专题48 一次方程（组）
聚焦考点☆温习理解
1．定义
(1)含有未知数的等式叫做方程；
(2)只含有一个未知数，且含未知数的项的次数是一次，这样的整式方程叫做一元一次方程；
(3)含有两个未知数，且含未知数的项的次数为一次，这样的整式方程叫做二元一次方程．
(4)将两个或两个以上的方程联立在一起，就构成了一个方程组．如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，这样的方程组叫做二元一次方程组．
2．方程的解
(1)能够使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．求方程解的过程叫做解方程．
(2)二元一次方程的解：适合二元一次方程的一组未知数的值．
(3)二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的公共解．
3．解法
(1)解一元一次方程主要有以下步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1.
(2)解二元一次方程组的基本思想是消元，有代入消元法与加减消元法．即把多元方程通过加减、代入、换元等方法转化为一元方程来解．
名师点睛☆典例分类
考点典例一、方程（组）的解
【例1】（南充）已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值是 ．
【答案】﹣1．
【解析】
试题分析：解方程组得：，因为关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，可得：，解得：．故答案为：﹣1．
考点：二元一次方程组的解．
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【举一反三】
（2016辽宁大连第3题）方程2x+3=7的解是（ ）
A．x=5 B．x=4 C．x=3.5 D．x=2
【答案】D.
【解析】
试题分析：2x+3=7，移项合并得2x=4，解得x=2，故答案选D.
考点：一元一次方程的解法．
考点典例二、一元一次方程的解法
【例2】解方程：（1）
（2）x+[2-(x-4)]=2x+3．
【答案】(1) x=10; (2) x=-．
把x的系数化为1得：x=-．
考点：解一元一次方程．
【点睛】(1)去括号可用分配律，注意符号，勿漏乘；含有多重括号的，按去括号法则逐层去括号；(2)去分母，方程两边同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项(特别是常数项)，若分子是多项式，则要把它看成一个整体加上括号；(3)解方程后要代回去检验解是否正确；(4)
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当遇到方程中反复出现相同的部分时，可以将这个相同部分看作一个整体来进行运算，从而使运算简便．
【举一反三】
解方程：
【答案】
考点：解一元一次方程．
考点典例三、二元一次方程(组)的解法
【例3】（2016湖南永州第16题）方程组的解是 ．
【答案】x=2，y=0.
【解析】
试题分析：由①得：x=2﹣2y ③，
将③代入②，得：2（2﹣2y）+y=4，
解得：y=0，
将y=0代入①，得：x=2，
方程组的解为x=2，y=0.
考点：二元一次方程组的解法.
【点睛】(1)解二元一次方程组的方法要根据方程组的特点灵活选择，当方程组中一个未知数的系数的绝对值是1或一个方程的常数项为0时，用代入法较方便；当两个方程中同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较方便；当方程组中同一个未知数的系数的绝对值不相等，且不成整数倍时，把一个(或两个)方程的两边同乘适当的数，使两个方程中某一个未知数的系数的绝对值相等，仍然选用加减法比较简便；(2)用加减消元法时，选择方程组中同一个未知数的系数绝对值的最小公倍数较小的未知数消元，这样会使运算量较小，提高准确率．
【举一反三】
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1.（山东东营第19题，7分） 解方程组：
【答案】：
【解析】
试题分析：利用加减消元法即可。
试题解析：解：①+②得：3x=15，③，∴x=5，将x=5代人①，得：5+y=6，∴y=1，∴方程组的解为
考点：解二元一次方程组。
2.（成都）（本小题满分6分）
解方程组：．
【答案】．
考点：解二元一次方程．
考点典例四、已知方程(组)解的特征，求待定系数
【例3】若关于x、y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k的值是（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】B．
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考点：1.二元一次方程组的解；2.二元一次方程的解．
【点睛】(1)先将待定系数看成已知数，解这个方程组，再将求得的含待定系数的解代入方程中，便转化成一个关于k的一元一次方程；(2)几个方程(组)同解，可选择两个含已知系数的组成二元一次方程组求得未知数的解，然后将方程组的解代入含待定系数的另外的方程(或方程组)，解方程即可．
【举一反三】
已知方程组的解x，y的和为-12，求k的值.
【答案】-11．
【解析】
试题分析：把k看做已知数求出方程组的解表示出x与y，代入x+y=-12计算即可求出k的值．
试题解析：：解：，
解得：x=2k-3，y=2-k，
代入x+y=-12中，得：2k-3+2-k=-12，
解得：k=-11．
考点：二元一次方程组的解．
课时作业☆能力提升
一、选择题
1. （2016海南省第2题）若代数式x+2的值为1，则x等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
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【答案】B.
【解析】
试题分析：由题意可知x+2=1，解得x=-1，故选B.
考点：一元一次方程.
