第二节本节主要包括2个知识点：
1.平面向量基本定理；
2.平面向量的坐标表示.
平面向量基本定理及坐标表示
突破点(一) 平面向量基本定理
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
基底的概念
[例1] 如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )
A．e1与e1＋e2 B．e1－2e2与e1＋2e2
C．e1＋e2与e1－e2 D．e1＋3e2与6e2＋2e1
[解析] 选项A中，设e1＋e2＝λe1，则无解；
选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则无解；
选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则无解；
选项D中，e1＋3e2＝(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量，不能作为平面内所有向量的一组基底．
[答案] D
[易错提醒]
某平面内所有向量的一组基底必须是两个不共线的向量，不能含有零向量．
平面向量基本定理的应用
[例2] (2016·江西南昌二模)如图，在△ABC中，设＝a，＝b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P，则＝( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
[解析] 如图，连接BP，则＝＋＝b＋，①
＝＋＝a＋－，②
①＋②，得2＝a＋b－，③
又＝＝(－)＝，④
将④代入③，得2＝a＋b－，
解得＝a＋b.
[答案] C
[方法技巧]
平面向量基本定理的实质及解题思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.(2017·潍坊模拟)在△ABC中，P，Q分别是AB，BC的三等分点，且AP＝AB，BQ＝BC，若＝a，＝b，则＝( )
A.a＋b B．－a＋b
C.a－b D．－a－b
解析：选A 由题意知＝＋＝＋＝＋(－)＝＋
＝a＋b，故选A.
2.(2016·泉州调研)若向量a，b不共线，则下列各组向量中，可以作为一组基底的是( )
A．a－2b与－a＋2b B．3a－5b与6a－10b
C．a－2b与5a＋7b D．2a－3b与a－b
解析：选C 不共线的两个向量可以作为一组基底．因为a－2b与5a＋7b不共线，故a－2b与5a＋7b可以作为一组基底．
3.如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2，则( )
A．x＝，y＝ B．x＝，y＝
C．x＝，y＝ D．x＝，y＝
解析：选A 由题意知＝＋，又＝2，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝.
4.(2017·绵阳诊断)在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝m＋，则实数m的值为________．
解析：∵B，P，N三点共线，
∴＝t＋(1－t)＝t＋(1－t)，
又∵＝m＋，
∴解得m＝t＝.
答案：
突破点(二) 平面向量的坐标表示
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．一般地，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)．
2．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
平面向量的坐标运算
[例1] 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b，
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
[解] 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴解得
即所求实数m的值为－1，n的值为－1.
(3)设O为坐标原点，
∵＝－＝3c，
∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，
即M(0,20)．
又∵＝－＝－2b，
∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
即N(9,2)．
∴＝(9，－18)．
[方法技巧]
平面向量坐标运算的技巧
(1)
向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．
平面向量共线的坐标表示
[例2] 已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．
[解] (1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)，
∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，
∵ka－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
∴k＝－.
(2)＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，
＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．
∵A，B，C三点共线，∴∥，∴8m－3(2m＋1)＝0，
∴m＝.
[方法技巧]
向量共线的坐标表示中的乘积式和比例式
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，这是代数运算，用它解决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征．
(2)当x2y2≠0时，a∥b⇔＝，即两个向量的相应坐标成比例，这种形式不易出现搭配错误．
(3)公式x1y2－x2y1＝0无条件x2y2≠0的限制，便于记忆；公式＝有条件x2y2≠0的限制，但不易出错．所以我们可以记比例式，但在解题时改写成乘积的形式．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝，则c可用向量a，b表示为( )
A.a＋b B.－a－b
C.a＋b D.a－b
解析：选A 设c＝xa＋yb，则＝(2x－y，x＋2y)，所以解得则c＝a＋b.
2.已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，则点N的坐标为( )
A．(2,0) B．(－3,6) C．(6,2) D．(－2,0)
解析：选A ＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，
设N(x，y)，则＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)，
所以解得即N(2,0)．
3.已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值是( )
A．－ B. C. D.
解析：选A ＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(－2k，－2)．∵A，B，C三点共线，∴，共线，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.
4.已知梯形ABCD，其中AB∥DC，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．
解析：∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥DC，∴＝2.设点D的坐标为(x，y)，则＝(4－x，2－y)，＝(1，－1)，
∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，
∴解得故点D的坐标为(2,4)．
答案：(2,4)
5.已知＝a，＝b，＝c，＝d， ＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，那么t为何值时，C，D，E三点共线？
解：由题设知，＝－＝d－c＝2b－3a，
＝－＝e－c＝t(a＋b)－3a＝(t－3)a＋tb.
C，D，E三点共线的充要条件是存在实数k，
使得＝k，
即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，
整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.
若a，b共线，则t可为任意实数；
若a，b不共线，则有
解得t＝.
综上，可知a，b共线时，t可为任意实数；a，b不共线时，t＝.
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1.(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( )
A．(－7，－4) B．(7,4)
C．(－1,4) D．(1,4)
解析：选A 设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以解得从而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A.
2．(2016·全国甲卷)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.
解析：∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，∴－2m－4×3＝0.∴m＝－6.
答案：－6
[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考
[练基础小题——强化运算能力]
1．若向量＝(2,4)，＝(1,3)，则＝( )
A．(1,1) B．(－1，－1)
C．(3,7) D．(－3，－7)
解析：选B 由向量的三角形法则，＝－＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)．故选B.
2．(2017·丰台期末)已知向量a＝(3，－4)，b＝(x，y)，若a∥b，则( )
A．3x－4y＝0 B．3x＋4y＝0
C．4x＋3y＝0 D．4x－3y＝0
解析：选C 由平面向量共线基本定理可得3y＋4x＝0，故选C.
3．已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝( )
A．(－23，－12) B．(23,12)
C．(7,0) D．(－7,0)
解析：选A 由题意可得3a－2b＋c＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x，y)＝(23＋x,12＋y)＝(0,0)，所以解得所以c＝(－23，－12)．
4．若AC为平行四边形ABCD的一条对角线，＝(3,5)，＝(2,4)，则＝( )
A．(－1，－1) B．(5,9) C．(1,1) D．(3,5)
解析：选A 由题意可得＝＝－＝(2,4)－(3,5)＝(－1，－1)．
5．若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为________．
解析：＝(a－1,3)，＝(－3,4)，据题意知∥，∴4(a－1)＝3×(－3)，即4a＝－5，∴a＝－.
答案：－
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．已知平面向量a＝(1，－2)，b＝(2，m)，若a∥b，则3a＋2b＝( )
A．(7,2) B．(7，－14) C．(7，－4) D．(7，－8)
解析：选B ∵a∥b，∴m＋4＝0，∴m＝－4，∴b＝(2，－4)，∴3a＋2b＝3(1，－2)＋2(2，－4)＝(7，－14)．
2．设向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，且a，b方向相反，则x的值是( )
A．2 B．－2 C．±2 D．0
解析：选B 因为a与b方向相反，所以b＝ma，m
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