2.4.1 等比数列 的概念及通项公式
项目
内容
课题
2.4.1 等比数列的概念及通项公式
（共 1 课时）
修改与创新
教学
目标
一、知识与技能
1.了解现实生活中存在着一类特殊的数列;
2.理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式;
3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题;
4.体会等比数列与指数函数的关系.
二、过程与方法
1.采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学;
2.发挥学生的主体作用，作好探究性活动;
3.密切联系实际，激发学生学习的积极性.
三、情感态度与价值观
1.通过生活中的大量实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力;
2.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣.
教学重、
难点
教学重点 1.等比数列的概念;
2.等比数列的通项公式.
教学难点 1.在具体问题中抽象出数列的模型和数列的等比关系;
2.等比数列与指数函数的关系.
教学
准备
多媒体课件
教学过程
导入新课
师 现实生活中，有许多成倍增长的实例.如，将一张报纸对折、对折、再对折、…，对折了三次，手中的报纸的层数就成了8层，对折了5次就
成了32层.你能举出类似的例子吗？
生 一粒种子繁殖出第二代120粒种子，用第二代的120粒种子可以繁殖出第三代120×120粒种子，用第三代的120×120粒种子可以繁殖出第四代120×120×120粒种子，…
师 非常好的一个例子！
现实生活中，我们会遇到许多这类的事例.
教师出示多媒体课件一：某种细胞分裂的模型.
师 细胞分裂的个数也是与我们上述提出的问题类似的实例.细胞分裂有什么规律，将每次分裂后细胞的个数写成一个数列，你能写出这个数列吗？
生 通过观察和画草图，发现细胞分裂的规律，并记录每次分裂所得到的细胞数，从而得到每次细胞分裂所得到的细胞数组成下面的数列：
1，2，4，8，…①
教师出示投影胶片1：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”
师 这是《庄子·天下篇》中的一个论述，能解释这个论述的含义吗？
生 思考、讨论，用现代语言叙述.
师 (用现代语言叙述后)如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么得到的数列是什么样的呢？
生 发现等比关系，写出一个无穷等比数列：1，，，，，… ②
教师出示投影胶片2：计算机病毒传播问题.
一种计算机病毒，可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播.如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推.假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机,那么在不重复的情况下,这种病毒感染的计算机数构成一个什么样的数列呢?
师 (读题后)这种病毒每一轮传播的计算机数构成的数列是怎样的呢？
引导学生发现“病毒制造者发送病毒称为第一轮”“每一轮感染20台计算机”中蕴涵的等比关系.
生 发现等比关系，写出一个无穷等比数列：
1，20，202，203，204，… ③
教师出示多媒体课件二：银行存款利息问题.
师 介绍“复利”的背景：“复利”是我国现行定期储蓄中的一种支付利息的方式，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的“利滚利”.我国现行定期储蓄中的自动转存业务实际上就是按复利支付利息的.
给出计算本利和的公式：
本利和=本金×(1+本金)n，这里n为存期.
生 列出5年内各年末的本利和，并说明计算过程.
师 生合作讨论得出“时间”“年初本金”“年末本利和”三个量之间的对应关系，并写出：各年末本利和(单位：元)组成了下面数列：
10 000×1.019 8，10 000×1.019 82，10 000×1.019 83，10 000×1.019 84，10 000×1.019 85. ④
师 回忆数列的等差关系和等差数列的定义，观察上面的数列①②③④，说说它们有什么共同特点？
师 引导学生类比等差关系和等差数列的概念，发现等比关系.
引入课题：板书课题 2.4等比数列的概念及通项公式
推进新课
［合作探究］
师 从上面的数列①②③④中我们发现了它们的共同特点是：具有等比关系.如果我们将具有这样特点的数列称之为等比数列，那么你能给等比数列下一个什么样的定义呢？
生 回忆等差数列的定义，并进行类比，说出：
一般地，如果把一个数列，从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列.
［教师精讲］
师 同学们概括得很好，这就是等比数列(geometric sequence)的定义.有些书籍把等比数列的英文缩写记作G.P.(Geometric Progression).我们今后也常用G.P.这个缩写表示等比数列.定义中的这个常数叫做等比数列的公比(common ratio)，公比通常用字母q表示(q≠0).
请同学们想一想，为什么q≠0呢？
生 独立思考、合作交流、自主探究.
师 假设q=0，数列的第二项就应该是0，那么作第一项后面的任一项与它的前一项的比时就出现什么了呢？
生 分母为0了.
师 对了，问题就出在这里了，所以，必须q≠0.
师 那么，等比数列的首项能不能为0呢？
生 等比数列的首项不能为0.
师 是的，等比数列的首项和公比都不能为0，等比数列中的任一项都不会是0.
［合作探究］
师类比等差中项的概念，请同学们自己给出等比中项的概念.
生 如果在a与b中间插入一个数G，使a、G、b成等比数列，那么G叫做a、b的等比中项.
师 想一想，这时a、b的符号有什么特点呢？你能用a、b表示G吗？
生 一起探究,a、b是同号的，G=±，G2=ab.
师 观察学生所得到的a、b、G的关系式，并给予肯定.
补充练习：与等差数列一样，等比数列也具有一定的对称性，对于等差数列来说，与数列中任一项等距离的两项之和等于该项的2倍，即a n-k+a n+k=2an.对于等比数列来说，有什么类似的性质呢？
生 独立探究，得出：等比数列有类似的性质：a n-k·a n+k=an2.
