第四节 探究单摆的振动周期
1．(3分)如图1－4－1，把一个有孔的小木球装在弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球穿在光滑杆上，能够自由振动，这个系统可称为弹簧振子吗？若将小木球改为同体积的钢球呢？
图1－4－1
【答案】 小球为木球时，系统不能看作弹簧振子，小球为钢球时，系统可看作弹簧振子．系统能否看成弹簧振子需同时满足两个条件：①小球运动过程中不受阻力，②小球质量明显大于弹簧质量．第一种情景中不满足条件②.
2．(3分)简谐运动这种运动形式具有什么特征？
【答案】 简谐运动是物体在平衡位置附近所做的往复性运动．因此它具有往复性的特点．(也可认为，做简谐运动的物体每隔一定时间它将重复原先的运动，它具有周期性的特点)．它又是以平衡位置为中心的振动，因此又具有对称性的特点．
3．(4分)如图1－4－2，小球套在光滑水平杆上，与弹簧组成弹簧振子，O为平衡位置，小球在O附近的AB间做简谐运动，设向右为正方向，则：
图1－4－2
(1)动能最大的位置在________．
(2)加速度为负向最大的位置在________．
【解析】 平衡位置是振动物体运动速度最大的位置，也即动能最大的位置，即图中O点；因加速度是矢量，做第(2)问要看准正方向，因正方向向右，所以加速度为负向最大的位置在A.
【答案】 (1)O (2)A
课 标
导 思
1．知道什么是单摆．
2．理解摆角很小时，单摆的振动是简谐运动．
3．探究单摆的周期跟什么因素有关，掌握单摆的周期公式，并能用来进行有关计算.
9
/9
学生P8
一、单摆
1．组成
(1)细线，(2)小球．
2．理想化要求
(1)质量关系：细线质量与小球质量相比可以忽略．
(2)线度关系：球的直径与线的长度相比可以忽略．
(3)力的关系：忽略摆动过程中所受阻力作用．
实验中为满足上述条件，我们尽量选择质量大，体积小的球和尽量细轻的线．
二、单摆的回复力
1．回复力的提供
摆球的重力沿圆弧方向的分力．
2．回复力的特点
在偏角很小时，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－x.
3．运动规律
单摆在偏角很小时做简谐运动，其振动图象遵循正弦函数规律．
三、单摆振动周期的实验探究
1．探究单摆的振幅、位置、摆长对周期的影响
(1)探究方法：控制变量法．
(2)实验结论
①单摆振动的周期与摆球质量无关．
②振幅较小时周期与振幅无关．
③摆长越长，周期越大；摆长越短，周期越小．
2．周期公式
(1)提出：周期公式是惠更斯首先提出的．
(2)公式：T＝2π，即T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比．
9
/9
学生P9
一、透析单摆模型
1．运动特点
(1)摆球以悬点为圆心做变速圆周运动，在运动过程中只要速度v≠0，半径方向都受向心力．
(2)摆球以平衡位置为中心做往复运动，在运动过程中只要不在平衡位置，轨迹的切线方向都受回复力．
2．摆球的受力
(1)任意位置：如图1－4－3所示，G2＝Gcos θ，F－G2的作用就是提供摆球绕O′做变速圆周运动的向心力；G1＝Gsin θ的作用是提供摆球以O为中心做往复运动的回复力．
图1－4－3
(2)平衡位置：摆球经过平衡位置时，G2＝G，G1＝0，此时F应大于G，F－G的作用是提供向心力；因在平衡位置，回复力F回＝0，与G1＝0相符．
(3)单摆的简谐运动
在θ很小时(理论值为5°)，sin θ≈θ＝，G1＝Gsin θ＝x，G1方向与摆球位移方向相反，所以有回复力F回＝G1＝－x＝－kx.因此，只有在摆角θ很小时，单摆才做简谐运动，其振动图象遵循正弦函数规律，图象是正弦或余弦曲线．
二、单摆振动的周期
单摆的周期公式T＝2π是惠更斯从实验中总结出来的．单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大回复力越大，加速度越大，由于摆球的运动轨迹是圆弧，所以除最高点外，摆球的回复力并不等于合外力．在有些振动系统中g不一定为9.8 m/s2，因此出现了等效重力加速度的问题．
1．公式中的g由单摆所在的空间位置决定．
由G＝g知，g随地球表面不同位置、不同高度的变化而变化，在不同星球上也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值g′代入公式，即g不一定等于9.8 m/s2.
