2018届高考数学大一轮复习--变化率与导数、导数的计算(理科含解析)
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资料简介
第一节变化率与导数、导数的计算 本节主要包括2个知识点:‎ ‎1.导数的运算;2.导数的几何意义.‎ 突破点(一) 导数的运算 基础联通 抓主干知识的“源”与“流” ‎ ‎1.函数y=f(x)在x=x0处的导数 称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率li =li 为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x=x0,‎ 即f′(x0)=li =li .‎ ‎2.函数f(x)的导函数 称函数f′(x)=li 为f(x)的导函数.‎ ‎3.基本初等函数的导数公式 原函数 sin x cos x ax(a>0)‎ ex logax(a>0,且a≠1)‎ ln x 导函数 cos x ‎-sin_x axln_a ex ‎4.导数运算法则 ‎(1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);‎ ‎(2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);‎ ‎(3)′=(g(x)≠0).‎ ‎5.复合函数的导数 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx′=yu′·ux′,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.‎ 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” ‎ 已知函数的解析式求导数 ‎[例1] 求下列函数的导数:‎ ‎(1)y=(1-);‎ ‎(2)y=;‎ ‎(3)y=tan x;‎ ‎(4)y=3xex-2x+e;‎ ‎(5)y=.‎ ‎[解] (1)∵y=(1-)=-=x--x,‎ ‎∴y′=(x-)′-(x)′=-x--x-.‎ ‎(2)y′=′= ‎= ‎=.‎ ‎(3)y′=′= ‎= ‎=.‎ ‎(4)y′=(3xex)′-(2x)′+(e)′‎ ‎=(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′‎ ‎=3x(ln 3)·ex+3xex-2xln 2‎ ‎=(ln 3+1)·(3e)x-2xln 2.‎ ‎(5)y′= ‎= ‎=.‎ ‎[方法技巧]‎ 导数的运算方法 ‎(1)连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导.‎ ‎(2)‎ 分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导.‎ ‎(3)对数形式:先化为和、差的形式,再求导.‎ ‎(4)根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导.‎ ‎(5)三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导.‎ ‎(6)复合函数:确定复合关系,由外向内逐层求导.‎ 导数运算的应用 ‎[例2] (1)(2016·济宁二模)已知函数f(x)=x(2 017+ln x),f′(x0)=2 018,则x0=(  )‎ A.e2    B.‎1 ‎   C.ln 2    D.e ‎(2)已知f(x)=x2+2xf′(2 017)+2 017ln x,则f′(1)=________.‎ ‎[解析] (1)由题意可知f′(x)=2 017+ln x+x·=2 018+ln x.由f′(x0)=2 018,得ln x0=0,解得x0=1.‎ ‎(2)由题意得f′(x)=x+‎2f′(2 017)+,‎ 所以f′(2 017)=2 017+‎2f′(2 017)+,‎ 即f′(2 017)=-(2 017+1)=-2 018.‎ 故f′(1)=1+2×(-2 018)+2 017=-2 018.‎ ‎[答案] (1)B (2)-2 018‎ ‎[方法技巧]‎ 对抽象函数求导的解题策略 在求导问题中,常涉及一类解析式中含有导数值的函数,即解析式类似为f(x)=f′(x0)x+sin x+ln x(x0为常数)的函数,解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数,其导数值为0.因此先求导数f′(x),令x=x0,即可得到f′(x0)的值,进而得到函数解析式,求得所求的导数值. ‎ 能力练通 抓应用体验的“得”与“失” ‎ ‎1.(2017·东北四市联考)已知y=,则y′=(  )‎ A. B.- C. D.0‎ 解析:选D 因为常数的导数为0,又y=是常数函数,所以y′=0.‎ ‎2.(2016·大同二模)已知函数f(x)=xsin x+ax,且f′=1,则a=(  )‎ A.0 B.‎1 C.2 D.4‎ 解析:选A ∵f′(x)=sin x+xcos x+a,且f′=1,∴sin+cos+a=1,即a=0.‎ ‎3.(2017·湖北重点中学月考)已知函数f(x)的导数为f′(x),且满足关系式f(x)=x2+3xf′(2)+ln x,则f′(2)的值等于(  )‎ A.-2 B.