［合作探究］
探究：
(1)一个数列a1,a2,a3,…,an,…(a1≠0)
是等差数列，同时还能不能是等比数列呢？
(2)写出两个首项为1的等比数列的前5项，比较这两个数列是否相同？写出两个公比为2的等比数列的前5项，比较这两个数列是否相同？
(3)任一项an及公比q相同，则这两个数列相同吗？
(4)任意两项am、an相同，这两个数列相同吗？
(5)若两个等比数列相同，需要什么条件？
师 引导学生探究，并给出(1)的答案，（2)(3)(4)可留给学生回答.
生 探究并分组讨论上述问题的解答办法，并交流(1)的解答.
［教师精讲］
概括总结对上述问题的探究，得出：
(1)中，既是等差数列又是等比数列的数列是存在的，每一个非零常数列都是公差为0，公比为1的既是等差数列又是等比数列的数列.
概括学生对(2)(3)(4)的解答.
(2)中，首项为1，而公比不同的等比数列是不会相同的；公比为2，而首项不同的等比数列也是不会相同的.
(3)中，是指两个数列中的任一对应项与公比都相同，可得出这两个数列相同；
(4)中，是指两个数列中的任意两个对应项都相同，可以得出这两个数列相同；
(5)中，结论是：若两个数列相同，需要“首项和公比都相同”.
(探究的目的是为了说明首项和公比是决定一个等比数列的必要条件；为等比数列的通项公式的推导做准备)
［合作探究］
师回顾等差数列的通项公式的推导过程，你能推导出等比数列的通项公式吗？
生 推导等比数列的通项公式.
［方法引导］
师 让学生与等差数列的推导过程类比，并引导学生采用不完全归纳法得出等比数列的通项公式.
具体的，设等比数列{an}首项为a1，公比为q，根据等比数列的定义，我们有：
a2=a1q,a3=a2q=a1q2,…,an=a n-1q=a1q n-1，
即an=a1qn-1.
师 根据等比数列的定义，我们还可以写出
,
进而有an=an-1q=a n-2q2=a n-3q3=…=a1q n-1.
亦得
an=a1qn-1.
师 观察一下上式，每一道式子里，项的下标与q的指数，你能发现有什么共同的特征吗？
生 把an看成anq0，那么，每一道式子里，项的下标与q的指数的和都是n.
师 非常正确，这里不仅给出了一个由an倒推到an与a1，q的关系，从而得出通项公式的过程，而且其中还蕴含了等比数列的基本性质，在后面我们研究等比数列的基本性质时将会再提到这组关系式.
师 请同学们围绕根据等比数列的定义写出的式子
,再思考.
如果我们把上面的式子改写成.
那么我们就有了n-1个等式，将这n-1个等式两边分别乘到一起(叠乘)，得到的结果是,于是，得an=a1q n-1.
师 这不又是一个推导等比数列通项公式的方法吗？
师 在上述方法中，前两种方法采用的是不完全归纳法，严格的，还需给出证明.第三种方法没有涉及不完全归纳法，是一个完美的推导过程，不再需要证明.
师 让学生说出公式中首项a1和公比q的限制条件.
生 a1，q都不能为0.
［知识拓展］
师 前面实例中也有“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习和习题，那里是用什么方法解决问题的呢？
教师出示多媒体课件三：前面实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习或习题.
某种储蓄按复利计算成本利息，若本金为a元，每期利率为r，设存期是x,本利和为y元.
（1）写出本利和y随存期x变化的函数关系式；
（2）如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.
师 前面实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的问题是用函数的知识和方法解决问题的.
生 比较两种方法，思考它们的异同.
［教师精讲］
通过用不同的数学知识解决类似的数学问题，从中发现等比数列和指数函数可以联系起来.
(1)在同一平面直角坐标系中，画出通项公式为an=2 n-1的数列的图象和函数y=2x-1的图象，你发现了什么？
(2)在同一平面直角坐标系中，画出通项公式为的数列的图象和函数y=()x-1的图象，你又发现了什么？
生 借助信息技术或用描点作图画出上述两组图象，然后交流、讨论、归纳出二者之间的关系.
师 出示多媒体课件四：借助信息技术作出的上述两组图象.
观察它们之间的关系，得出结论：等比数列是特殊的指数函数，等比数列的图象是一些孤立的点.
师 请同学们从定义、通项公式、与函数的联系3个角度类比等差数列与等比数列，并填充下列表格：
等差数列
等比数列
定 义
从第二项起，每一项与它前一项的差都是同一个常数
从第二项起，每一项与它前一项的比都是同一个常数
首项、公差(公比)取值有无限制
没有任何限制
首项、公比都不能为0
通项公式
an=a1+(n-1)d
an=a1q n-1
相应图象的特点
直线y=a1+(x-1)d上孤立的点
函数y=a1qx-1图象上孤立的点
［例题剖析］
【例1】某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的这种物质是原来的84％，这种物质的半衰期为多长(精确到1年)？
师 从中能抽象出一个数列的模型，并且该数列具有等比关系.
【例2】 根据右图中的框图，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式，这个数列是等比数列吗？
师 将打印出来的数依次记为a1(即A)，a2，a3，….
可知a1=1;a2=a1×;a3=a2×.
于是，可得递推公式
.
由于，因此，这个数列是等比数列.
生 算出这个数列的各项，求出这个数列的通项公式.
练习：
1.一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项.
师 启发、引导学生列方程求未知量.
生 探究、交流、列式、求解.
2.课本第59页练习第1、2题.
课堂小结
本节学习了如下内容：
1.等比数列的定义.
2.等比数列的通项公式.
3.等比数列与指数函数的联系.
布置作业
课本第60页习题2.4 A组第1、2题.
板书设计
等比数列的概念及通项公式
1.等比数列的定义 实例剖析
2.等比数列的通项公式 从三个角度类比等差数列表 例1
练习：1.(学生板演) 例2
教学反思
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