1.5公因数和最大公因数
【教学目标】
1．通过解决实际问题的活动，进一步理解公因数，最大公因数和素因数的意义，掌握求两个数的公因数，最大公因数的基本方法。
2．经历对问题的分析，观察，找规律，讨论的过程，进一步加深对公因数，最大公因数和素因数意义的理解，体会选择适当方法解决问题的优化思想，锻炼分析问题和解决问题的能力。
3．在积极思考、积极参与讨论的活动中，自觉改进学习，促进良好学习习惯的养成和沟通、交流能力的提高。
【教学重点与难点】理解公因数，最大公因数和素因数的意义，并会求两个数的公因数，最大公因数，知道互素和素数有什么区别.
教学过程设计
一、 情景引入
练习：请大家拿出练习本，分别写出 6 的因数， 8 的因数
6 的因数： 1 、 2 、 3 、 6
8 的因数： 1 、 2 、 4 、 8
教师：太好了，我们已经学会找一个数的因数
那么请你们仔细看一看，
学生不难答出6 和 8 的公有的因数是1和2
猜想：这样老师就可以让学生猜想几个数的公因数的定义：几个数共有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个数叫做这几个数的最大公因数
二、学习新课
问题的提出：植树节这天，老师带领24名女生和32名男生到植物园种树，老师把这些学生分成人数相等的若干个小组，每个小组的男生人数都相等，请问，这56名同学最多分成几组？
问题的分析：
1．24和32的因数是多少？
2．24和32的公因数是多少？
3．24和32的最大公因数是多少？
4
问题的答案：
24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24
32的因数有：1，2，4，8，16，32
24和32的公因数是1，2，4，8
24和32的最大公因数是8
问题的引伸：
因此老师最多可以把这些学生分成8组，每组中分别有3名女生和4名男生
例题1 求8和9的所有公因数，并求它们的最大公因数
解：8的因数有1，2，4，8
9的因数有1，3，9
8和9只有公因数1，因此8和9的最大公因数是1
如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素
例题1中的8和9就是互素的
例题2 8和12各有哪些因数，它们公有的因数是哪几个？最大的公有的因数是多少？
学生口答教师板书：
8的因数有1，2，4，8
12的因数有1，2，3，4，6，12
8和12公有的因数有1，2，4
8和12的最大的公有的因数有4
教师：下面用图表示（几何画板演示）
教师：第二幅中阴影部分表示什么？(8和12公有的因数，4是最大的。)
再次强调：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数
例题3 求18和30的最大公因数
解法1 18的因数有1，2，3，6，9，18
4
30的因数有1，2，3，5，6，10，15，30
18和30的公因数有1，2，3，6
最大的公因数是6
拓展 以上的例题3有没有更快捷的方法呢？
解法2：把18和30分别分解素因数
18=2×3×3
30=2×3×5
可以看出，18和30全部共有的素因数是2和3，因此2和3的乘积6就是18和30的最大公因数
求几个整数的最大公因数，只要把它们所有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数
解法3 为了简便，也可以用短除法计算
18和30的最大公因数是2×3=6
例题4 求48和60的最大公因数
解：
48和60的最大公约数是2×2×3=12
三、巩固练习
1．口答填空：
12的因数是( )；
18的因数是( )；
4
12和18的公因数是( )；
12和18的最大公因数是( )
2．把15和18的因数、公因数分别填在下面的圈里，再找出它们的最大公因数
请找出下面各组数的公因数：
5和7 8和9 1和12 9和15 7和9 16和20
答案：学生口答后老师在每组后面标出公因数。
5和7(1) 8和9(1) 1和12(1)
9和15(1，3) 7和9(1) 16和20(1，2，4)
3．快速回答：
24的因数是( )；
36的因数是( )；
54的因数是( )；
24，36和54的公因数是( )；
24，36和54的最大公因数是( )
四、找规律
观察： （1）3和5的最大公因数是 ；
（2）18和36的最大公因数是 ；
（3）6和7的最大公因数是 ；
（4）8和15的最大公因数是
通过求这四组数中的最大公因数，你发现了什么规律？
规律：两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数，如果两个数互素，那么它们的最大公因数就是1
五、布置作业
1 . 练习1.5 1，2，3
2 . 复习所学的知识
3 . 预习新课
4
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