教学设计
1．2.3 空间几何体的直观图
作者：高建勇
整体设计
教学分析
“空间几何体的直观图”只介绍了最常用的、直观性好的斜二测画法．用斜二测画法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形直观图的画法，这是画空间几何体直观图的基础．因此，教科书安排了两个例题，用以说明画水平放置的平面图形直观图的方法和步骤．在教学中，要引导学生体会画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置．因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法．而在平面上确定点的位置，可以借助于平面直角坐标系，确定了点的坐标就可以确定点的位置．因此，画水平放置的平面直角坐标系应当是学生首先要掌握的方法．
值得注意的是直观图的教学应注意引导学生正确把握图形尺寸大小之间的关系；另外，教学中还可以借助于信息技术向学生多展示一些图片，让学生辨析它们是平行投影下的图形还是中心投影下的图形．
三维目标
通过用斜二测画法画水平放置的平面图形和空间几何体的直观图，提高学生识图和画图的能力，培养探究精神和意识，以及转化与化归的数学思想方法．
重点难点
教学重点：用斜二测画法画空间几何体的直观图．
教学难点：直观图和三视图的互化．
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.画几何体时，画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系，怎样画呢？教师指出课题：直观图．
思路2.正投影主要用于绘制三视图，在工程制图中被广泛采用，但三视图的直观性较差，因此绘制物体的直观图一般采用斜投影或中心投影．中心投影虽然可以显示空间图形的直观形象，但作图方法比较复杂，又不易度量，因此在立体几何中通常采用斜投影的方法来画空间图形的直观图．把空间图形画在纸上，是用一个平面图形来表示空间图形，这样表达的不
是空间图形的真实形状，而是它的直观图．
推进新课
新知探究
提出问题
①如何用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图?
②上述画直观图的方法称为斜二测画法棳请 总结其步骤.
③探求空间几何体的直观图的画法棶用 斜二测画法画长宽,高,分别是4cm,3cm,2cm的长方体 ABCD A'B'C'D'的直观图.
④用斜二测画法画水平放置的平面图形和几何体的直观图有什么不同椏 并总结画几何体的直观图的步骤.
活动：①和③教师首先示范画法，并让学生思考斜二测画法的关键步骤，让学生发表自己的见解，教师及时给予点评．
②根据上述画法来归纳．
③让学生比较两种画法的步骤．
讨论结果：
①画法：1°如图1(1)，在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于点O.在图1(2)中，画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.
2°在图1(2)中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝MN.以点N′为中点画B′C′平行于x′轴，并且等于BC；再以M′为中点画E′F′平行于x′轴，并且等于EF.
3°连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，并擦去辅助线x′轴和y′轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′〔图1(3)〕．
图1
②步骤是：1°在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．
2°已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．
3°已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度
为原来的一半．
③画法：1°画轴．如图2，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
图2
2°画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝ cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
3°画侧棱．过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD′.
4°成图．顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图．
点评：画几何体的直观图时，如果不作严格要求，图形尺寸可以适当选取，用斜二测画法画图的角度也可以自定，但是要求图形具有一定的立体感．
④画几何体的直观图时还要建立三条轴，实际是建立了空间直角坐标系，而画水平放置的平面图形的直观图实际上建立的是平面直角坐标系．画几何体的直观图的步骤是：
1°在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox、Oy，再作Oz轴，使∠xOy＝90°，∠yOz＝90°.
