第四节直线、平面垂直的判定与性质
本节主要包括2个知识点:
1.直线、平面垂直的判定与性质;
2.平行与垂直的综合问题.
突破点(一) 直线、平面垂直的判定与性质
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1.直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义:直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直.
(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理:
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直
⇒l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
⇒a∥b
2.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义:两个平面相交, 如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理:
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直
⇒α⊥β
性质定理
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
⇒l⊥α
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
直线与平面垂直的判定与性质
[例1] 如图所示,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.证明:
(1)CD⊥AE;
(2)PD⊥平面ABE.
[证明] (1)在四棱锥PABCD中,
∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,
∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A,
∴CD⊥平面PAC.
而AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.
(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.
∵E是PC的中点,
∴AE⊥PC.
由(1)知AE⊥CD,且PC∩CD=C,
∴AE⊥平面PCD.
而PD⊂平面PCD,∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD且PA∩AD=A,
∴AB⊥平面PAD,而PD⊂平面PAD,
∴AB⊥PD.
又∵AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.
[方法技巧]
证明直线与平面垂直的方法
(1)定义法:若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,则这条直线垂直于这个平面(不常用);
(2)判定定理(常用方法);
(3)若两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面(客观题常用);
(4)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,则它必垂直于另一个平面(客观题常用);
(5)若两平面垂直,则在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面(常用方法);
(6)若两相交平面同时垂直于第三个平面,则这两个平面的交线垂直于第三个平面(客观题常用).
平面与平面垂直的判定与性质
[例2] 如图,四棱锥PABCD中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点.求证:
(1)CE∥平面PAD;
(2)平面EFG⊥平面EMN.
[证明] (1)法一:如图,取PA的中点H,连接EH,DH.
因为E为PB的中点,
所以EH∥AB,EH=AB.
又AB∥CD,CD=AB,
所以EH∥CD,EH=CD,
因此四边形DCEH是平行四边形.
所以CE∥DH.
又DH⊂平面PAD,CE⊄平面PAD,
所以CE∥平面PAD.
法二:如图,连接CF.
因为F为AB的中点,
所以AF=AB.
又CD=AB,
所以AF=CD.
又AF∥CD,
所以四边形AFCD为平行四边形.
因此CF∥AD.
又CF⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,
所以CF∥平面PAD.
因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EF∥PA.
又EF⊄平面PAD,PA⊂平面PAD,
所以EF∥平面PAD.
因为CF∩EF=F,故平面CEF∥平面PAD.
又CE⊂平面CEF,
所以CE∥平面PAD.
(2)因为E,F分别为PB,AB的中点,
所以EF∥PA.
又AB⊥PA,所以AB⊥EF.
同理可证AB⊥FG.
又EF∩FG=F,EF⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,
因此AB⊥平面EFG.
又M,N分别为PD,PC的中点,
所以MN∥CD.
又AB∥CD,所以MN∥AB,所以MN⊥平面EFG.
又MN⊂平面EMN,
所以平面EFG⊥平面EMN.
[方法技巧]
证明面面垂直的方法
(1)利用面面垂直的定义(不常用);
(2)可以考虑证线面垂直,即设法先找到其中一个平面的一条垂线,再证这条垂线在另一个平面内或与另一个平面内的一条直线平行(常用方法).
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.[考点一]如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为菱形,PB⊥平面ABCD.
(1)若AC=6,BD=8,PB=3,求三棱锥APBC的体积;
(2)若点E是DP的中点,证明:BD⊥平面ACE.
解:(1)∵四边形ABCD为菱形,
∴BD与AC相互垂直平分,
∴底面ABCD的面积S菱形ABCD=×6×8=24,
∴S△ABC=S菱形ABCD=12.
又PB⊥平面ABCD,且PB=3,
∴三棱锥APBC的体积VAPBC=VPABC=×PB×S△ABC=12.
(2)证明:如图,设BD与AC相交于点O,连接OE,
∵O为BD的中点,E是DP的中点,
∴OE∥PB.
又PB⊥平面ABCD,
∴OE⊥平面ABCD.
∵BD⊂平面ABCD,
∴OE⊥BD,
由(1)知AC⊥BD,
又AC∩OE=O,
∴BD⊥平面ACE.
2.[考点一、二]如图,在四棱锥PABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点.求证:
(1)PA⊥底面ABCD;
(2)BE∥平面PAD;
(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明:(1)因为平面PAD⊥底面ABCD,
且PA垂直于这两个平面的交线AD,
所以PA⊥底面ABCD.
