2018届高考数学大一轮复习--直线、平面垂直的判定与性质(理科带解析)
加入VIP免费下载

本文件来自资料包: 《2018届高考数学大一轮复习--直线、平面垂直的判定与性质(理科带解析)》 共有 1 个子文件,压缩包列表如下:

注:压缩包层级关系提取自源文件,您看到的所有资料结构都和您下载的源文件一致

加入VIP免费下载
温馨提示:
1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
2. 本文档由用户上传,版权归属用户,天天资源网负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服处理。
网站客服:403074932
资料简介
第四节直线、平面垂直的判定与性质 本节主要包括2个知识点:‎ ‎1.直线、平面垂直的判定与性质;‎ ‎2.平行与垂直的综合问题.‎ 突破点(一) 直线、平面垂直的判定与性质 基础联通 抓主干知识的“源”与“流” ‎ ‎1.直线与平面垂直 ‎(1)直线和平面垂直的定义:直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直.‎ ‎(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理:  ‎ 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b ‎2.平面与平面垂直 ‎(1)平面与平面垂直的定义:两个平面相交, 如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.‎ ‎(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理:‎ 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” ‎ 直线与平面垂直的判定与性质 ‎[例1] 如图所示,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.证明:‎ ‎(1)CD⊥AE;‎ ‎(2)PD⊥平面ABE.‎ ‎[证明] (1)在四棱锥PABCD中,‎ ‎∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,‎ ‎∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A,‎ ‎∴CD⊥平面PAC.‎ 而AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.‎ ‎(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.‎ ‎∵E是PC的中点,‎ ‎∴AE⊥PC.‎ 由(1)知AE⊥CD,且PC∩CD=C,‎ ‎∴AE⊥平面PCD.‎ 而PD⊂平面PCD,∴AE⊥PD.‎ ‎∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AB.‎ 又∵AB⊥AD且PA∩AD=A,‎ ‎∴AB⊥平面PAD,而PD⊂平面PAD,‎ ‎∴AB⊥PD.‎ 又∵AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.‎ ‎[方法技巧]‎ 证明直线与平面垂直的方法 ‎(1)定义法:若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,则这条直线垂直于这个平面(不常用);‎ ‎(2)判定定理(常用方法);‎ ‎(3)若两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面(客观题常用);‎ ‎(4)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,则它必垂直于另一个平面(客观题常用);‎ ‎(5)若两平面垂直,则在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面(常用方法); ‎ ‎(6)若两相交平面同时垂直于第三个平面,则这两个平面的交线垂直于第三个平面(客观题常用). ‎ 平面与平面垂直的判定与性质 ‎ ‎ ‎[例2] 如图,四棱锥PABCD中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点.求证:‎ ‎(1)CE∥平面PAD;‎ ‎(2)平面EFG⊥平面EMN.‎ ‎[证明] (1)法一:如图,取PA的中点H,连接EH,DH.‎ 因为E为PB的中点,‎ 所以EH∥AB,EH=AB.‎ 又AB∥CD,CD=AB,‎ 所以EH∥CD,EH=CD,‎ 因此四边形DCEH是平行四边形.