第七节解三角形应用举例
本节主要包括3个知识点：
1.距离问题； 2.高度问题；3.角度问题.
突破点(一) 距离问题
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．测量距离问题的三种类型
(1)两点间不可达又不可视．
(2)两点间可视但不可达．
(3)两点都不可达．
2．解决距离问题的方法
选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
两点都不可到达的距离问题
[例1] 如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出AB的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠ACB＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠ADB＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.
若测得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．
[解] ∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，
∴∠DAC＝60°，∴AC＝CD＝ (km)．
在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠DCB＝45°，
由正弦定理，得BC＝·sin∠CDB＝·sin 30°＝.
在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB
＝＋－2×××＝.
∴AB＝(km)．即A，B两点间的距离为 km.
两点不可到达又不可视的距离问题
[例2] 如图所示，要测量一座山的山脚两侧A，B两点间的距离，其方法为先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离．即AB＝.
若测得AC＝400 m，BC＝600 m，∠ACB＝60°，试计算AB的长．
[解] 在△ABC中，由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，
∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000.
∴AB＝200 (m)．
即A，B两点间的距离为200 m.
两点间可视但有一点不可到达的距离问题
[例3] 如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出AB的距离，其方法是在A所在的岸边选定一点C，可以测出AC的距离m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠BAC＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.
若测出AC＝60 m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为________m.
[解析] 在△ABC中，B＝180°－75°－45°＝60°，
所以由正弦定理得，＝，
∴AB＝＝＝20(m)．
即A，B两点间的距离为20 m.
[答案] 20
[方法技巧]
距离问题的求解策略
(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为( )
A．50 m B．50 m
C．25 m D. m
解析：选A 由题，B＝30°，由正弦定理得
AB＝＝＝50(m)．
2.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，某同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了四种测量方案：(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a；④测量a，b，B.则一定能确定A，B间距离的所有方案的序号为( )
A．①②③ B．②③④
C．①③④ D．①②③④
解析：选A 已知三角形的两角及一边，可以确定三角形，故①③正确；已知两边及其夹角，可以确定三角形，故②正确；已知两边与其中一边的对角，三角形的个数可能为一个、两个或零个，即三角形不能唯一确定，故④错误．
3.如图，为了测量两座山峰上两点P，Q之间的距离，选择山坡上一段长度为300米且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为________米．
解析：设AQ∩PB＝C(图略)，可知∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°，又∠PBA＝∠PBQ＝60°，∴∠AQB＝30°，∴△ABQ为等腰三角形，∴AC＝CQ，BC⊥AQ，∴△PQA为等腰三角形，∵∠PAQ＝60°，∴△PQA为等边三角形，故PQ＝AQ，在Rt△ACB中，AC
＝AB·sin 60°＝300×＝，∴PQ＝AQ＝900.故P，Q两点间的距离为900米．
答案：900
4.如图，CD是京九铁路线上的一条穿山隧道，开凿前，在CD所在水平面上的山体外取点A，B，并测得四边形ABCD中，∠ABC＝，
∠BAD＝，AB＝BC＝400米，AD＝250米，则应开凿的隧道CD的长为________．
解析：在△ABC中，AB＝BC＝400，∠ABC＝，所以△ABC为等边三角形，所以AC＝400，∠ACB＝.又因为∠BAC＝，∠BAD＝，所以∠DAC＝∠BAD－∠BAC＝.在△ADC中，AD＝250，AC＝400，∠DAC＝，由余弦定理可得CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos∠DAC，即CD2＝2502＋4002－2×250×400×cos.解得CD＝350(米)．
答案：350米
5.要测量河对岸A，B两点之间的距离，选取相距 km 的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则A，B之间的距离为________km.
解析：如图所示，在△ACD中，∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝120°，则∠CAD＝∠ADC＝30°，
∴AC＝CD＝(km)．
在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，则∠CBD＝60°.
∴由正弦定理得BC＝＝.
