2017年中考数学知识点专题46图形的相似
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资料简介
专题46 图形的相似 聚焦考点☆温习理解 ‎1、比和比例的有关概念:‎ ‎(1)表示两个比相等的式子叫作比例式,简称比例.‎ ‎(2)第四比例项:若或a:b=c:d,那么d叫作a、b、c的第四比例项.‎ ‎(3)比例中项:若或a:b=b:c,b叫作a,c的比例中项.‎ ‎(4)黄金分割:把一条线段(AB)分割成两条线段,使其中较长线段(AC)是原线段AB与较短线段(BC)的比例线段,就叫作把这条线段黄金分割.即AC2=AB·BC,AC=;一条线段的黄金分割点有两个.‎ ‎2.比例的基本性质及定理 ‎(1)‎ ‎(2)‎ ‎(3)‎ ‎3.平行线分线段成比例定理 ‎(1)三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.‎ ‎(2)平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例;‎ ‎(3)如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边;‎ ‎(4)平行于三角形的一边,并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.‎ ‎4.相似三角形.‎ 相似三角形的定义:对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形 相似比:相似三角形的对应边的比,叫做两个相似三角形的相似比.‎ ‎5.相似三角形的判定 ‎(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形与原三角形相似;‎ 21‎ ‎(2)两角对应相等,两三角形相似;‎ ‎(3)两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;‎ ‎(4)三边对应成比例,两三角形相似;‎ ‎(5)两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,两直角三角形相似;‎ ‎(6)直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似.‎ ‎6.相似三角形性质 相似三角形的对应角相等,对应边成比例,对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比,周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.‎ ‎7.相似多边形的性质 ‎(1)相似多边形对应角相等,对应边成比例.‎ ‎(2)相似多边形周长之比等于相似比,面积之比等于相似比的平方.‎ ‎8.位似图形 ‎(1)概念:如果两个多边形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,这样的图形叫做位似图形.这个点叫做位似中心.‎ ‎(2)性质:位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.‎ 名师点睛☆典例分类 考点典例一、比例的基本性质、黄金分割 ‎【例1】已知,则的值是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D.‎ 故选D.‎ 考点:比例的性质.‎ ‎【点睛】此题考查了比例的性质.此题比较简单,解题的关键是注意掌握比例的性质与比例变形.‎ 21‎ ‎【举一反三】‎ 若4y-3x=0,则 ‎ ‎【答案】.‎ 考点:比例的性质.‎ 考点典例二、三角形相似的性质及判定 ‎ ‎【例2】(2016湖南怀化第21题)如图,△ABC为锐角三角形,AD是BC边上的高,正方形EFGH的一边FG在BC上,顶点E、H分别在AB、AC上,已知BC=40cm,AD=30cm.‎ ‎(1)求证:△AEH∽△ABC;‎ ‎(2)求这个正方形的边长与面积.‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2)正方形EFGH的边长为cm,面积为cm2.‎ ‎【解析】‎ 21‎ 考点:相似三角形的判定与性质.‎ ‎【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定,主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力.‎ ‎【举一反三】‎ ‎(2016湖北武汉第23题)(本题10分)在△ABC中,P为边AB上一点.‎ ‎(1) 如图1,若∠ACP=∠B,求证:AC2=AP·AB;‎ ‎(2) 若M为CP的中点,AC=2,‎ ‎① 如图2,若∠PBM=∠ACP,AB=3,求BP的长;‎ ‎② 如图3,若∠ABC=45°,∠A=∠BMP=60°,直接写出BP的长.‎ 21‎ ‎ ‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2)①BP=;②.‎ 21‎ ‎∵∠BPM=∠CP0A,∠BMP=∠CAP0,‎ ‎∴△AP0C∽△MPB,∴,‎ ‎∴MP∙ P0C=AP0 ∙BP=x(-1+x),‎ 解得x=‎ ‎∴BP=-1+=.‎ 考点典例三、相似三角形综合问题 ‎【例3】(2016湖北十堰第24题)如图1,AB为半圆O的直径,D为BA的延长线上一点,DC为半圆O的切线,切点为C.‎ ‎(1)求证:∠ACD=∠B;‎ ‎(2)如图2,∠BDC的平分线分别交AC,BC于点E,F;‎ ‎①求tan∠CFE的值;‎ ‎②若AC=3,BC=4,求CE的长.‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2).‎ 21‎ ‎(2)解:①∵∠CEF=∠ECD+∠CDE,∠CFE=∠B+∠FDB,‎ ‎∵∠CDE=∠FDB,∠ECD=∠B,‎ ‎∴∠CEF=∠CFE,∵∠ECF=90°,‎ ‎∴∠CEF=∠CFE=45°,‎ ‎∴tan∠CFE=tan45°=1.‎ ‎②在RT△ABC中,∵AC=3,BC=4,‎ 由勾股定理得AB=5,‎ ‎∵∠CDA=∠BDC,∠DCA=∠B,‎ ‎∴△DCA∽△DBC,‎ ‎∴,设DC=3k,DB=4k,‎ ‎∵CD2=DA•DB,‎ ‎∴9k2=(4k﹣5)•4k,‎ ‎∴k=,‎ ‎∴CD=,DB=,‎ 21‎ 考点:切线的性质;相似三角形的判定和性质;勾股定理.‎ ‎【点睛】本题考查了切线的判定、勾股定理以及三角形相似的判定与性质等知识的综合运用.‎ ‎【举一反三】‎ ‎(2016湖北鄂州第22题)(本题满分10分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90º,AO是△ABC的角平分线。以O为圆心,OC为半径作⊙O。‎ ‎(1)(3分)求证:AB是⊙O的切线。‎ ‎(2)(3分)已知AO交⊙O于点E,延长AO交⊙O于点D, tanD=,求的值。‎ ‎(3)(4分)在(2)的条件下,设⊙O的半径为3,求AB的长。‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2);(3).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)过O作OF⊥AB于F,由角平分线上的点到角两边的距离相等即可得证;(2)‎ 21‎ 连接CE,证明△ACE∽△ADC可得 = tanD=;(3)先由勾股定理求得AE的长,再证明△B0F∽△BAC,得,设BO=y ,BF=z,列二元一次方程组即可解决问题.‎ 试题解析:⑴证明:作OF⊥AB于F ‎∵AO是∠BAC的角平分线,∠ACB=90º ‎∴OC=OF ‎ ‎∴AB是⊙O的切线 ‎ 21‎ 易证Rt△B0F∽Rt△BAC 得,‎ 设BO=y BF=z ‎ ‎ ‎ ‎ 即4z=9+3y,4y=12+3z 解得z= y= ‎ ‎ ∴AB=+4= ‎ 考点:圆的综合题.‎ 考点典例四、相似多边形与位似图形 ‎【例4】(2016辽宁营口第15题)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,建立平面直角坐标系,△ABC的三个顶点均在格点(网格线的交点)上.以原点O为位似中心,画△A1B1C1,使它与△ABC的相似比为2,则点B的对应点B1的坐标是 .‎ ‎【答案】(4,2)或(﹣4,﹣2).‎ 考点:作图-位似变换.‎ 21‎ ‎【点睛】本题考查了位似的作图,熟练掌握网格结构,准确找出对应点的位置是解题的关键.‎ ‎【举一反三】‎ ‎(2016湖北十堰第5题)如图,以点O为位似中心,将△ABC缩小后得到△A′B′C′,已知OB=3OB′,则△A′B′C′与△ABC的面积比为(  )‎ A.1:3 B.1:4 C.1:5 D.1:9‎ ‎【答案】D.‎ 考点:位似变换.‎ 课时作业☆能力提升 ‎1. (2016黑龙江哈尔滨第9题)如图,在△ABC中,D、E分别为AB、AC边上的点,DE∥BC,BE与CD相交于点F,则下列结论一定正确的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A.‎ ‎【解析】‎ 试题分析: ∵DE∥BC,∴(平行线分线段成比例).故选A.‎ 21‎ 考点:平行线分线段成比例.‎ ‎2. (2016山东东营第8题)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(―3,6)、B(―9,一3),以原点O为位似中心,相似比为,把△ABO缩小,则点A的对应点A′的坐标是( )‎ ‎ A.(―1,2)           B.(―9,18)   ‎ C.(―9,18)或(9,―18)    D.(―1,2)或(1,―2)‎ ‎【答案】D.‎ 21‎ 考点:位似变换.‎ ‎3. (2016湖南湘西州第17题)如图,在△ABC中,DE∥BC,DB=2AD,△ADE的面积为1,则四边形DBCE的面积为(  )‎ A.3 B.5 C.6 D.8‎ ‎【答案】D.‎ 考点:相似三角形的判定与性质.‎ ‎4. (2016河北第15题)如图,△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )‎ 第15题图 21‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:只要三个角相等,或者一角相等,两边成比例即可。选项C项不能判定两个三角形相似,故答案选C.‎ 考点:相似三角形的判定.‎ ‎5. (2016新疆生产建设兵团第7题)如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,下列说法中不正确的是(  )‎ A.DE=BC B. C.△ADE∽△ABC D.S△ADE:S△ABC=1:2‎ ‎【答案】D.‎ 考点:相似三角形的判定及性质.‎ ‎6. (2016湖北随州第7题)如图,D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点,且DE∥AC,AE、CD相交于点O,若S△DOE:S△COA=1:25,则S△BDE与S△CDE的比是(  )‎ 21‎ A.1:3 B.1:4 C.1:5 D.1:25‎ ‎【答案】B.