‎ 所以CE∥DH.‎ 又DH⊂平面PAD,CE⊄平面PAD,‎ 所以CE∥平面PAD.‎ 法二:如图,连接CF.‎ 因为F为AB的中点,‎ 所以AF=AB.‎ 又CD=AB,‎ 所以AF=CD.‎ 又AF∥CD,‎ 所以四边形AFCD为平行四边形.‎ 因此CF∥AD.‎ 又CF⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,‎ 所以CF∥平面PAD.‎ 因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EF∥PA.‎ 又EF⊄平面PAD,PA⊂平面PAD,‎ 所以EF∥平面PAD.‎ 因为CF∩EF=F,故平面CEF∥平面PAD.‎ 又CE⊂平面CEF,‎ 所以CE∥平面PAD.‎ ‎(2)因为E,F分别为PB,AB的中点,‎ 所以EF∥PA.‎ 又AB⊥PA,所以AB⊥EF.‎ 同理可证AB⊥FG.‎ 又EF∩FG=F,EF⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,‎ 因此AB⊥平面EFG.‎ 又M,N分别为PD,PC的中点,‎ 所以MN∥CD.‎ 又AB∥CD,所以MN∥AB,所以MN⊥平面EFG.‎ 又MN⊂平面EMN,‎ 所以平面EFG⊥平面EMN.‎ ‎[方法技巧]‎ 证明面面垂直的方法 ‎(1)利用面面垂直的定义(不常用);‎ ‎(2)可以考虑证线面垂直,即设法先找到其中一个平面的一条垂线,再证这条垂线在另一个平面内或与另一个平面内的一条直线平行(常用方法).‎ 能力练通 抓应用体验的“得”与“失” ‎ ‎1.[考点一]如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为菱形,PB⊥平面ABCD.‎ ‎(1)若AC=6,BD=8,PB=3,求三棱锥APBC的体积;‎ ‎(2)若点E是DP的中点,证明:BD⊥平面ACE.‎ 解:(1)∵四边形ABCD为菱形,‎ ‎∴BD与AC相互垂直平分,‎ ‎∴底面ABCD的面积S菱形ABCD=×6×8=24,‎ ‎∴S△ABC=S菱形ABCD=12.‎ 又PB⊥平面ABCD,且PB=3,‎ ‎∴三棱锥APBC的体积VAPBC=VPABC=×PB×S△ABC=12.‎ ‎(2)证明:如图,设BD与AC相交于点O,连接OE,‎ ‎∵O为BD的中点,E是DP的中点,‎ ‎∴OE∥PB.‎ 又PB⊥平面ABCD,‎ ‎∴OE⊥平面ABCD.‎ ‎∵BD⊂平面ABCD,‎ ‎∴OE⊥BD,‎ 由(1)知AC⊥BD,‎ 又AC∩OE=O,‎ ‎∴BD⊥平面ACE.‎ ‎2.[考点一、二]如图,在四棱锥PABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点.求证:‎ ‎(1)PA⊥底面ABCD;‎ ‎(2)BE∥平面PAD;‎ ‎(3)平面BEF⊥平面PCD.‎ 证明:(1)因为平面PAD⊥底面ABCD,‎ 且PA垂直于这两个平面的交线AD,‎ 所以PA⊥底面ABCD.‎ ‎(2)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,‎ 所以AB∥DE,且AB=DE.‎ 所以平面ABED为平行四边形.‎ 所以BE∥AD.‎ 又因为BE⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,‎ 所以BE∥平面PAD.‎ ‎(3)因为AB⊥AD,而且平面ABED为平行四边形,‎ 所以BE⊥CD,AD⊥CD.‎ 由(1)知PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD.‎ 又PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.‎ 又PD⊂平面PAD,所以CD⊥PD.‎ 因为E和F分别是CD和PC的中点,‎ 所以PD∥EF.‎ 所以CD⊥EF.‎ 又EF∩BE=E,所以CD⊥平面BEF.‎ 因为CD⊂平面PCD,‎ 所以平面BEF⊥平面PCD.‎ 突破点(二) 平行与垂直的综合问题 基础联通 抓主干知识的“源”与“流” ‎ ‎1.平行关系之间的转化 在证明线面、面面平行时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而在应用性质定理时,其顺序恰好相反,但也要注意,转化的方向是由题目的具体条件而定的,不可过于“模式化”.‎ ‎2.垂直关系之间的转化 在证明线面垂直、面面垂直时,一定要注意判定定理成立的条件.