圆心角度数；
（4）已知该街道辖区内现有居民8万人，请你估计这8万人中最喜欢玉兰树的有多少人？
【答案】（1）1000；（2）图见解析；(3) 36°；(4) 2万．
【解析】
18
试题分析：（1）根据喜欢“银杏树”的人数除以其占的百分比即可得总人数；（2）用总人数减去选择其它4种树的人数可得喜欢“樟树”的人数，补全条形图即可；（3）用样本中喜欢“枫树”占总人数的比例乘以360°即可得答案；（4）用样本中最喜欢“玉兰树”的比例乘以总人数可得答案．
考点：条形统计图；扇形统计图；用样本估计总体.
14.（2016湖北黄石第21题）（本小题满分8分）为了解某市初三学生的体育测试成绩和课外体育锻炼时间的情况，现从全市初三学生体育测试成绩中随机抽取120名学生的体育测试成绩作为样本.体育成绩分为四个等次：优秀、良好、及格、不及格.
(1)试求样本扇形图中体育成绩“良好”所对扇形圆心角的度数；
(2)统计样本中体育成绩“优秀”和“良好”学生课外体育锻炼时间表（如图表所示），请将图表填写完整（记学生课外体育锻炼时间为小时）；
(3)全市初三学生中有14400人的体育测试成绩为“优秀”和“良好”，请估计这些学生中课外体育锻炼时间不少于4小时的学生人数.
18
【答案】(1)162°；（2）62；（3）7440.
【解析】
考点：扇形统计图；用样本估计总体.
15.（2016湖南岳阳第21题）某学校环保志愿者协会对该市城区的空气质量进行调查，从全年365天中随机抽取了80天的空气质量指数（AQI）数据，绘制出三幅不完整的统计图表．请根据图表中提供的信息解答下列问题：
AQI指数
质量等级
天数（天）
0﹣50
优
m
51﹣100
良
44
101﹣150
轻度污染
n
151﹣200
中度污染
4
201﹣300
重度污染
2
300以上
严重污染
2
（1 ）统计表中m= ，n= ．扇形统计图中，空气质量等级为“良”的天数占 %；
（2）补全条形统计图，并通过计算估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共多少天？
18
（3）据调查，严重污染的2天发生在春节期间，燃放烟花爆竹成为空气污染的一个重要原因，据此，请你提出一条合理化建议．
【答案】(1)20，8，55；(2)292，统计图见解析；（3）提出合理建议，比如不燃放烟花爆竹或少燃放烟花爆竹等，合理即可.
考点：扇形统计图；用样本估计总体；条形统计图．
18
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