2. （2016贵州铜仁第7题）我国古代名著《九章算术》中有一题“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭）设野鸭大雁与从北海和南海同时起飞，经过x天相遇，可列方程为（ ）
A．（9﹣7）x=1 B．（9+7）x=1 C． D．
【答案】D．
考点：由实际问题抽象出一元一次方程．
3. （2016湖南株洲第6题）在解方程时，方程两边同时乘以6，去分母后，正确的是（ ）
A．2x﹣1+6x=3（3x+1） B．2（x﹣1）+6x=3（3x+1）
C．2（x﹣1）+x=3（3x+1） D．（x﹣1）+x=3（x+1）
【答案】B．
【解析】
试题分析：方程两边同时乘以6得：2（x﹣1）+6x=3（3x+1），故选B．
考点：解一元一次方程．
4. （2016广西来宾第10题）一种饮料有两种包装，5大盒、4小盒共装148瓶，2大盒、5小盒共装100瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x瓶，小盒装y瓶，则可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A．
【解析】
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试题分析：由题意可得，，故选A．
考点：由实际问题抽象出二元一次方程组；探究型．
5. （2016黑龙江绥化第8题）一个长方形的周长为30cm，若这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm就可成为一个正方形，设长方形的长为xcm，可列方程为（ ）
A．x+1=（30﹣x）﹣2 B．x+1=（15﹣x）﹣2
C．x﹣1=（30﹣x）+2 D．x﹣1=（15﹣x）+2
【答案】D．
考点：由实际问题抽象出一元一次方程．
6.（2016福建南平第9题）闽北某村原有林地120公顷，旱地60公顷，为适应产业结构调整，需把一部分旱地改造为林地，改造后，旱地面积占林地面积的20%，设把x公顷旱地改造为林地，则可列方程为（ ）
A．60﹣x=20%（120+x） B．60+x=20%×120
C．180﹣x=20%（60+x） D．60﹣x=20%×120
【答案】A．
【解析】
试题分析：设把x公顷旱地改为林地，根据题意可得方程：60﹣x=20%（120+x）．故选A．
考点：由实际问题抽象出一元一次方程．
8.（2016内蒙古通辽第13题）已知a、b满足方程组，则= ．
【答案】3．
【解析】
试题分析：，①×3+②得：7a=28，即a=4，把a=4代入②得：b=5，则原式=3．故答案为：3．
考点：二元一次方程组的解．
9. （2016江苏盐城第16题）
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李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间分别是固定的，现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55分钟；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85分钟，则李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需 分钟．
【答案】40．
考点：二元一次方程组的应用．
考点：解二元一次方程组．
10.（2016江苏常州第13题）若代数式x﹣5与2x﹣1的值相等，则x的值是 ．
【答案】﹣4．
【解析】
试题分析：根据题意得：x﹣5=2x﹣1，解得：x=﹣4，故答案为：﹣4．
考点：解一元一次方程．
11. （2016四川甘孜州第15题）（1）计算：；
（2）解方程组：．
【答案】（1）1；（2）．
【解析】
试题分析：（1）由零次幂的意义以及特殊角的三角函数值，将其代入算式中即可得出结论；
（2）根据用加减法解二元一次方程组的步骤解方程组即可得出结论．
试题解析：（1）原式==1；
（2）方程①×2+②得：3x=9，方程两边同时除以3得：x=3，将x=3代入①中得：3﹣y=2，移项得：y=1，∴方程组的解为．
考点：解二元一次方程组；实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
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12.（本小题满分9分）根据要求，解答下列问题.
（1）解下列方程组(直接写出方程组的解即可):
.
.
.
（2）以上每个方程组的解中，x值与y值的大小关系为 .
（3）请你构造一个具有以上外形特征的方程组，并直接写出它的解.
【答案】（1）① ② ③（2）x=y
考点：消元法解二元一次方程组，规律探索
13. （2016新疆第17题）解方程组．
【答案】.
【解析】
试题分析：利用加减消元法可接此方程组.
试题解析：①+②得，3x=15，∴x=5，把x=5代入①得，10+3y=7，∴y=﹣1．∴方程组的解为：.
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考点：解二元一次方程组的解.
14. （2016湖北武汉第17题）（本题8分）解方程：5x＋2＝3(x＋2) ．
【答案】x＝2．
【解析】
试题分析：根据一元一次方程的解法解方程即可.
试题解析：去括号得5x＋2＝3x＋6，
移项合并得2x＝4，
∴x＝2．
考点：一元一次方程的解法.
15. （2016四川达州第18题）已知x，y满足方程组，求代数式（x﹣y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）的值．
【答案】原式=.
考点：二元一次方程组的解法；整式的化简求值.
16. （2016山东枣庄第20题） (本题满分8分)
表示n边形的对角线的交点个数（指落在其内部的交点），如果这些交点都不重合，那么与n的关系式是：
(其中，a，b是常数，n≥4)
⑴通过画图，可得四边形时，＝ (填数字)；五边形时，＝ (填数字).
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⑵请根据四边形和五边形对角线交点的个数，结合关系式，求a，b的值.
【答案】(1)，；(2)
考点：数形结合思想；二元一次方程组的解法.
17. （2016湖北黄石第20题）（本小题满分8分）解方程组 .
【答案】.
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考点：二元一次方程组的解法；一元二次方程的解法.
18. （2016湖南怀化第16题）有若干只鸡和兔关在一个笼子里，从上面数，有30个头；从下面数，有84条腿，问笼中各有几只鸡和兔？
【答案】笼子里鸡有18只，兔有12只．
【解析】
试题分析：设这个笼中的鸡有x只，兔有y只，根据“从上面数，有30个头；从下面数，有84条腿”列出方程组，解方程组即可．
试题解析：设这个笼中的鸡有x只，兔有y只，
根据题意得：，
解得；
答：笼子里鸡有18只，兔有12只．
考点：二元一次方程组的应用．
19.（2016江苏苏州第22题）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为12元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆，现在停车场共有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费480元，中、小型汽车各有多少辆？
【答案】中型汽车20辆，小型汽车30辆.
【解析】
试题分析：此题等量关系为：中型汽车+小型汽车=30，中型汽车停车费+小型汽车停车费=480，据此列方程
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考点：二元一次方程组的应用.
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