同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系,即:‎ 在证明两平面垂直时,一般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的直线在图中不存在,则可通过作辅助线来解决. ‎ 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” ‎ 证明多面体中的平行与垂直关系 ‎[例1] (2016·江苏高考)如图,在直三棱柱ABCA1B‎1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A‎1F,A‎1C1⊥A1B1.‎ 求证:(1)直线DE∥平面A‎1C‎1F;‎ ‎(2)平面B1DE⊥平面A‎1C‎1F.‎ ‎[证明] (1)在直三棱柱ABCA1B‎1C1中,A‎1C1∥AC.‎ 在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,‎ 所以DE∥AC,于是DE∥A‎1C1.‎ 又因为DE⊄平面A‎1C‎1F,A‎1C1⊂平面A‎1C‎1F,‎ 所以直线DE∥平面A‎1C‎1F.‎ ‎(2)在直三棱柱ABCA1B‎1C1中,A‎1A⊥平面A1B‎1C1.‎ 因为A‎1C1⊂平面A1B‎1C1,‎ 所以A‎1A⊥A‎1C1.‎ 又因为A‎1C1⊥A1B1,A‎1A⊂平面ABB‎1A1,A1B1⊂平面ABB‎1A1,A‎1A∩A1B1=A1,‎ 所以A‎1C1⊥平面ABB‎1A1.‎ 因为B1D⊂平面ABB‎1A1,‎ 所以A‎1C1⊥B1D.‎ 又因为B1D⊥A‎1F,A‎1C1⊂平面A‎1C‎1F,A‎1F⊂平面A‎1C‎1F,A‎1C1∩A‎1F=A1,‎ 所以B1D⊥平面A‎1C‎1F.‎ 因为直线B1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A‎1C‎1F.‎ 平行与垂直关系中的探索性问题 ‎[例2] (2016·北京高考)如图,在四棱锥PABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.‎ ‎(1)求证:DC⊥平面PAC;‎ ‎(2)求证:平面PAB⊥平面PAC;‎ ‎(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.‎ ‎[解] (1)证明:因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥DC.‎ 又因为DC⊥AC,且PC∩AC=C,‎ 所以DC⊥平面PAC.‎ ‎(2)证明:因为AB∥DC,DC⊥AC,所以AB⊥AC.‎ 因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥AB.‎ 又因为PC∩AC=C,所以AB⊥平面PAC.‎ 又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAC.‎ ‎(3)棱PB上存在点F,使得PA∥平面CEF.‎ 理由如下:取PB的中点F,连接EF,CE,CF,如图所示.‎ 因为E为AB的中点,‎ 所以EF∥PA.‎ 又因为PA⊄平面CEF,且EF⊂平面CEF,‎ 所以PA∥平面CEF.‎ ‎[方法技巧]‎ 平行与垂直关系中探索性问题的类型及解题策略 ‎(1)对命题条件的探索 ‎①先猜后证,即先观察并尝试给出条件,再给出证明;‎ ‎②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明条件的充分性;‎ ‎③把几何问题转化为代数问题,探索出命题成立的条件.‎ ‎(2)对命题结论的探索 ‎①探索结论是什么,常从条件出发,探索出要求的结论是什么;‎ ‎②探索结论是否存在,常先假设结论存在,再在这个假设下进行推理论证,寻找与条件相符或矛盾的结论,相符则存在,矛盾则不存在.‎ 平行与垂直关系中的折叠问题 ‎[例3] (2017·江苏扬州模拟)如图1,在边长为4的菱形ABCD中,∠DAB=60°,点E,F分别是边CD,CB的中点,AC∩EF=O.沿EF将△CEF翻折到△PEF,连接PA,PB,PD,得到如图2的五棱锥PABFED,且PB=.‎ ‎(1)求证:BD⊥平面POA;‎ ‎(2)求四棱锥PBFED的体积.‎ ‎[解] (1)证明:∵点E,F分别是边CD,CB的中点,‎ ‎∴BD∥EF.‎ ‎∵ABCD是菱形,∴BD⊥AC,‎ ‎∴EF⊥AC,‎ ‎∴翻折后EF⊥AO,EF⊥PO,‎ ‎∵AO⊂平面POA,PO⊂平面POA,AO∩PO=O,‎ ‎∴EF⊥平面POA,‎ ‎∴BD⊥平面POA.‎ ‎(2)如图,设AO∩BD=H,连接BO,‎ ‎∵ABCD是菱形,∴AB=AD.‎ ‎∵∠DAB=60°,‎ ‎∴△ABD为等边三角形,‎ ‎∴BD=4,BH=2,HA=2,HO=PO=.