新人教A版数学必修二教案：1.3.2+球的体积和表面积教案.doc

长丰县实验高中2016 ~2017学年第一学期高二年级数学学科 集 体 备 课 教 案 项目 内容 课题 ‎1.3.2‎‎ 球的体积和表面积 ‎（共 1 课时）‎ 修改与创新 教学 目标 掌握球的表面积和体积公式，并能应用其解决有关问题，提高学生解决问题的能力，培养转化与化归的数学思想方法.‎ 教学重、‎ 难点 教学重点：球的表面积和体积公式的应用.‎ 教学难点：关于球的组合体的计算.‎ 教学 准备 多媒体课件 教学过程 一、导入新课：‎ 球既没有底面，也无法像柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？球的大小与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？教师引出课题：球的体积和表面积.‎ 二、讲授新课：‎ ‎ 球的半径为R，它的体积和表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数.事实上，如果球的半径为R，那么S=4πR2,V=.‎ 应用示例 例1 如图1所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：‎ 图1‎ ‎（1）球的体积等于圆柱体积的；‎ ‎（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.‎ 活动：学生思考圆柱和球的结构特征，并展开空间想象.教师可以使用信息技术帮助学生读懂图形.‎ 证明：（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.‎ 则有V球=，V圆柱=πR2·2R=2πR3，所以V球=.‎ ‎（2）因为S球=4πR2，S圆柱侧=2πR·2R=4πR2，所以S球=S圆柱侧.‎ 点评：本题主要考查有关球的组合体的表面积和体积的计算.解决此类问题的关键是明确组合体的结构特征.‎ 变式训练 ‎1.如图2(1)所示，表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积.‎ 图2‎ 解：设球的半径为R，正四棱柱底面边长为a,则轴截面如图2（2），所以AA′=14,AC=,又∵4πR2=324π,∴R=9.‎ ‎∴AC=.∴a=8.‎ ‎∴S表=64×2+32×14=576,即这个正四棱柱的表面积为576.‎ ‎2有一种空心钢球，质量为‎142 g,测得外径（直径）等于‎5 cm，求它的内径（钢的密度为‎7.9 g/cm3，精确到‎0.1 cm）.‎ 解：设空心球内径（直径）为2x cm,则钢球质量为 ‎7.9·［］=142,‎ ‎∴x3=≈11.3,∴x≈2.24,∴直径2x≈4.5.‎ 答：空心钢球的内径约为‎4.5 cm.‎ 例2 如图3所示，表示一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为‎1 m、高为‎3 m的圆柱形物体，上面是一个半球形体.‎ 如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花（π取3.1）?‎ 图3‎ 活动：学生思考和讨论如何计算鲜花的朵数.鲜花的朵数等于此几何体的表面积（不含下底面）与每朵鲜花占用的面积.几何体的表面积等于圆柱的侧面积再加上半球的表面积.‎ 解：圆柱形物体的侧面面积S1≈3.1×1×3=9.3(m2),‎ 半球形物体的表面积为S2≈2×3.1×()2≈1.6(m2),‎ 所以S1+S2≈9.3+1.6=10.9(m2).‎ ‎10.9×150≈1 635(朵).‎ 答：装饰这个花柱大约需要1 635朵鲜花.‎ 点评：本题主要考查球和圆柱的组合体的应用，以及解决实际问题的能力.‎ 变式训练 ‎ 有一个轴截面为正三角形的圆锥容器，内放一个半径为R的内切球，然后将容器注满水，现把球从容器中取出，水不损耗，且取出球后水面与圆锥底面平行形成一圆台体，问容器中水的高度为多少？‎ 分析：转化为求水的体积.画出轴截面，充分利用轴截面中的直角三角形来解决.‎ 解：作出圆锥和球的轴截面图如图4所示，‎ 图4‎ 圆锥底面半径r=,‎ 圆锥母线l=2r=，圆锥高为h==3R，‎ ‎∴V水=·3R2·3R，‎ 球取出后，水形成一个圆台，下底面半径r=,设上底面半径为r′，‎ 则高h′=(r-r′)tan60°=,‎ ‎∴(r2+r′2+rr′),∴5R3=,‎ ‎∴5R3=，‎ 解得r′=,‎ ‎∴h′=()R.‎ 答：容器中水的高度为()R.‎ 课堂小结：‎ 本节课学习了：‎ ‎1.球的表面积和体积.‎ ‎2.计算组合体的体积时，通常将其转化为计算柱、锥、台、球等常见的几何体的体积.‎ 布置作业：‎ 课本本节练习 1、2、3.‎ 板书设计 教学反思