新人教A版数学必修二教案：2.3.4+平面与平面垂直的性质教案.doc

长丰县实验高中2016 ~2017学年第一学期高二年级数学（文科）‎ 集 体 备 课 教 案 项目 内容 课题 ‎2.3.4‎‎ 平面与平面垂直的性质 ‎（1课时）‎ 修改与创新 教学 目标 ‎1.探究平面与平面垂直的性质定理，进一步培养学生的空间想象能力.‎ ‎2.面面垂直的性质定理的应用，培养学生的推理能力.‎ ‎3.通过平面与平面垂直的性质定理的学习,培养学生转化的思想.‎ 教学重、‎ 难点 教学重点:平面与平面垂直的性质定理.‎ 教学难点:平面与平面性质定理的应用.‎ 教学 准备 多媒体课件 教学过程 复习 ‎（1）面面垂直的定义.‎ 如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直.‎ ‎（2）面面垂直的判定定理.‎ 两个平面垂直的判定定理：‎ 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.‎ 两个平面垂直的判定定理符号表述为：α⊥β.‎ 两个平面垂直的判定定理图形表述为：‎ 图1‎ 如图2，长方体ABCD—A′B′C′D′中，平面A′ADD′与平面ABCD垂直,直线A′A垂直于其交线AD.平面A′ADD′内的直线A′A与平面ABCD垂直吗？‎ 图2‎ 提出问题 ‎①如图3,若α⊥β,α∩β=CD,ABα,AB⊥CD,AB∩CD=B.‎ 请同学们讨论直线AB与平面β的位置关系.‎ 图3‎ ‎②用三种语言描述平面与平面垂直的性质定理，并给出证明.‎ ‎③设平面α⊥平面β,点P∈α,P∈a,a⊥β,请同学们讨论直线a与平面α的关系.‎ ‎④分析平面与平面垂直的性质定理的特点，讨论应用定理的难点.‎ ‎⑤总结应用面面垂直的性质定理的口诀.‎ 活动:问题①引导学生作图或借助模型探究得出直线AB与平面β的关系.‎ 问题②引导学生进行语言转换.‎ 问题③引导学生作图或借助模型探究得出直线a与平面α的关系.‎ 问题④引导学生回忆立体几何的核心，以及平面与平面垂直的性质定理的特点.‎ 问题⑤引导学生找出应用平面与平面垂直的性质定理的口诀.‎ 讨论结果：①通过学生作图或借助模型探究得出直线AB与平面β垂直,如图3.‎ ‎②两个平面垂直的性质定理用文字语言描述为：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面.‎ 两个平面垂直的性质定理用图形语言描述为：如图4.‎ 图4‎ 两个平面垂直的性质定理用符号语言描述为：AB⊥β.‎ 两个平面垂直的性质定理证明过程如下：‎ 图5‎ 如图5，已知α⊥β,α∩β=a,ABα，AB⊥a于B.‎ 求证：AB⊥β.‎ 证明：在平面β内作BE⊥CD垂足为B,则∠ABE就是二面角αCDβ的平面角.‎ 由α⊥β,可知AB⊥BE.又AB⊥CD，BE与CD是β内两条相交直线,∴AB⊥β.‎ ‎③问题③也是阐述面面垂直的性质，变为文字叙述为：‎ 求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内.下面给出证明.‎ 如图6,已知α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β.求证：aα.‎ 图6‎ 证明：设α∩β=c，过点P在平面α内作直线b⊥c，‎ ‎∵α⊥β,∴b⊥β.而a⊥β，P∈a,‎ ‎∵经过一点只能有一条直线与平面β垂直,∴直线a应与直线b重合.那么aα.‎ ‎ 利用“同一法”证明问题，主要是在按一般途径不易完成问题的情形下所采用的一种数学方法，这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线b ‎，不易想到，二是证明直线b和直线a重合，相对容易些.点P的位置由投影所给的图及证明过程可知，可以在交线上，也可以不在交线上.‎ ‎ ④我认为立体几何的核心是：直线与平面垂直，因为立体几何的几乎所有问题都是围绕它展开的，例如它不仅是线线垂直与面面垂直相互转化的桥梁，而且由它还可以转化为线线平行，即使作线面角和二面角的平面角也离不开它.两个平面垂直的性质定理的特点就是帮我们找平面的垂线，因此它是立体几何中最重要的定理.‎ ‎ ⑤应用面面垂直的性质定理口诀是：“见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线”.