‎ 在Rt△BHO中,BO==,‎ 在△PBO中,BO2+PO2=10=PB2,‎ ‎∴PO⊥BO.‎ ‎∵PO⊥EF,EF∩BO=O,EF⊂平面BFED,BO⊂平面BFED,‎ ‎∴PO⊥平面BFED,‎ 又梯形BFED的面积为S=(EF+BD)·HO=3,‎ ‎∴四棱锥PBFED的体积V=S·PO=×3×=3.‎ ‎[方法技巧]‎ 求解折叠问题的关键及注意事项 求解平面图形翻折问题的关键是弄清原有的性质变化与否,即翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化,不在同一个平面上的性质发生变化.应注意:‎ ‎(1)点的变化,点与点的重合及点的位置变化;‎ ‎(2)线的变化,翻折前后,若线始终在同一平面内,则它们的位置关系不发生变化,若线与线由在一个平面内转变为不在同一个平面内,应注意其位置关系的变化;‎ ‎(3)长度、角度等几何度量的变化. ‎ 能力练通 抓应用体验的“得”与“失” ‎ ‎1.[考点一]如图,在三棱柱ABCA1B‎1C1中,AB⊥平面BB‎1C‎1C,BB1=2BC,D,E,F分别是CC1,A‎1C1,B‎1C1的中点,G在BB1上,且BG=3GB1.求证:‎ ‎(1)B1D⊥平面ABD;‎ ‎(2)平面GEF∥平面ABD.‎ 证明:(1)取BB1的中点为M,连接MD,如图所示.‎ 因为BB1=2BC,且四边形BB‎1C‎1C为平行四边形,‎ 所以四边形CDMB和四边形DMB‎1C1均为菱形.‎ 故∠CDB=∠BDM,∠MDB1=∠B1DC1,‎ 所以∠BDM+∠MDB1=90°,‎ 即BD⊥B1D.‎ 又AB⊥平面BB‎1C‎1C,B1D⊂平面BB‎1C‎1C,‎ 所以AB⊥B1D.‎ 又AB∩BD=B,‎ 所以B1D⊥平面ABD.‎ ‎(2)连接MC1,可知G为MB1的中点,‎ 又F为B‎1C1的中点,‎ 所以GF∥MC1.‎ 又MB綊C1D,‎ 所以四边形BMC1D为平行四边形,‎ 所以MC1∥BD,故GF∥BD.‎ 又BD⊂平面ABD,‎ 所以GF∥平面ABD.‎ 又EF∥A1B1,A1B1∥AB,AB⊂平面ABD,‎ 所以EF∥平面ABD.又EF∩GF=F,故平面GEF∥平面ABD.‎ ‎2.[考点一、二]如图,已知三棱柱ABCA′B′C′的侧棱垂直于底面,AB=AC,∠BAC=90°,点M,N分别为A′B和B′C′的中点.‎ ‎(1)证明:MN∥平面AA′C′C;‎ ‎(2)设AB=λAA′,当λ为何值时,CN⊥平面A′MN,试证明你的结论.‎ 解:(1)证明:如图,取A′B′的中点E,连接ME,NE.‎ 因为M,N分别为A′B和B′C′的中点,所以NE∥A′C′,ME∥AA′.‎ 又A′C′⊂平面AA′C′C,A′A⊂平面AA′C′C,‎ 所以ME∥平面AA′C′C,NE∥平面AA′C′C,所以平面MNE∥平面AA′C′C,‎ 因为MN⊂平面MNE,‎ 所以MN∥平面AA′C′C.‎ ‎(2)连接BN,设AA′=a,则AB=λAA′=λa,‎ 由题意知BC=λa,CN=BN=,‎ 因为三棱柱ABCA′B′C′的侧棱垂直于底面,‎ 所以平面A′B′C′⊥平面BB′C′C,‎ 因为AB=AC,点N是B′C′的中点,‎ 所以A′B′=A′C′,A′N⊥B′C′,‎ 所以A′N⊥平面BB′C′C,所以CN⊥A′N,‎ 要使CN⊥平面A′MN,只需CN⊥BN即可,‎ 所以CN2+BN2=BC2,‎ 即2=2λ‎2a2,‎ 解得λ=,故当λ=时,CN⊥平面A′MN.‎ ‎3.[考点一、三]如图所示,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,E,F分别在线段BC,AD上,EF∥AB,将矩形ABEF沿EF折起,记折起后的矩形为MNEF,且平面MNEF⊥平面ECDF.‎ ‎(1)求证:NC∥平面MFD;‎ ‎(2)若EC=3,求证:ND⊥FC;‎ ‎(3)求四面体NEFD体积的最大值.‎ 解:(1)证明:∵平行四边形MNEF和EFDC都是矩形,‎ ‎∴MN∥EF,EF∥CD,MN=EF=CD,∴MN∥CD.‎ ‎∴四边形MNCD是平行四边形.‎ ‎∴NC∥MD.‎ ‎∵NC⊄平面MFD,MD⊂平面MFD,‎ ‎∴NC∥平面MFD.‎ ‎(2)证明:连接ED,交FC于点O,如图所示.‎ ‎∵平面MNEF⊥平面ECDF,且NE⊥EF,平面MNEF∩平面ECDF=EF,NE⊂平面MNEF,∴NE⊥平面ECDF.‎ ‎∵FC⊂平面ECDF,∴FC⊥NE.‎ ‎∵EC=CD,∴四边形ECDF为正方形,∴FC⊥ED.‎ 又∵ED∩NE=E,ED,NE⊂平面NED,‎ ‎∴FC⊥平面NED.‎ ‎∵ND⊂平面NED,∴ND⊥FC.‎ ‎(3)设NE=x,则FD=EC=4-x,其中0

资料: 29.3万

进入主页

人气:

10000+的老师在这里下载备课资料