第二节 简谐运动的力和能量特征
1．(3分)一水平弹簧振子做简谐运动，则下列说法中正确的是( )
A．若位移为负值，则速度一定为正值
B．振子通过平衡位置时，速度为零
C．振子每次通过平衡位置时，速度一定相同
D．振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同
【解析】 该题考查简谐运动中位移和速度的变化规律．振子做简谐运动时，某时刻位移的方向与速度的方向可能相同，也可能相反，A、C不正确．当通过同一位置时，速度的方向不一定相同，D正确．经过平衡位置时，速度最大，B错．
【答案】 D
2．(3分)做简谐运动的弹簧振子在某段时间内速度越来越大，则这段时间内( )
A．振子的位移越来越大
B．振子正向平衡位置运动
C．振子速度与位移同向
D．振子速度与位移方向相反
【解析】 弹簧振子的速度越来越大，说明正向平衡位置移动；由于位移总是由平衡位置指向振子所在的位置，所以在振子向平衡位置运动过程中，其速度方向与位移反向．正确选项为B、D.
【答案】 BD
3．(4分)如图1－2－1，小球套在光滑水平杆上，与弹簧组成弹簧振子，O为平衡位置，小球在O附近的AB间做简谐运动，设向右为正方向，则：
图1－2－1
(1)速度由正变负的位置在________．
(2)位移为负向最大的位置在________．
【解析】 由简谐运动特点知，速度方向由正变为负的位置为A点，位移为负向最大的位置是B点．
【答案】 (1)A (2)B
课 标
导 思
1．掌握简谐运动的力的特征，明确回复力的概念．
2．
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理解简谐运动过程中位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化关系．
3．知道简谐运动的能量的特征，知道简谐运动的能量与振幅大小的关系.
学生P4
一、简谐运动的力的特征
1．回复力
(1)方向特点：总是指向平衡位置．
(2)作用效果：把物体拉回到平衡位置．
(3)来源：回复力是根据力的效果(选填“性质”或“效果”)命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供．
(4)表达式：F＝－kx.即回复力与物体的位移大小成正比，负号表明回复力与位移方向始终相反，k是一个常数，由振动系统决定．
2．简谐运动的动力学定义
简谐运动是运动图象具有正弦或余弦函数规律、运动过程中受到大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反的回复力的作用的运动．
二、简谐运动的能量的特征
1．振动系统的状态与能量的关系
(1)振子的速度与动能：速度不断变化，动能也不断变化．
(2)弹簧形变量与势能：弹簧形变量在不断变化，因而势能也在不断变化．
2．简谐运动的能量
一般指振动系统的机械能．振动的过程就是动能和势能互相转化的过程．
(1)在最大位移处，势能最大，动能为零；
(2)在平衡位置处，动能最大，势能最小．
(3)在简谐运动中，振动系统的机械能守恒(选填“守恒”或“减小”)，因此简谐运动是一种理想化的模型．
3．决定能量大小的因素
振动系统的机械能跟振幅有关，振幅越大，机械能就越大，振动越强．一个确定的简谐运动是等幅振动．
学生P4
一、简谐运动的力的特征
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1．解读F＝－kx
(1)公式中的F表示做简谐运动的物体所受的回复力，它是根据力的效果命名的，可以是物体所受的合外力，也可以是一个力或某几个力的合力或分力等．如图1－2－2所示，(a)图中是弹簧的弹力充当回复力，(b)图中是重力和弹簧弹力的合力充当回复力，而(c)图中则是两弹簧的弹力充当回复力．
1－2－2
(2)公式中的k是一个比例系数，对弹簧振子来说，k等于弹簧的劲度系数，与振子的质量等无关，单位为N/m.