9
/9
2．g还由单摆系统的运动状态决定．
如单摆处在向上加速发射的航天飞机内，设加速度为a，此时摆球处于超重状态，沿圆弧切线方向的回复力变大，摆球质量不变，则重力加速度的等效值g′＝g＋a.再如，单摆若处于在轨道上运动的航天飞机内，摆球完全失重，回复力为零，则等效值g′＝0，所以周期为无穷大，即单摆不摆动了．
3．g还由单摆所处的物理环境决定
如带电小球做成的单摆在竖直方向的匀强电场中，回复力应是重力和竖直电场力的合力在圆弧切线方向的分力，所以也有g′的问题．
三、等效单摆的探究
1．实际摆的等效摆长的求法
实际摆的摆球不可能是质点，对不规则的摆动物体或复合物体，摆长均为从悬点到摆动物体重心的长度，而从悬点到摆线与摆球连接点的长度通常叫摆线长．等效摆长是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，而不一定是摆线的长度．如图1－4－4所示，摆球可视为质点，各段绳长均为l，(a)、(b)中摆球做垂直纸面的小角度摆动，(c)中小球在纸面内做小角度摆动，O′为垂直纸面的钉子，＝l/3，等效摆长分别为la＝lsin α，lb＝l＋lsin α，lc半个周期为l，另半个周期为，周期分别为Ta＝2π ，Tb＝2π ，Tc＝π＋π .
图1－4－4
若摆球不可视为质点，摆球的直径为d，则la＝lsin α＋，lb＝l＋lsin α＋，lc的半个周期为l＋，另半个周期为l＋，周期分别为Ta＝2π ，Tb＝2π ，
Tc＝π ＋π
9
/9
2．可等效为单摆的圆周运动
若物体在光滑的半径较大的圆周上做小幅度的圆周运动时，如图1－4－5所示，小球所受重力沿切线方向指向平衡位置的分力的大小为F＝Gsin θ，在R≫时，θ很小，θ≈sin θ，F＝－·x＝－kx，符合简谐运动的动力学特征，因此可以将此运动等效为单摆的简谐运动，其等效单摆的周期公式T＝2π .
图1－4－5
一、单摆周期公式的应用
两个单摆甲和乙，它们的摆长之比为4∶1.若它们在同一地点做简谐运动，则它们的周期之比T甲∶T乙＝________.在甲摆完成10次全振动的时间内，乙摆完成的全振动次数为________．
【导析】 单摆的周期与摆长的平方根成正比，与当地重力加速度的平方根成反比．
【解析】 本题主要考查对单摆周期公式的理解．因两单摆在同一地点做简谐运动，g相同，由周期公式T＝2π 知T∝，因此周期之比为2∶1；甲完成10次全振动的时间t＝10T甲，乙在相同时间内完成的全振动次数．
n＝＝20.
【答案】 2∶1 20
处理单摆问题：一要充分理解单摆摆动的情景；二要充分理解周期公式中各量的意义、实质，方可准确应对灵活多变的单摆问题．如许多问题中的“等效摆长”、“等效重力加速度”等.
1．有一摆长为L
9
/9
的单摆，悬点正下方某处有一小钉，当摆球经过平衡位置向左摆动时，摆线的上部将被挡住，使摆长发生变化．现使摆球做小角度摆动，图1－4－6为摆球从右边最高点M摆至左边最高点N的闪光照片(悬点和小钉未摄入)，P为摆动中的最低点，每相邻两次闪光的时间间隔相等，则小钉距悬点的距离为( )
图1－4－6
A．L/4 B．L/2
C．3L/4 D．条件不足，无法判断
【解析】 题图中M到P为四个时间间隔，P到N为两个时间间隔，即左半部分单摆的周期是右半部分单摆周期的，根据周期公式T＝2π 可得，左半部分单摆的摆长为，即小钉距悬点的距离为3L/4，故C选项正确．
【答案】 C
二、等效摆长问题
如图1－4－7所示，ACB为光滑弧形槽，弧形槽半径为R，R≫.甲球从弧形槽的球心处自由落下，乙球从A点由静止释放，问两球第1次到达C点的时间之比．
图1－4－7
【导析】 球在槽上的运动可看成简谐运动，到C点的时间为单摆周期的；甲球做自由落体运动．
【解析】 甲球做自由落体运动．R＝gt，所以t1＝.乙球沿圆弧做简谐运动(由于≪R，可认为摆角θv2.
【答案】 B
9
/9
微信/支付宝扫码支付