(2)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,
所以AB∥DE,且AB=DE.
所以平面ABED为平行四边形.
所以BE∥AD.
又因为BE⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,
所以BE∥平面PAD.
(3)因为AB⊥AD,而且平面ABED为平行四边形,
所以BE⊥CD,AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD.
又PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.
又PD⊂平面PAD,所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点,
所以PD∥EF.
所以CD⊥EF.
又EF∩BE=E,所以CD⊥平面BEF.
因为CD⊂平面PCD,
所以平面BEF⊥平面PCD.
突破点(二) 平行与垂直的综合问题
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1.平行关系之间的转化
在证明线面、面面平行时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而在应用性质定理时,其顺序恰好相反,但也要注意,转化的方向是由题目的具体条件而定的,不可过于“模式化”.
2.垂直关系之间的转化
在证明线面垂直、面面垂直时,一定要注意判定定理成立的条件.同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系,即:
在证明两平面垂直时,一般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的直线在图中不存在,则可通过作辅助线来解决.
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
证明多面体中的平行与垂直关系
[例1] (2016·江苏高考)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.
求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
[证明] (1)在直三棱柱ABCA1B1C1中,A1C1∥AC.
在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,
所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.
又因为DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,
所以直线DE∥平面A1C1F.
(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.
因为A1C1⊂平面A1B1C1,
所以A1A⊥A1C1.
又因为A1C1⊥A1B1,A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,
所以A1C1⊥平面ABB1A1.
因为B1D⊂平面ABB1A1,
所以A1C1⊥B1D.
又因为B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,
所以B1D⊥平面A1C1F.
因为直线B1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.
平行与垂直关系中的探索性问题
[例2] (2016·北京高考)如图,在四棱锥PABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.
(1)求证:DC⊥平面PAC;
(2)求证:平面PAB⊥平面PAC;
(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.
[解] (1)证明:因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥DC.
又因为DC⊥AC,且PC∩AC=C,
所以DC⊥平面PAC.
(2)证明:因为AB∥DC,DC⊥AC,所以AB⊥AC.
因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥AB.
又因为PC∩AC=C,所以AB⊥平面PAC.
又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAC.
(3)棱PB上存在点F,使得PA∥平面CEF.
理由如下:取PB的中点F,连接EF,CE,CF,如图所示.
因为E为AB的中点,
所以EF∥PA.
又因为PA⊄平面CEF,且EF⊂平面CEF,
所以PA∥平面CEF.
[方法技巧]
平行与垂直关系中探索性问题的类型及解题策略
(1)对命题条件的探索
①先猜后证,即先观察并尝试给出条件,再给出证明;
②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明条件的充分性;
③把几何问题转化为代数问题,探索出命题成立的条件.
(2)对命题结论的探索
①探索结论是什么,常从条件出发,探索出要求的结论是什么;
②探索结论是否存在,常先假设结论存在,再在这个假设下进行推理论证,寻找与条件相符或矛盾的结论,相符则存在,矛盾则不存在.
平行与垂直关系中的折叠问题
[例3] (2017·江苏扬州模拟)如图1,在边长为4的菱形ABCD中,∠DAB=60°,点E,F分别是边CD,CB的中点,AC∩EF=O.沿EF将△CEF翻折到△PEF,连接PA,PB,PD,得到如图2的五棱锥PABFED,且PB=.
(1)求证:BD⊥平面POA;
(2)求四棱锥PBFED的体积.
[解] (1)证明:∵点E,F分别是边CD,CB的中点,
∴BD∥EF.
∵ABCD是菱形,∴BD⊥AC,
∴EF⊥AC,
∴翻折后EF⊥AO,EF⊥PO,
∵AO⊂平面POA,PO⊂平面POA,AO∩PO=O,
∴EF⊥平面POA,
∴BD⊥平面POA.
(2)如图,设AO∩BD=H,连接BO,
∵ABCD是菱形,∴AB=AD.
∵∠DAB=60°,
∴△ABD为等边三角形,
∴BD=4,BH=2,HA=2,HO=PO=.
在Rt△BHO中,BO==,
在△PBO中,BO2+PO2=10=PB2,
∴PO⊥BO.
∵PO⊥EF,EF∩BO=O,EF⊂平面BFED,BO⊂平面BFED,
∴PO⊥平面BFED,
又梯形BFED的面积为S=(EF+BD)·HO=3,
∴四棱锥PBFED的体积V=S·PO=×3×=3.
