第三节平面向量的数量积及其应用
本节主要包括3个知识点：
1.平面向量的数量积；
2.平面向量数量积的应用；
3.平面向量与其他知识的综合问题.
突破点(一) 平面向量的数量积
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．
(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.
(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．
2．平面向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
(3)坐标表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
3．平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
平面向量数量积的运算
1.利用坐标计算数量积的步骤
第一步，根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用；
第二步，根据数量积的坐标公式进行运算即可．
2．根据定义计算数量积的两种思路
(1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算．
(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解．
[典例] (1)设向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于( )
A．－ B．－
C. D.
(2)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且＝，＝，则·的值为________．
[解析] (1)a＋2b＝(－1,2)＋2(m,1)＝(－1＋2m,4)，2a－b＝2(－1,2)－(m,1)＝(－2－m,3)，由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－，所以b＝，所以a·b＝－1×＋2×1＝.
(2)取，为一组基底，则＝－＝－，＝＋＋＝－＋＋＝－＋，∴·＝·＝||2－·＋||2＝×4－×2×1×＋＝.
[答案] (1)D (2)
[易错提醒]
(1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．
(2)两向量a，b的数量积a·b与代数中a，b的乘积写法不同，不能漏掉其中的“·”．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．已知＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量在方向上的投影为( )
A．－ B．－3
C. D．3
解析：选C 因为点C(－1,0)，D(4,5)，所以＝(5,5)，又＝(2,1)，所以向量在方向上的投影为
||cos〈，〉＝＝＝.
2．在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝( )
A．－ B．0
C. D．3
解析：选A 依题意有a·b＋b·c＋c·a＝1×1×cos 120°＋1×1×cos 120°＋1×1×cos 120°＝＋＋＝－.
3．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·＝( )
A．－a2 B．－a2
C.a2 D.a2
解析：选D 如图所示，∵＝＋，＝，∴·＝(＋)·＝2＋·＝a2＋a·acos 60°＝a2.故选D.
4．已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝________.
解析：因为a＝(－2，－6)，所以|a|＝＝2，又|b|＝，向量a与b的夹角为60°，所以a·b＝|a||b|cos 60°＝2××＝10.
答案：10
5.如图所示，在等腰直角三角形AOB中，OA＝OB＝1，＝4，则·(－)＝________.
解析：由已知得||＝，||＝，
则·(－)＝(＋)·＝·＋·＝1×cos＋×
＝－.
答案：－
突破点(二) 平面向量数量积的应用
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉.
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤
·
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
平面向量的垂直问题
1.利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题
第一，计算出这两个向量的坐标；
第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．
2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
[例1] (1)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是( )
A．|b|＝1 B．a⊥b
C．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥
(2)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝( )
A．－ B．0 C．3 D.
[解析] (1)在△ABC中，由＝－＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2，A错误．又＝2a且||＝2，所以|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos 120°＝－1，B，C错误．所以(4a＋
b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥，D正确，故选D.
(2)∵(2a－3b)⊥c，∴(2a－3b)·c＝0.
∵a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，
∴2a－3b＝(2k－3，－6)．
∴(2k－3，－6)·(2,1)＝0，即(2k－3)×2－6＝0.
∴k＝3.
[答案] (1)D (2)C
[易错提醒]
x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．
平面向量模的相关问题
利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：
(1)a2＝a·a＝|a|2；
(2)|a±b|＝＝.
[例2] (1)(2017·衡水模拟)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为，那么|4a－b|＝( )
A．2 B．6
C．2 D．12
(2)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.
[解析] (1)|4a－b|2＝16a2＋b2－8a·b＝16×1＋4－8×1×2×cos＝12.∴|4a－b|＝2.
(2)∵e1·e2＝，
∴|e1||e2|cose1，e2＝，∴e1，e2＝60°.
又∵b·e1＝b·e2＝1＞0，∴b，e1＝b，e2＝30°.
由b·e1＝1，得|b||e1|cos 30°＝1，∴|b|＝＝.
[答案] (1)C (2)
[方法技巧]
求向量模的常用方法
(1)若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用公式|a|＝.
(2)若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．
平面向量的夹角问题
求解两个非零向量之间的夹角的步骤
第一步
由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积
第二步
分别求出这两个向量的模
第三步
根据公式cos〈a，b〉＝＝求解出这两个向量夹角的余弦值
第四步
根据两个向量夹角的范围是[0，π]及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角
[例3] (1)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为( )
A. B. C. D．π
(2)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cos β＝________.
[解析] (1)由(a－b)⊥(3a＋2b)，
得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.
又∵|a|＝|b|，设〈a，b〉＝θ，
即3|a|2－|a||b|cos θ－2|b|2＝0，
∴|b|2－|b|2·cos θ－2|b|2＝0.
∴cos θ＝.又∵0≤θ≤π，∴θ＝.
(2)∵a2＝(3e1－2e2)2＝9＋4－2×3×2×＝9，
b2＝(3e1－e2)2＝9＋1－2×3×1×＝8，
a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9＋2－9×1×1×＝8，∴cos β＝＝＝.
[答案] (1)A (2)
[易错提醒]
(1)向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且向量a，b不共线．
(2)向量a，b的夹角为钝角⇔a·b
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