(3)公式中的“一”号表示回复力的方向与位移方向始终相反．
2．简谐运动的动力学判断方法
(1)以平衡位置为原点，沿运动方向建立x直线坐标系．
(2)在振动过程中任选一位置(平衡位置除外)，对振动物体进行受力分析．
(3)将力沿振动方向和垂直振动方向上分解，求出振动方向上的合力．
(4)判定振动方向上合力与位移关系是否符合F＝－kx即可．
二、对简谐运动的能量的认识
1．决定因素
对于一个确定的振动系统，简谐运动的能量由振幅决定，振幅越大，系统的能量越大．
2．能量获得
开始振动系统的能量是通过外力做功由其他形式的能转化成振动系统的机械能的．
3．能量转化
当振动系统自由振动后，如果不考虑阻力作用，系统只发生动能和势能的相互转化，机械能守恒．
【特别提醒】 振幅决定简谐运动的能量可从功能关系的角度去理解.如把原来静止的弹簧振子拉离平衡位置，需要外力对物体做功，外力做功越多，系统获得的能量越多，则物体开始振动时的振幅就越大.
三、简谐运动中位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化规律
简谐运动中，由于位移x时刻变化，所以会引起回复力F、加速度a、速度v、动能Ek和势能Ep的变化，具体的变化规律见下表：
弹簧振子
振子的运动
位移
加速度(回复力)
速度
动能
势能
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O→B
增大，方向向右
增大，方向向左
减小，方向向右
减小
增大
B
最大
最大
0
0
最大
B→O
减小，方向向右
减小，方向向左
增大，方向向左
增大
减小
O
0
0
最大
最大
0
O→C
增大，方向向左
增大，方向向右
减小，方向向左
减小
增大
C
最大
最大
0
0
最大
C→O
减小，方向向左
减小，方向向右
增大，方向向右
增大
减小
【特别提醒】 ①在简谐运动中，位移x、回复力F、加速度a和势能Ep四个物理量同步变化，与速度v及动能Ek的变化步调相反.
②因动能和势能均为标量，所以在一个周期内动能和势能完成两个周期性变化.
一、简谐运动的回复力理解
对于弹簧振子，其回复力和位移的关系，下列图中正确的是( )
图1－2－3
【导析】 由简谐运动回复力的特点分析判断
【解析】 由简谐运动的回复力公式F＝－kx可知，弹簧振子做简谐运动时的回复力和位移的关系图象应如选项C所示．
【答案】 C
回复力是根据力的作用效果命名的，回复力总是指向平衡位置．初学者要注意：回复力不一定是物体受到的合外力，回复力也不一定只是弹簧的弹力，例如后面将要学习的单摆.
1．如图1－2－4所示，物体m系在两弹簧之间，弹簧劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然状态，今向右拉m，然后释放，物体在B、C间振动，O为平衡位置(不计阻力)，则下列判断正确的是( )
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图1－2－4
A．m做简谐运动，OC＝OB
B．m做简谐运动，OC≠OB
C．回复力F＝－kx
D．回复力F＝－3kx
【解析】 设m在平衡位置O处两弹簧均处于原长状态，则m振动后任取一位置A，如图．设在A处m的位移为x，则在A处m所受水平方向的合力
F＝k2x＋k1x＝(k2＋k1)x，
考虑到F与x方向关系有：
F＝－(k2＋k1)x＝－3kx，
选项D正确，C错误；
可见m做的是简谐运动，由简谐运动的对称性可得OC＝OB，选项A正确，B错误．
【答案】 AD
二、简谐振动中的能量分析
如图1－2－5所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M.
图1－2－5
(1)简谐运动的能量取决于________，本题中物体振动时________能和__________能相互转化，总________________守恒．
(2)振子在振动过程中有以下说法，正确的是( )
A．振子在平衡位置，动能最大，势能最小
B．振子在最大位移处，势能最大，动能最小
C．振子在向平衡位置移动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小
D．在任意时刻，动能与势能之和保持不变
(3)若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面，且m和M无相对运动而一起运动，下列说法正确的是( )
A．振幅不变 B．振幅减小
C．最大动能不变 D．最大动能减小
【导析】 在分析简谐运动的能量问题时，要弄清运动质点的受力情况和力的做功情况，知道是什么能在它们之间转化．
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【解析】 (1)简谐运动的能量取决于振幅，本题中物体振动时动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒．
(2)振子在平衡位置两侧往复振动，在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变最大，势能最大，所以B正确；在任意时刻只有弹簧的弹力做功，所以机械能守恒，D正确；到平衡位置处速度达到最大，动能最大，势能最小，所以A正确；振幅的大小与振子的位置无关，所以选项C错误．
(3)振子运动到B点时速度恰为0，此时放上m，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能，由于简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不变．因此选项A正确，B错误．由于机械能守恒，最大动能不变，所以选项C正确，D错误．
【答案】 (1)振幅 动 弹性势 机械能 (2)ABD (3)AC
简谐运动是一种无能量损失的振动，它只是动能与势能之间发生转化，但总机械能守恒．其能量只由振幅决定，即振幅不变振动系统的能量不变，当m在最大位移处轻放在M上，说明m刚放上时动能为0，又因m与M间无相对运动，m放上前后振幅没改变，振动系统机械能总量不变.