‎ 应用示例 例1 如图7，已知α⊥β，a⊥β,aα,试判断直线a与平面α的位置关系.‎ 图7‎ 解:在α内作垂直于α与β交线的垂线b,‎ ‎∵α⊥β,∴b⊥β.∵a⊥β,∴a∥b.∵aα,∴a∥α.‎ 变式训练 ‎ 如图8,已知平面α交平面β于直线a.α、β同垂直于平面γ，又同平行于直线b.求证：(1)a⊥γ；(2)b⊥γ.‎ ‎ ‎ 图8 图9‎ 证明：如图9,‎ ‎(1)设α∩γ=AB，β∩γ=AC.在γ内任取一点P并在γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC.‎ ‎∵γ⊥α，∴PM⊥α.而aα，∴PM⊥a.‎ 同理,PN⊥a.又PMγ，PNγ，∴a⊥γ.‎ ‎(2)在a上任取点Q，过b与Q作一平面交α于直线a1，交β于直线a2.∵b∥α，∴b∥a1.同理,b∥a2.∵a1、a2同过Q且平行于b，∴a1、a2重合.‎ 又a1α，a2β，∴a1、a2都是α、β的交线，即都重合于a.‎ ‎∵b∥a1，∴b∥a.而a⊥γ，∴b⊥γ.‎ 点评：面面垂直的性质定理作用是把面面垂直转化为线面垂直，见到面面垂直首先考虑利用性质定理，其口诀是：“见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线”.‎ 例2 如图10，四棱锥P—ABCD的底面是AB=2，BC=的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD.‎ ‎ ‎ 图10 图11‎ ‎（1）证明侧面PAB⊥侧面PBC；‎ ‎（2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角；‎ ‎（3）求直线AB与平面PCD的距离.‎ ‎（1）证明：在矩形ABCD中，BC⊥AB,‎ 又∵面PAB⊥底面ABCD,侧面PAB∩底面ABCD=AB,∴BC⊥侧面PAB.‎ 又∵BC侧面PBC,∴侧面PAB⊥侧面PBC.‎ ‎（2）解：如图11,取AB中点E，连接PE、CE,又∵△PAB是等边三角形,∴PE⊥AB.‎ 又∵侧面PAB⊥底面ABCD，∴PE⊥面ABCD.‎ ‎∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角.‎ PE=BA=,CE==,‎ 在Rt△PEC中，∠PCE=45°为所求.‎ ‎（3）解：在矩形ABCD中，AB∥CD,‎ ‎∵CD侧面PCD，AB侧面PCD，∴AB∥侧面PCD.‎ 取CD中点F，连接EF、PF，则EF⊥AB.‎ 又∵PE⊥AB,∴AB⊥平面PEF.又∵AB∥CD,‎ ‎∴CD⊥平面PEF.∴平面PCD⊥平面PEF.‎ 作EG⊥PF，垂足为G，则EG⊥平面PCD.‎ 在Rt△PEF中，EG=为所求.‎ 变式训练 ‎ 如图12，斜三棱柱ABC—A1B‎1C1的棱长都是a，侧棱与底面成60°角，侧面BCC1B1⊥面ABC.求平面AB‎1C1与底面ABC所成二面角的大小.‎ 图12‎ 活动:请同学考虑面BB‎1C‎1C⊥面ABC及棱长相等两个条件，师生共同完成表述过程，并作出相应辅助线.‎ 解：∵面ABC∥面A1B‎1C1，则面BB‎1C‎1C∩面ABC=BC,‎ 面BB‎1C‎1C∩面A1B‎1C1=B‎1C1,∴BC∥B‎1C1，则B‎1C1∥面ABC.‎ 设所求两面交线为AE，即二面角的棱为AE,‎ 则B‎1C1∥AE，即BC∥AE.‎ 过C1作C1D⊥BC于D，∵面BB‎1C‎1C⊥面ABC,‎ ‎∴C1D⊥面ABC，C1D⊥BC.‎ 又∠C1CD=60°,CC1=a,故CD=,即D为BC的中点.‎ 又△ABC是等边三角形,∴BC⊥AD.‎ 那么有BC⊥面DAC1,即AE⊥面DAC1.‎ 故AE⊥AD，AE⊥AC1,∠C1AD就是所求二面角的平面角.‎ ‎∵C1D=a，AD=a，C1D⊥AD,故∠C1AD=45°.‎ 点评:利用平面与平面垂直的性质定理,找出平面的垂线是解决问题的关键.‎ 课堂小结 知识总结：利用面面垂直的性质定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.‎ 思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题.‎ 作业 课本习题2.3 B组3、4.‎ 板书设计 教学反思