[方法技巧]
求解折叠问题的关键及注意事项
求解平面图形翻折问题的关键是弄清原有的性质变化与否,即翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化,不在同一个平面上的性质发生变化.应注意:
(1)点的变化,点与点的重合及点的位置变化;
(2)线的变化,翻折前后,若线始终在同一平面内,则它们的位置关系不发生变化,若线与线由在一个平面内转变为不在同一个平面内,应注意其位置关系的变化;
(3)长度、角度等几何度量的变化.
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.[考点一]如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,AB⊥平面BB1C1C,BB1=2BC,D,E,F分别是CC1,A1C1,B1C1的中点,G在BB1上,且BG=3GB1.求证:
(1)B1D⊥平面ABD;
(2)平面GEF∥平面ABD.
证明:(1)取BB1的中点为M,连接MD,如图所示.
因为BB1=2BC,且四边形BB1C1C为平行四边形,
所以四边形CDMB和四边形DMB1C1均为菱形.
故∠CDB=∠BDM,∠MDB1=∠B1DC1,
所以∠BDM+∠MDB1=90°,
即BD⊥B1D.
又AB⊥平面BB1C1C,B1D⊂平面BB1C1C,
所以AB⊥B1D.
又AB∩BD=B,
所以B1D⊥平面ABD.
(2)连接MC1,可知G为MB1的中点,
又F为B1C1的中点,
所以GF∥MC1.
又MB綊C1D,
所以四边形BMC1D为平行四边形,
所以MC1∥BD,故GF∥BD.
又BD⊂平面ABD,
所以GF∥平面ABD.
又EF∥A1B1,A1B1∥AB,AB⊂平面ABD,
所以EF∥平面ABD.又EF∩GF=F,故平面GEF∥平面ABD.
2.[考点一、二]如图,已知三棱柱ABCA′B′C′的侧棱垂直于底面,AB=AC,∠BAC=90°,点M,N分别为A′B和B′C′的中点.
(1)证明:MN∥平面AA′C′C;
(2)设AB=λAA′,当λ为何值时,CN⊥平面A′MN,试证明你的结论.
解:(1)证明:如图,取A′B′的中点E,连接ME,NE.
因为M,N分别为A′B和B′C′的中点,所以NE∥A′C′,ME∥AA′.
又A′C′⊂平面AA′C′C,A′A⊂平面AA′C′C,
所以ME∥平面AA′C′C,NE∥平面AA′C′C,所以平面MNE∥平面AA′C′C,
因为MN⊂平面MNE,
所以MN∥平面AA′C′C.
(2)连接BN,设AA′=a,则AB=λAA′=λa,
由题意知BC=λa,CN=BN=,
因为三棱柱ABCA′B′C′的侧棱垂直于底面,
所以平面A′B′C′⊥平面BB′C′C,
因为AB=AC,点N是B′C′的中点,
所以A′B′=A′C′,A′N⊥B′C′,
所以A′N⊥平面BB′C′C,所以CN⊥A′N,
要使CN⊥平面A′MN,只需CN⊥BN即可,
所以CN2+BN2=BC2,
即2=2λ2a2,
解得λ=,故当λ=时,CN⊥平面A′MN.
3.[考点一、三]如图所示,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,E,F分别在线段BC,AD上,EF∥AB,将矩形ABEF沿EF折起,记折起后的矩形为MNEF,且平面MNEF⊥平面ECDF.
(1)求证:NC∥平面MFD;
(2)若EC=3,求证:ND⊥FC;
(3)求四面体NEFD体积的最大值.
解:(1)证明:∵平行四边形MNEF和EFDC都是矩形,
∴MN∥EF,EF∥CD,MN=EF=CD,∴MN∥CD.
∴四边形MNCD是平行四边形.
∴NC∥MD.
∵NC⊄平面MFD,MD⊂平面MFD,
∴NC∥平面MFD.
(2)证明:连接ED,交FC于点O,如图所示.
∵平面MNEF⊥平面ECDF,且NE⊥EF,平面MNEF∩平面ECDF=EF,NE⊂平面MNEF,∴NE⊥平面ECDF.
∵FC⊂平面ECDF,∴FC⊥NE.
∵EC=CD,∴四边形ECDF为正方形,∴FC⊥ED.
又∵ED∩NE=E,ED,NE⊂平面NED,
∴FC⊥平面NED.
∵ND⊂平面NED,∴ND⊥FC.
(3)设NE=x,则FD=EC=4-x,其中0