28．2 解直角三角形及其应用
28．2.1 解直角三角形
知识与技能
在理解解直角三角形的含义、直角三角形五个元素之间关系的基础上，会运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
过程与方法
通过综合运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
情感、态度与价值观
在探究学习的过程中，培养学生合作交流的意识，使学生认识到数与形相结合的意义与作用，体会到学好数学知识的作用，并提高学生将数学知识应用于实际的意识，从而体验“从实践中来，到实践中去”的辩证唯物主义思想，激发学生学习数学的兴趣．让学生在学习过程中感受到成功的喜悦，产生后继学习的激情，增强学好数学的信心．
重点
直角三角形的解法．
难点
灵活运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
一、复习回顾
师：你还记得勾股定理的内容吗？
学生叙述勾股定理的内容．
师：直角三角形的两个锐角之间有什么关系呢？
生：两锐角互余．
师：直角三角形中，30°的角所对的直角边与斜边有什么关系？
生：30°的角所对的直角边等于斜边的一半．
二、共同探究，获取新知
1．概念．
师：由sinA＝，你能得到哪些公式？
生甲：a＝c·sinA.
生乙：c＝.
师：我们还学习了余弦函数和正切函数，也能得到这些式子的变形．我们知道，在直角三角形中有三个角、三条边共六个元素，能否从已知的元素求出未知的元素呢？
教师板书：
在直角三角形中，由已知的边角关系，求出未知的边与角，叫做解直角三角形．
2．练习．
教师多媒体课件出示：
(1)如图(1)和(2)，根据图中的数据解直角三角形．
(1) (2)
师：图(1)中是已知一角和一条直角边解直角三角形的类型，你怎样解决这个问题呢？
生1：根据cos60°＝，得到AB＝，然后把AC边的长和60°角的余弦值代入，求出AB边的长，再用勾股定理求出BC边的长，∠B的度数根据直角三角形两锐角互余即可得到．
生2：先用直角三角形两锐角互余得到∠B为30°，然后根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半，求出AB的值，再由sin60°＝得到BC＝AB·sin60°，从而得到BC边的长．
师：同学们说出的这几种做法都是对的．下面请同学们看图(2)，并解这个直角三角形．
学生思考，计算．
三、例题讲解
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，解这个直角三角形．
解：∵tanA＝＝＝，
∴∠A＝60°，
∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°，
AB＝2AC＝2.
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b＝20，解这个直角三角形．(结果保留小数点后一位)
解：∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55°.
∵tanB＝，
∴a＝＝≈28.6.
∵sinB＝，
∴c＝＝≈34.9.
四、巩固练习
1．在△ABC中，∠C＝90°，下列各式中不正确的是( )
A．b＝a·tanB B．a＝b·cosA
C．c＝ D．c＝
答案 B
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝10，b＝5，则∠A＝________，S△ABC＝________．
答案 30°
五、课堂小结
师：本节课，我们学习了什么内容？
学生回答．
师：你还有什么不懂的地方吗？
学生提问，老师解答．
本节课在教学过程中，能灵活处理教材，敢于放手让学生通过自主学习、合作探究达到理解并掌握知识的目的，并能运用知识解决问题．在本章开头，我带领学生复习了与解直角三角形有关的知识点，使学生在解决问题时能想到并能熟练运用．在解有特殊角的三角形时有不止一种解法，我鼓励学生勇于发言，给了他们展示自我的机会，锻炼他们表达自己想法的能力，并且增强了他们的自信心．
28．2.2 应用举例
知识与技能
使学生掌握仰角、俯角的概念，并会正确运用这些概念和解直角三角形的知识解决一些实际问题．
过程与方法
让学生体验方程思想和数形结合思想在解直角三角形中的用途．
情感、态度与价值观
使学生感知本节课与现实生活的密切联系，进一步认识到将数学知识运用于实践的意义．
重点
将实际问题转化为解直角三角形问题．
难点
将实际问题中的数量关系如何转化为直角三角形中元素间的关系求解．
一、新知讲授
1．讲解．
师：在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形．
教师在黑板上作图．
师：当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角；在水平线下方的角叫做俯角．
注意：(1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角，而不是与铅垂线所夹的角；
(2)仰角和俯角都是锐角．
师：测量仰角、俯角有专门的工具，是测角仪．
2．练习新知．
教师多媒体课件出示：
如图，∠C＝∠DEB＝90°，FB∥AC，从A看D的仰角是________；从B看D的俯角是________；从A看B的________角是________；从D看B的________角是________；从B看A的________角是________．
答案：从A看D的仰角是∠2，从B看D的俯角是∠FBD，从A看B的仰角是∠BAC，从D看B的仰角是∠3，从B看A的俯角是∠1.
二、例题讲解
例1 2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 km的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少？(地球半径约为6 400 km，π取3.142，结果取整数)
分析：从组合体中能直接看到的地球表面最远点，是视线与地球相切时的切点．
如图，本例可以抽象为以地球中心为圆心、地球半径为半径的⊙O的有关问题：其中点F是组合体的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从组合体中观测地球时的最远点，的长就是地球表面上P，Q两点间的距离．为计算的长需先求出∠POQ(即α)的度数．
解：设∠POQ＝α，在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
∵cosα＝＝≈0.9491.
∴α≈18.36°，
∴的长为×6 400≈×6 400≈2 051(km)．
由此可知，当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P点约2051 km.
例2 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高？(结果取整数)
解：如图，α＝30°，β＝60°，AD＝120.
∵tanα＝，tanβ＝，
∴BD＝AD·tanα＝120×tan30°＝120×＝40，
CD＝AD·tanβ＝120×tan60°＝120×＝120.
∴BC＝BD＋CD＝40＋120＝160≈277(m)．
因此，这栋楼高约为277 m.
例3 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远？(结果取整数)
解：如图，在Rt△APC中，
PC＝PA·cos(90°－65°)
＝80×cos25°
≈72.505.
在Rt△BPC中，∠B＝34°，
∵sinB＝，
∴PB＝＝≈130(n mile)．
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130 n mile.
三、巩固提高
1．如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，现测得有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60°方向500 m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB长是( )
A．250 m B．250 m
C. m D．250 m
答案 A
2．王师傅在楼顶上的点A处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60°，已知水平距离BD＝10 m，楼高AB＝24 m，则树CD的高度为( )
A．(24－)m B．(24－10) m
C．(24－5) m D．9 m
答案 B
四、课堂小结
师：本节课，我们学习了什么内容？
学生回答．
师：你还有什么不懂的地方吗？
学生提问，教师解答．
解直角三角形的内容是初中阶段数学教学中的重点之一，使学生对所学知识有了更好的巩固，同时让学生体会到数学与实际生活的联系，例题设置具有一定坡度，由浅入深，步步深入．
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