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝()2＋2－2×××cos 75°＝3＋2＋－＝5，
∴AB＝(km)，即A，B之间的距离为 km.
答案：
突破点(二) 高度问题
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
2．坡角与坡度
坡面与水平面所成的二面角的度数叫坡角(如图②，角θ为坡角)；坡面的铅直高度与水平长度之比叫坡度(如图②，i为坡度)，坡度又称为坡比．
考点
贯通
抓高考命题的“形”与“神”
测量高度问题
[典例] 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.
[解析] 由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，
∠ABC＝180°－75°＝105°，
故∠ACB＝45°.
又AB＝600 m，
故由正弦定理得＝，
解得BC＝300 m.
在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300×＝100 (m)．
[答案] 100
[方法技巧]
求解高度问题的三个关注点
(1)在处理有关高度问题时，关键是要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)的含义．
(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高是( )
A. 米 B. 米
C．200 米 D．200 米
解析：选A 如图所示，AB为山高，CD为塔高，则由题意知，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝200(米)．则AC＝＝(米)．在△ACD中，∠CAD＝60°－30°＝30°，∠ACD＝30°，∴∠ADC＝120°.由正弦定理得＝，∴CD＝＝(米)．
2．(2017·江西联考)某位居民站在离地20 m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60°，小高层底部的俯角为45°，那么这栋小高层的高度为( )
A．20m B．20(1＋)m
C．10(＋)m D．20(＋)m
解析：选B 如图，设AB为阳台的高度，CD为小高层的高度，AE为水平线．由题意知AB＝20 m，∠DAE＝45°，∠CAE＝60°，故AE＝DE＝AB＝20 m，CE＝AE·tan 60°＝20m.所以CD＝20(1＋)m，故选B.
3.如图，塔AB底部为点B，若C，D两点相距为100 m并且与点B在同一水平线上，现从C，D两点测得塔顶A的仰角分别为45°和30°，则塔AB的高约为(精确到0.1 m，≈1.73，≈1.41)( )
A．36.4 m B．115.6 m
C．120.5 m D．136.5 m
解析：选D 由题，∠DAC＝∠ACB－∠ADC＝15°.在△ACD中，＝，所以AC＝＝＝ m，在Rt△ABC中，AB＝AC＝＝50(＋1)≈136.5 m.
4．要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，求电视塔的高度．
解：如图，设电视塔AB高为x m，
则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°得BC＝x.
在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，
则BD＝x.
在△BDC中，由余弦定理得，
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos 120°，
即(x)2＝x2＋402－2·x·40·cos 120°，
解得x＝40，所以电视塔高为40 m.
突破点(三) 角度问题
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图①)．
2．方向角
相对于某一正方向的水平角
(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图②)；
(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；
(3)南偏西等其他方向角类似．
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
测量角度问题
[典例] 在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．
[解] 如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，
则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.
根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120°，
解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.
根据正弦定理得＝，
解得sin α＝＝.
所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为.
[方法技巧]
解决角度问题的三个注意事项
(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义．
(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值．
(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东
40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A．a km B.a km
C.a km D．2a km
解析：选B 由题可得，∠ACB＝120°.在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝a2＋a2－2a2cos 120°＝3a2，故|AB|＝a，即灯塔A与灯塔B的距离为a km.
2．(2017·德州检测)某货轮在A处看灯塔S在北偏东30°方向，它向正北方向航行24海里到达B处，看灯塔S在北偏东75°方向．则此时货轮到灯塔S的距离为________海里．
解析：根据题意知，如图在△ABS中，AB＝24，∠BAS＝30°，∠ASB＝45°，由正弦定理，得＝，∴BS＝＝12，故此时货轮到灯塔S的距离为12海里．
答案：12
3.如图所示，在东海某岛的雷达观测站A，发现位于其北偏东45°，距离20海里的B处有一货船正匀速直线行驶．半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北θ(0°
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