2°画出与Ox、Oy、Oz对应的轴O′x′、O′y′、O′z′，使∠x′O′y′＝45°，∠y′O′z′＝90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面．
3°已知图形中，平行于x轴、y轴和z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴和z′轴的线段，并使它们在所画坐标系中的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．
4°已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
5°擦除作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．
斜二测画法的作图技巧：
1°在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线为坐标轴或图形的对称直线为坐标轴或图形的对称点为原点或利用原有垂直正交的直线为坐标轴等．
2°在原图中与x轴或y轴平行的线段在直观图中依然与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线，画端点时作坐标轴的平行线为辅助线．原
图中的曲线段可以通过取一些关键点，利用上述方法作出直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出．
3°在画一个水平放置的平面时，由于平面是无限延展的，通常我们只画出它的一部分表示平面，一般地，用平行四边形表示空间一个水平平面的直观图．
应用示例
思路1
1用斜二测画法画水平放置的圆的直观图．
活动：学生回顾讨论斜二测画法的步骤，自己画出来后再互相交流．教师适当点评．
解：画法：(1)如图3(1)，在⊙O上取互相垂直的直径AB、CD，分别以它们所在的直线为x轴与y轴，将线段AB n等分．过各分点分别作y轴的平行线，交⊙O于E，F，G，H，…，画对应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
图3
(2)如图3(2)，以O′为中点，在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取C′D′＝CD，将A′B′ n等分，分别以这些分点为中点，画与y′轴平行的线段E′F′，G′H′，…，使E′F′＝EF，G′H′＝GH，….
(3)用光滑的曲线顺次连接A′，D′，F′，H′，…，B′，G′，E′，C′，A′并擦去辅助线，得到圆的水平放置的直观图〔图3(3)〕．
点评：本题主要考查用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.
变式训练
1．画水平放置的等边三角形的直观图．
答案：略．
2．关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是( )
A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变
B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的
C．在画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°
D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不
同
分析：在画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′也可以是135°，所以C不正确．
答案：C
2如图4，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．
图4
活动：让学生由三视图还原为实物图，并判断该几何体的结构特征．教师分析：
由几何体的三视图知道，这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合．我们可以先画出下部的圆柱，再画出上部的圆锥．
解：画法：
(1)画轴．如图5(1)，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(1) (2)
图5
(2)画圆柱的两底面，仿照例2画法，画出底面⊙O.在z轴上截取O′，使OO′等于三视图中相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出底面⊙O′(与画⊙O一样)．
(3)画圆锥的顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于三视图中相应的高度．
(4)成图．连接PA′，PB′，A′A，B′B，整理得到三视图表示的几何体的直观图〔图5(2)〕．
点评： 空间几何体的三视图与直观图有着密切的联系，我们能够由空间几何体的三视图得到它的直观图．同时，也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图.
变式训练
图6所示是一个奖杯的三视图，你能想象出它的几何结构，并画出它的直观图吗？
图6
答案：奖杯的几何结构是最上面是一个球，中间是一个四棱柱，最下面是一个棱台拼接成的简单组合体．其直观图略.
思路2
1如图7所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，试画出它的直观图．
图7
活动：利用斜二测画法作该梯形的直观图，要注意在斜二测画法中，要有一些平行于原坐标轴的线段才好按部就班地作图，所以先在原坐标系中过D作出该点在x轴的垂足，则对应地可以作出线段DE的直观图，进而作出整个梯形的直观图．
解：步骤是：
(1)如图8所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xAy.如图9所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′A′y′＝45°.
(2)如图8所示，过D点作DE⊥x轴，垂足为E.在x′轴上取A′B′＝AB＝4 cm，A′E′＝AE＝ cm≈2.598 cm；过E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝ED，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝CD＝2 cm.
图8 图9 图10
(3)连接A′D′、B′C′、C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图10所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图．
点评：本题考查利用斜二测画法画空间图形的直观图．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，便于画点；原图中的共线点，在直观图中仍是共线点；原图中的共点线，在直观图中仍是共
点线；原图中的平行线，在直观图中仍是平行线．本题中，关键在于点D′位置的确定，这里我们采用作垂线的方法，先找到垂足E′，再去确定D′的位置.
变式训练
已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是( )
A．16 B．64 C．16或64 D．都不对
分析：根据直观图的画法，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段变为原来的一半，于是长为4的边如果平行于x轴，则正方形边长为4，面积为16，边长为4的边如果平行于y轴，则正方形边长为8，面积是64.
