3.4.3 基本不等式的应用（二）
项目
内容
课题
3.4.3 基本不等式的应用（1课时）
修改与创新
教学
目标
一、知识与技能
1.构建基本不等式解决函数的值域、最值问题；
2.让学生探究用基本不等式解决实际问题；
3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱.
二、过程与方法
1.采用探究法，按照观察、阅读、归纳、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；
2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；
3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.
三、情感态度与价值观
1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；
2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；
3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘，数学的简洁美，数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.
教学重、
难点
教学重点 1.构建基本不等式解决函数的值域、最值问题.
2.让学生探究用基本不等式解决实际问题；
3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱.
教学难点 1.让学生探究用基本不等式解决实际问题；
2.基本不等式应用时等号成立条件的考查；
3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱.
教学
准备
投影仪、胶片、三角板、刻度尺
教学过程
导入新课
师 前一节课我们对基本不等式展开了一些简单的应用.通过数与形的结合及证明应用，我们进一步领悟到基本不等式成立的条件是a＞0、b＞0.在应用的过程中，我们对基本不等式的结构特征已是充分认识，并能够灵活把握.本节课，我们将对基本不等式展开一些在求有关函数值域、最值的应用，更重要的是对基本不等式展开一些实际应用.
推进新课
师 已知，若ab为常数k，那么a+b的值如何变化？
生 当且仅当a＝b时，a＋b就有最小值为2k.
师 若a＋b为常数s，那么ab的值如何变化？
生 当且仅当a＝b时，ab就有最大值（或ab有最大值）.
师 同学们回答得非常好，对变量与定量理解的很清楚.由上面的研究可知，解决有关最值问题的关键就是如何构造这些“定和”或“定积”.
(此时，老师用投影仪给出本节课的第一组问题)
最值练习：解答下列各题：
(１)求函数y＝2x2＋（x＞0）的最小值.
(２)求函数y＝x2＋（x＞0）的最小值.
(３)求函数y＝3x2－2x3（0＜x＜）的最大值.
(４)求函数y＝x（1－x2）（0＜x＜1）的最大值.
(５)设a＞0，b＞0，且a2＋＝1，求的最大值.
［合作探究］
师 我们来考虑运用正数的算术平均数与几何平均数之间的关系来解答这些问题.根据函数最值的含义，我们不难发现若平均值不等式的某一端为常数，则当等号能够取到时，这个常数即为另一端的一个最值.
（留五分钟的时间让学生思考，合作交流，此处留的时间可以更长一些，意在激发学生自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生.老师根据学生的思考情况作个别交流）
（根据学生完成的典型情况，找五位学生到黑板板演，然后老师根据学生到黑板板演的完成情况再一次作点评）
解：(1)∵x＞0,∴2x2＞0，＞0.∴y＝2x2＋＝2x 2＋.
当且仅当2x 2＝，即时等号成立.故当时，y有最小值.
(2) ，当且仅当，即x＝±时，等号成立.
故当x＝±时，y有最小值.
(3)∵0＜x＜,∴3－2x＞0.
∴y＝x2（3－2x）＝x·x·（3－2x）≤（）3＝1.当且仅当x＝3－2x,即x＝1时，等号成立.
(4)∵0＜x＜1,∴1－x2＞0.∴y 2＝x 2（1－x 2）2＝·2x 2（1－x2）（1－x2）≤
()3＝.当且仅当2x2＝1－x 2,即时，等号成立.∴当时，y 2有最大值.
由题意可知y＞0，故当时，y有最大值.
(5)∵a＞0，b＞0，且a 2＋＝1，∴ (a2+ +)=,
当且仅当,即，时取“＝”.
故当，时，a1+b2有最大值.
（学生对等号成立的条件往往没有详细说明）
［合作探究］
师 若不考虑等号成立的条件，最值是否一定取到呢？
生 不一定.应当考虑等号成立的条件.
师 用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考察下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(２)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(３)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值，即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.若不满足这些条件，则不能直接运用这种方法.请同学们看下面几例的解法.若对，请说明理由；若不对，请改正.
(此时，老师用投影仪给出本节课的第二组问题)
(１)∵y＝x＋≥2，∴y的最小值为2.
生 解答是错误的，原因是，当x＜0时，就不能运用公式.事实上，当x＜0时，y＜0，故最小值不可能为2.此时，函数的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞).