‎2 C.- D. 解析:选C 因为f(x)=x2+3xf′(2)+ln x,所以f′(x)=2x+‎3f′(2)+,所以f′(2)=2×2+‎3f′(2)+,解得f′(2)=-.故选C.‎ ‎4.在等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)·(x-a2)·…·(x-a8),则f′(0)的值为________.‎ 解析:因为f′(x)=x′·[(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]+[(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]′·x=(x-a1)·(x-a2)·…·(x-a8)+[(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]′·x,所以f′(0)=(0-a1)(0-a2)·…·(0-a8)+0=a‎1a2·…·a8.又数列{an}为等比数列,所以a‎2a7=a‎3a6=a‎4a5=a‎1a8=8,所以f′(0)=84=4 096.‎ 答案:4 096‎ ‎5.求下列函数的导数.‎ ‎(1)y=x2sin x;‎ ‎(2)y=ln x+;‎ ‎(3)y=;‎ ‎(4)y=xsincos.‎ 解:(1)y′=(x2)′sin x+x2(sin x)′‎ ‎=2xsin x+x2cos x.‎ ‎(2)y′=′=(ln x)′+′=-.‎ ‎(3)y′=′==-.‎ ‎(4)∵y=xsincos=xsin(4x+π)=-xsin 4x,‎ ‎∴y′=-sin 4x-x·4cos 4x ‎=-sin 4x-2xcos 4x.‎ 突破点(二) 导数的几何意义 基础联通 抓主干知识的“源”与“流”‎ 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点P(x0,y0)处的切线的斜率.相应地,切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0).特别地,如果曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线垂直于x轴,则此时导数f′(x0)不存在,由切线定义可知,切线方程为x=x0.‎ 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”‎ 求切线方程 ‎[例1] 已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.‎ ‎(1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;‎ ‎(2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程.‎ ‎[解] (1)∵f′(x)=3x2-8x+5,‎ ‎∴f′(2)=1,又f(2)=-2,‎ ‎∴曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-(-2)=x-2,‎ 即x-y-4=0.‎ ‎(2)设切点坐标为(x0,x-4x+5x0-4),‎ ‎∵f′(x0)=3x-8x0+5,‎ ‎∴切线方程为y-(-2)=(3x-8x0+5)(x-2),‎ 又切线过点(x0,x-4x+5x0-4),‎ ‎∴x-4x+5x0-2=(3x-8x0+5)(x0-2),‎ 整理得(x0-2)2(x0-1)=0,‎ 解得x0=2或x0=1,‎ ‎∴经过A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程为x-y-4=0或y+2=0.‎ ‎ [方法技巧]‎ 求切线方程问题的两种类型及方法 ‎(1)求“在”曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线方程(高考常考类型),则点P(x0,y0)‎ 为切点,切线斜率为k=f′(x0),有唯一的一条切线,对应的切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0).‎ ‎(2)求“过”曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)的切线方程,则切线经过点P,点P可能是切点,也可能不是切点,这样的直线可能有多条.解决问题的关键是设切点,利用“待定切点法”,即:①设切点A(x1,y1),则以A为切点的切线方程为y-y1=f′(x1)(x-x1);②根据题意知点P(x0,y0)在切线上,点A(x1,y1)在曲线y=f(x)上,得到方程组求出切点A(x1,y1),代入方程y-y1=f′(x1)(x-x1),化简即得所求的切线方程.‎ ‎[提醒] “过点A的曲线的切线方程”与“在点A处的曲线的切线方程”是不相同的,后者A必为切点,前者未必是切点.曲线在某点处的切线,若有,则只有一条;曲线过某点的切线往往不止一条.切线与曲线的公共点不一定只有一个. ‎ 求切点坐标 ‎[例2] 设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则点P的坐标为________.‎ ‎[解析] y=ex的导数为y′=ex,则曲线y=ex在点(0,1)处的切线斜率k1=e0=1.y=(x>0)的导数为y′=-(x>0),设P(m,n),则曲线y=(x>0)在点P处的切线斜率k2=-(m>0).