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:由DE∥AC可得△DOE∽△COA,又S△DOE:S△COA=1:25,根据相似三角形的性质可得DE:AC=BE:BC=1:5,所以BE:EC=1:4,即S△BDE与S△CDE的比是1:4,故答案选B.‎ 考点:相似三角形的判定与性质.‎ ‎7. (2016湖南湘西州第17题)如图,在△ABC中,DE∥BC,DB=2AD,△ADE的面积为1,则四边形DBCE的面积为(  )‎ A.3 B.5 C.6 D.8‎ ‎【答案】D.‎ 考点:相似三角形的判定与性质.‎ ‎8. (2016湖南衡阳第16题)若△ABC与△DEF相似且面积之比为25:16,则△ABC与△DEF的周长之比为      .‎ ‎【答案】5:4.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:已知△ABC与△DEF相似且面积之比为25:16,根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比,可得△ABC与△DEF的相似比为5:4;即可得△ABC与△DEF的周长之比为5:4.‎ 21‎ 考点:相似三角形的性质.‎ ‎9. (2016辽宁沈阳第16题)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=20,DE是△ABC的中位线,点M是边BC上一点,BM=3,点N是线段MC上的一个动点,连接DN,ME,DN与ME相交于点O.若△OMN是直角三角形,则DO的长是      .‎ ‎【答案】或.‎ 考点:三角形综合题.‎ ‎10. .(2016新疆第13题)如图所示,△ABC中,E,F分别是边AB,AC上的点,且满足==,则△AEF与△ABC的面积比是      .‎ ‎【答案】1:9.‎ 21‎ ‎【解析】‎ 试题分析:∵==,∴==.又∵∠A=∠A,∴△AEF∽△ABC,∴△AEF与△ABC的面积比是1:9.‎ 考点:相似三角形的判定与性质.‎ ‎11. (2016湖南娄底第14题)如图,已知∠A=∠D,要使△ABC∽△DEF,还需添加一个条件,你添加的条件是      .(只需写一个条件,不添加辅助线和字母)‎ ‎【答案】∠B=∠DEF(答案不唯一,符合要求即可)‎ ‎【解析】‎ 试题分析:已知∠A=∠D,当∠B=∠DEF时,△ABC∽△DEF,因为AB∥DE时,∠B=∠DEF,添加AB∥DE时,使△ABC∽△DEF.‎ 考点:相似三角形的判定.‎ ‎12. (2016内蒙古巴彦淖尔第7题)如图,E为▱ABCD的边AB延长线上的一点,且BE:AB=2:3,△BEF的面积为4,则▱ABCD的面积为(  )‎ A.30      B.27      C.14      D.32‎ ‎【答案】A.‎ 考点:相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质.‎ 21‎ ‎13.(凉山州)在▱ABCD中,M,N是AD边上的三等分点,连接BD,MC相交于O点,则S△MOD:S△COB= .‎ ‎【答案】或.‎ 考点:1.相似三角形的判定与性质;2.平行四边形的性质.‎ ‎14.(辽宁沈阳)如图,△ABC与△DEF位似,位似中心为点O,且△ABC的面积等于△DEF面积的,则AB:DE= .‎ ‎【答案】2:3.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:∵△ABC与△DEF位似,位似中心为点O,∴△ABC∽△DEF,∴△ABC的面积:△DEF面积==,∴AB:DE=2:3,故答案为:2:3.‎ 考点:位似变换.‎ ‎15.(2016福建南平第21题)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=14,AC=7,D是BC上一点,BD=8,DE⊥‎ 21‎ AB,垂足为E,求线段DE的长.‎ ‎【答案】4.‎ 考点:相似三角形的判定与性质.‎ ‎16. (2016福建莆田第25题)若正方形有两个相邻顶点在三角形的同一条边上,其余两个顶点分别在三角形的另两条边上,则正方形称为三角形该边上的内接正方形,△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c,各边上的高分别记为,,,各边上的内接正方形的边长分别记为,,.‎ ‎(1)模拟探究:如图,正方形EFGH为△ABC的BC边上的内接正方形,求证:;‎ ‎(2)特殊应用:若∠BAC=90°,==2,求的值;‎ ‎(3)拓展延伸:若△ABC为锐角三角形,b<c,请判断与的大小,并说明理由.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2);(3)>.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)先根据EH∥FG,判定△AEH∽△ABC,再根据相似三角形对应边成比例,列出比例式变形即可得到;‎ 21‎ ‎(2)先根据(1)中的结论得出,再将=c和=2代入变形,即可求得的值;‎ 考点:三角形综合题;相似三角形的判定与性质;探究型;和差倍分;压轴题.‎ ‎17.(山东泰安,第27题)(10分)如图,在△ABC中,AB=AC,点P、D分别是BC、AC边上的点,且∠APD=∠B.‎ ‎(1)求证:AC•CD=CP•BP;‎ ‎(2)若AB=10,BC=12,当PD∥AB时,求BP的长.‎ 21‎ ‎【答案】(1)证明见试题解析;(2).‎ ‎【解析】‎ 考点:1.相似三角形的判定与性质;2.综合题.‎ 21‎

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