答案：C
知能训练
1．利用斜二测画法画直观图时：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形．
以上结论中，正确的是__________．
分析：斜二测画法保持平行性和相交性不变，即平行直线的直观图还是平行直线，相交直线的直观图还是相交直线，故①②正确；但是斜二测画法中平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半，则正方形的直观图不是正方形，菱形的直观图不是菱形，所以③④错．
答案：①②
2．一个三角形用斜二测画法画出来的直观图是边长为2的正三角形，则原三角形的面积是( )
A．2 B．4 C. D．都不对
分析：根据斜二测画法的规则，正三角形的边长是原三角形的底边长，原三角形的高是正三角形高的2倍，而正三角形的高是，所以原三角形的高为2，于是其面积为×2×2＝2.
答案：A
拓展提升
问题：如图11所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．
图11
探究：由这个三视图可以看出，该几何体是由一个长方体和一个以长方体的上底面为底面的四棱锥拼接而成．
图12
解：步骤是：
(1)作出长方体的直观图ABCDA1B1C1D1，如图12(1)所示．
(2)再以上底面A1B1C1D1的对角线交点为原点建立空间直角坐标系，如图12(2)所示，在z′上取点V′，使得V′O′的长度为棱锥的高，连接V′A1、V′B1、V′C1、V′D1得到四棱锥的直观图，如图12(2)．
(3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图12(3)．
课堂小结
本节课学习了：
1．直观图的概念．
2．直观图的画法．
3．直观图和三视图的关系．
4．规律总结：
(1)三视图的排列规则是：先画正视图，俯视图安排在正视图的正下方，长度与正视图一样，侧视图安排在正视图的正右方，高度与正视图一样．正视图反映物体的主要形状特征，是三视图中最重要的视图，俯视图与侧视图共同反映物体的宽度要相等．正视图又称为主视图，侧视图又称为左视图．
(2)画三视图时，要遵循“长对正，高平齐，宽相等”的原则．若相邻两个几何体的表面相交，表面的交线是它们的原分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见的轮廓线用虚线画出．
(3)用斜二测画法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形的直观图的画法，而画水平放置的平面图形的关键是确定多边形的顶点．因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法就可归结为确定点的
位置的画法．
(4)如果同一个空间图形摆放的位置不同，那么画出的三视图会有所不同，画出的直观图也是会有所不同．
作业
习题1.2 A组 第5、6题．
设计感想
由于直观图的画法可以灵活多变，尺寸不作严格要求．因此本节教学设计中没有设计过多地严格按步骤画直观图的题目，这要引起我们的注意．特别是高考中很少见直接考查画直观图的题目，并且高考试题关于立体几何的解答题其直观图通常直接给出，因此本节主要是通过画直观图培养学生的空间想象能力，以及画图和识图的能力．
备课资料
备选例题
【例】 若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原来三角形面积的( )
A.倍 B．2倍 C.倍 D.倍
分析：直观图也是三角形，并且有一条公共边，但是这条公共边上的高发生变化．直观图中公共边上的高是原三角形中公共边上高的，则直观图的面积是原来三角形面积的倍．
答案：A
知识拓展
直观图的概念与分类
按平行投影法，把空间图形在纸上或黑板上画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系(主要是长、宽、高三个方面的)，我们把这种投影图叫做直观图．
用平行投影法把物体连同直角坐标系一起投影到一个投影面上所得的投影图，叫做轴测投影图(简称轴测图)，这种投影画法称为轴测投影法．
轴测投影按投影线与轴测投影面斜交或垂直，可分为斜轴测投影和正轴测投影．按三轴方向的变形系数的大小关系，又可分为等轴测投影(三轴方向的变形系数都相等)、二轴测投影(有两轴方向的变形系数相等)和三轴测投影(三轴方向的变形系数都不相等)．事实上，轴测投影的种类很多，但在实际应用中，常用的是斜二轴测投影(即斜二测画法)和正等轴测投影．
第一种直观图的画法——斜二轴测投影，简称斜二测．就是投影线和投影面斜交，有两轴方向的变形系数相等的轴测投影．
第二种直观图的画法——
正等轴测投影．就是投影线和投影面垂直，各轴的变形系数都相等的轴测投影．
斜二测与正等测各有优点，用斜二测画出的直观图能使一个面(直立于我们面前的那个面)保持原来的形状和大小，用正等测画出来的直观图可以将三个面均匀地表达出来．
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