2．图1－2－6为一弹簧振子的振动图象，由图可知( )
图1－2－6
A．t1时刻，振子动能最大，所受回复力最大
B．t2时刻，振子动能最大 ，所受回复力最小
C．t3时刻，振子动能最大，所受回复力最小
D．t4时刻，振子动能最大，所受回复力最大．
【解析】 t1时刻，振子位于正方向的最大位移处，回复力最大，速度最小，A错；t2时刻，振子位于平衡位置处，回复力最小，速度最大，动能最大，B正确；同理分析可知C、D均是错误的．
【答案】 B
三、简谐运动中各物理量的变化分析
一弹簧振子做简谐运动，下列说法中正确的有( )
A．若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值
B．振子通过平衡位置时，速度为零，加速度最大
C．振子每次通过平衡位置时，加速度相同，速度也一定相同
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D．振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同
【导析】 (1)平衡位置是位移、加速度和回复力方向变化的转折点．(2)最大位移处是速度方向变化的转折点．
【解析】 如图所示，因为弹簧振子的位移是以平衡位置O为起点的，设向右为正，则当振子在OB段时，位移为正，在OA段时位移为负．可见当振子由O向A运动时其位移为负值，速度也是负值，故A错．
振子在平衡位置时，回复力为零，加速度为零，但速度最大，故B错．
振子在平衡位置O时，速度方向可以是不同的(可正、可负)，故C错．
由a＝－kx/m知，x相同时a相同，但振子在该点的速度方向可以向左，也可以向右，故D正确．
【答案】 D
分析简谐运动各量变化关系时，要和实际弹簧振子运动联系起来，画出草图来分析.
1．简谐运动的回复力( )
A．可以是恒力
B．可以是方向不变而大小变化的力
C．可以是大小不变而方向改变的力
D．一定是变力
【解析】 由F＝－kx可知，由于位移的大小和方向在变化，因此回复力的大小和方向也在变化．故简谐运动的回复力一定是变力．
【答案】 D
2．关于振幅，以下说法中正确的是( )
A．物体振动的振幅越大，振动越强烈
B．一个确定的振动系统，振幅越大振动系统的能量越大
C．振幅越大，物体振动的位移越大
D．振幅越大，物体振动的加速度越大
【解析】 物体振动的能量由振幅决定．振幅越大，振动能量越大，振动越强烈．因此，A、B正确．振幅是质点离开平衡位置的最大距离，与位移无关．而加速度随时间时刻变化，所以C、D不正确．
【答案】 AB
3．如图1－2－7所示，弹簧振子B上放一个物块A，在A与B
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一起做简谐运动的过程中，关于A受力说法中正确的是( )
图1－2－7
A．物块A受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力
B．物块A受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力
C．物块A受重力、支持力及B对它的恒定的摩擦力
D．物块A受重力、支持力及B对它的大小和方向都随时间变化的摩擦力
【解析】 物块A受到重力、支持力和摩擦力的作用．摩擦力提供回复力，所以其大小和方向都随时间变化，D选项正确．
【答案】 D
4．把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O在A、B间振动，如图1－2－8所示，下列结论正确的是( )
图1－2－8
A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小
B．小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大
C．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功
D．小球在O位置的总能量大于B位置的总能量
【解析】 小球在平衡位置时动能最大，加速度为零，因此A选项正确．小球靠近平衡位置时，回复力做正功；远离平衡位置时，回复力做负功．振动过程中总能量不变，因此B、C、D选项不正确．
【答案】 A
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