因为两切线垂直,所以k1k2=-1,所以m=1,n=1,则点P的坐标为(1,1).‎ ‎[答案] (1,1)‎ 求参数的值 ‎[例3] 直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则‎2a+b的值等于(  )‎ A.2 B.-‎1 ‎‎ C.1 D.-2‎ ‎[解析] 依题意知,y′=3x2+a,则由此解得所以‎2a+b=1,选C.‎ ‎[答案] C ‎  [方法技巧]‎ 根据导数的几何意义求参数值的思路 根据导数的几何意义求参数的值时,一般是利用切点P(x0,y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解.‎ 能力练通 抓应用体验的“得”与“失” ‎ ‎1.已知f(x)=2exsin x,则曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为(  )‎ A.y=0 B.y=2x C.y=x D.y=-2x 解析:选B ∵f(x)=2exsin x,∴f(0)=0,f′(x)=2ex(sin x+cos x),∴f′(0)=2,∴曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x.‎ ‎2.曲线f(x)=在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为,则实数a=(  )‎ A.1 B.-‎1 C.7 D.-7‎ 解析:选C f′(x)==,∵f′(1)=tan=-1,即=-1,∴a=7.‎ ‎3.在平面直角坐标系xOy中,点M在曲线C:y=x3-x+1上,且在第二象限内,已知曲线C在点M处的切线的斜率为2,则点M的坐标为________.‎ 解析:由y′=3x2-1=2,得x=±1,又点M在第二象限内,故x=-1,此时y=1,故点M的坐标为(-1,1).‎ 答案:(-1,1)‎ ‎4.(2017·衡阳八中模拟)已知函数f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中a>0且a≠1,f′(x)为f(x)的导函数,若f′(1)=3,则a的值为________.‎ 解析:因为f(x)=axln x,所以f′(x)=ln a·axln x+.又f′(1)=3,所以a=3.‎ 答案:3‎ ‎5.若曲线y=xln x上点P 处的切线平行于直线 2x-y+1=0,则点P的坐标是________.‎ 解析:由题意得y′=ln x+x·=1+ln x,直线2x-y+1=0的斜率为2.设P(m,n),则1+ln m=2,解得m=e,所以n=eln e=e,即点P的坐标为(e,e).‎ 答案:(e,e)‎ ‎6.如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),其中g′(x) 是g(x)‎ 的导函数,则曲线g(x)在x=3处的切线方程为________.‎ 解析:由题图可知曲线y=f(x)在x=3处切线的斜率等于-,即f′(3)=-.又因为g(x)=xf(x),所以g′(x)=f(x)+xf′(x),g′(3)=f(3)+‎3f′(3),由题图可知f(3)=1,所以g(3)=‎3f(3)=3,g′(3)=1+3×=0.则曲线g(x)在x=3处的切线方程为y-3=0.‎ 答案:y-3=0‎ ‎[全国卷5年真题集中演练——明规律] ‎ ‎ ‎ ‎1.(2014·新课标全国卷Ⅱ)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=(  )‎ A.0 B.‎1 C.2 D.3‎ 解析:选D y′=a-,由题意得y′|x=0=2,即a-1=2,所以a=3.‎ ‎2.(2016·全国甲卷)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=________.‎ 解析:易得(ln x+2)′=,[ln(x+1)]′=.设曲线y=ln x+2上的切点横坐标为x1,曲线y=ln(x+1)上的切点横坐标为x2,则y=ln x+2的切线方程为:y=·x+ln x1+1,y=ln(x+1)的切线方程为:y=x+ln(x2+1)-.根据题意,有 解得x1=,x2=-,∴b=ln x1+1=1-ln 2.‎ 答案:1-ln 2‎ ‎3.(2016·全国丙卷)已知f(x)为偶函数,当x0时,f(x)=f(-x)=ln x-3x,所以f′(x)=-3,则f′(1)=-2.所以y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程为y+3=-2(x-1),即y=-2x-1.‎ 答案:y=-2x-1‎ ‎4.(2016·全国甲卷)已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).‎ ‎(1)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;‎ ‎(2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求a的取值范围.‎ 解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞).‎ 当a=4时,f(x)=(x+1)ln x-4(x-1),‎ f(1)=0,f′(x)=ln x+-3,f′(1)=-2.‎ 故曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y-0=-2(x-1),即2x+y-2=0.‎ ‎(2)当x∈(1,+∞)时,f(x)>0等价于ln x->0.‎ 设g(x)=ln x-,‎ 则g′(x)=-=,g(1)=0.‎ ‎①当a≤2,x∈(1,+∞)时,x2+2(1-a)x+1≥x2-2x+1>0,故g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)上单调递增,因此g(x)>0;‎ ‎②当a>2时,令g′(x)=0得x1=a-1-,x2=a-1+.‎ 由x2>1和x1x2=1得x1<1,故当x∈(1,x2)时,g′(x)<0,g(x)在(1,x2)上单调递减,‎ 因此g(x)<0.‎ 综上,a的取值范围是(-∞,2].‎ ‎[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基,二练题点过高考 ‎ [练基础小题——强化运算能力]‎ ‎1.函数f(x)=(x+‎2a)(x-a)2的导数为(  )‎ A.2(x2-a2) B.2(x2+a2)‎ C.3(x2-a2) D.3(x2+a2)‎ 解析:选C ∵f(x)=(x+‎2a)(x-a)2=x3-‎3a2x+‎2a3,‎ ‎∴f′(x)=3(x2-a2).‎ ‎2.曲线y=sin x+ex在点(0,1)处的切线方程是(  )‎ A.x-3y+3=0 B.x-2y+2=0‎ C.2x-y+1=0 D.3x-y+1=0‎ 解析:选C ∵y=sin x+ex,‎ ‎∴y′=cos x+ex,‎ ‎∴y′=cos 0+e0=2,‎ ‎∴曲线y=sin x+ex在点(0,1)处的切线方程为y-1=2(x-0),即2x-y+1=0.‎ ‎3.(2016·安庆二模)给出定义:设f′(x)是函数y=f(x)的导函数,f″(x)是函数f′(x)的导函数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.已知函数f(x)=3x+4sin x-cos x的拐点是M(x0,f(x0)),则点M(  )‎ A.在直线y=-3x上 B.在直线y=3x上 C.在直线y=-4x上 D.在直线y=4x上 解析:选B f′(x)=3+4cos x+sin x,f″(x)=-4sin x+cos x,由题可知f″(x0)=0,即4sin x0-cos x0=0,所以f(x0)=3x0,故M(x0,f(x0))在直线y=3x上.故选B.‎ ‎4.(2016·贵阳一模)曲线y=xex在点(1,e)处的切线与直线ax+by+c=0垂直,则的值为(  )‎ A.- B.- C. D. 解析:选D y′=ex+xex,则y′|x=1=2e.∵曲线在点(1,e)处的切线与直线ax+by+c=0垂直,∴-=-,∴=,故选D.‎ ‎5.已知直线y=-x+1是函数f(x)=-ex图象的切线,则实数a=________.‎ 解析:设切点为(x0,y0).f ′(x)=-ex,则f ′(x0)=-·ex0=-1,∴ex0=a,又-·ex0=-x0+1,∴x0=2,∴a=e2.‎ 答案:e2‎ ‎[练常考题点——检验高考能力]‎ 一、选择题 ‎1.(2017·惠州模拟)已知函数f(x)=cos x,则f(π)+f′=(  )‎ A.- B.- ‎ C.- D.- 解析:选C 由题可知,f(π)=-,f′(x)=-cos x+(-sin x),则f(π)+f′=-+×(-1)=-.‎ ‎2.设曲线y=在点处的切线与直线x-ay+1=0平行,则实数a等于(  )‎ A.-1 B. C.-2 D.2‎ 解析:选A ∵y′=,∴y′x==-1,由条件知=-1,∴a=-1.‎ ‎3.(2017·上饶模拟)若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2距离的最小值为(  )‎ A.1 B. C. D. 解析:选B 由题可得,y′=2x-.因为y=x2-ln x的定义域为(0,+∞),所以由2x-‎ =1,得x=1,则P点坐标为(1,1),所以曲线在点P处的切线方程为x-y=0,所以两平行线间的距离为d==,即点P到直线y=x-2距离的最小值为.‎ ‎4.(2016·南昌二中模拟)设点P是曲线y=x3-x+上的任意一点,P点处切线倾斜角α的取值范围为(  )‎ A.∪ B. C.∪ D. 解析:选C 因为y′=3x2-≥-,故切线斜率k≥-,所以切线倾斜角α的取值范围是∪.‎ ‎5.(2017·重庆诊断)已知函数f(x)=+sin x,其导函数为f′(x),则f(2 017)+f(-2 017)+f′(2 017)-f′(-2 017)的值为(  )‎ A.0 B.‎2 C.2 017 D.-2 017‎ 解析:选B ∵f(x)=+sin x,∴f′(x)=-+cos x,f(x)+f(-x)=+sin x++sin(-x)=2,f′(x)-f′(-x)=-+cos x+-cos(-x)=0,∴f(2 017)+f(-2 017)+f′(2 017)-f′(-2 017)=2.‎ ‎6.已知f(x)=ln x,g(x)=x2+mx+(m

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