师 这位同学回答得非常好.请你说得再详细一点，让大家都能清楚.
（此时，这位同学的学习热情很浓，探究问题的兴趣很强）
生 当x＜0时，y＝x＋＝-(-x-)≤-2.
师 很好.请坐下.感谢你为大家讲解.
(２)∵y＝3x2＋＝2x2＋x 2＋，∴y的最小值为.
生 解答是错误的，其错误的原因是忽视等号成立条件的研究，事实上等号成立的条件为2x 2＝x2＝，显然这样的x不存在，故y没有最小值.
师 很好.
(3)∵y＝x（1－x＋x 2）≤［］2＝（）2，当且仅当x＝1－x＋x2，即x＝1时等号成立.∴当x＝1时，y有最大值为1.
生 解答是错误的，此种解法的错误在于不是定值.显然当x越大时， 也越大，故y无最大值.
师 很好.在求最值时，对定量与变量要理解清楚.
师 下面我们再用基本不等式来解决实际应用题.
(此时，老师用投影仪给出本节课第三组问题)
［课堂练习］
（让学生独立思考，根据学生完成的典型情况，找两位学生到黑板板演，以便起到示范功能，同时教师再一次作点评）
1.用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
解：设矩形菜园的长、宽分别为x m、y m，则xy=100，篱笆的长为2(x+y) m.由，可得x+y≥2，等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.因此这个矩形的长、宽各都为１０ m时，所用篱笆最短，最短的篱笆是４０ m.
2.一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
解：设矩形菜园的长、宽分别为x m、y m.则2(x+y)=36，x+y=18，矩形菜园的面积为xym2.由，可得xy≤81.等号当且仅当x=y=10时成立.因此这个矩形菜园的长、宽各都为９m时，菜园的面积最大，最大面积是８１m2.
（学生完成情况很好，要注意对答的要求）
师 下面有的同学用函数也解决了这两个问题.很好，这说明同学们对所学过的知识、方法能够在不同的问题中灵活运用，解决问题的能力很强.由于时间关系，用函数解决这两个问题的方法我们就不交流了，让同学们课后去完成.
［例题精析］
【例】某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为 3 m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
分析：水池呈长方体形，池底长、宽没有确定.
设池底长、宽分别为x m、y m.水池总造价为z元.
根据题意有z=150×+120(2×３x+2×3y)
=240 000+720(x+y).
由容积为4 800 m3，可得xy=1 600z≥ 297 600.等号当且仅当x=y=40时成立.所以将水池的底面设计为长为４０ m的正方形时水池总造价最低，最低总造价是２９７ ６００元.
课堂小结
师 通过本节课的学习，同学们感受到基本不等式的作用了吗？
生 基本不等式不但可以用于本函数的值域、最值，更重要的是可以解决与最值有关的实际问题.
师 那么，大家觉得数学这门学科是否值得去研究学习呢？
（学生齐声：太值得了，太有用了）
师 数学这门学科，它是来源于生活，又作用于生活.也是一门基础科学，同学们应当感受到数学对物理、化学等其他学科的作用.作为本节课的学习任务，同学们还应当掌握解决实际应用题的一般程序，即审题，建模，研究模，再回到实际问题验证作答.
布置作业
课本第114页，习题3.4,Ａ组第2、４题.
板书设计
基本不等式的应用（二）
复习引入 课堂练习 方法归纳
基本不等式 例
方法引导 小结
实例剖析（知识方法应用）
教学反思
在本节课的教学过程中，仍应强调不等式的现实背景和实际应用，真正地把不等式作为刻画现实世界中不等关系的工具.通过实际问题的分析解决，让学生去体会基本不等式所具有的广泛的实用价值，同时，也让学生去感受数学的应用价值，从而激发学生去热爱数学、研究数学.而不是觉得数学只是一门枯燥无味的推理学科.在解决实际问题的过程中，既要求学生能用数学的眼光、观点去看待现实生活中的许多问题，又会涉及与函数、方程、三角等许多数学本身的知识与方法的处理.从这个角度来说，本节课的研究是起到了对学生以前所学知识与方法的复习、应用，进而构建他们更完善的知识网络.数学建模能力的培养与锻炼是数学教学的一项长期而艰苦的任务，这一点，在本节课是真正得到了体现和落实.
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