平面教学设计(人教A版必修2)
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资料简介
教学设计 ‎2.1.1 平面 整体设计 教学分析     ‎ 平面是最基本的几何概念,教科书以课桌面、黑板面、海平面等为例,对它只是加以描述而不定义.立体几何中的平面又不同于上面的例子,是上面例子的抽象和概括,它的特征是无限延展性.为了更准确地理解平面,教材重点介绍了平面的基本性质,即教科书中的三个公理,这也是本节的重点.另外,本节还应充分展现三种数学语言的转换与翻译,特别注意图形语言与符号语言的转换.‎ 三维目标     ‎ ‎1.正确理解平面的几何概念,掌握平面的基本性质.‎ ‎2.熟练掌握三种数学语言的转换与翻译,结合三个公理的应用会证明共点、共线、共面问题.‎ ‎3.通过三种语言的学习让学生感知数学语言的美,培养学生学习数学的兴趣.‎ 重点难点     ‎ 三种数学语言的转换与翻译,利用三个公理证明共点、共线、共面问题.‎ 课时安排     ‎ ‎1课时 教学过程 导入新课     ‎ 思路1.(情境导入)‎ 大家都看过电视剧《西游记》吧,如来佛对孙悟空说:“你一个跟头虽有十万八千里,但不会跑出我的手掌心”.结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心,孙悟空可以看作是一个点,他的运动成为一条直线,大家说如来佛的手掌像什么?对,像一个平面,今天我们开始认识数学中的平面.‎ 思路2.(事例导入)‎ 观察长方体(图1),你能发现长方体的顶点、棱所在的直线,以及侧面、底面之间的关系吗?‎ 图1‎ 长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成.有些面是平行的,有些面是相交的;有 些棱所在的直线与面平行,有些棱所在的直线与面相交;每条棱所在的直线都可以看成是某个面内的直线等等.空间中的点、直线、平面之间有哪些位置关系呢?本节我们将讨论这个问题.‎ ‎  推进新课     ‎ 新知探究 提出问题 ‎①怎样理解平面这一最基本的几何概念?‎ ‎②平面的画法与表示方法如何?‎ ‎③如何描述点与直线、平面的位置关系?‎ ‎④直线与平面有一个公共点。直线是否在平面内?直线与平面全少有几个公共点才能判断直线在平面内?‎ ‎⑤根据自己的生活经验。几个点能确定一个平面?‎ ‎⑥如果两个不重合的平面有一个公共点,它们的位开关系如何?请画图表示;‎ ‎⑦描述点、直线、平面的位置关系常用几种语言?‎ ‎⑧自己总结三个公理的有关内容.‎ 活动:让学生先思考或讨论,然后再回答,经教师提示、点拨,对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.对有困难的学生可提示如下:‎ ‎①回忆我们学过的最基本的概念(原始概念),如点、直线、集合等.‎ ‎②我们的桌面看起来像什么图形?表示平面和表示点、直线一样,通常用英文字母或希腊字母表示.‎ ‎③点在直线上和点在直线外;点在平面内和点在平面外.‎ ‎④确定一条直线需要几个点?‎ ‎⑤引导学生观察教室的门由几个点确定.‎ ‎⑥两个平面不可能仅有一个公共点,因为平面有无限延展性.‎ ‎⑦文字语言、图形语言、符号语言.‎ ‎⑧平面的基本性质小结.‎ 讨论结果:‎ ‎①平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念(不加定义的原始概念),只能通过对它描述加以理解,可以用它定义其他概念,不能用其他概念来定义它,因为它是不加定义的.平面的基本特征是无限延展性,很像如来佛的手掌(吴承恩的立体几何一定不错).‎ ‎②我们的桌面看起来像平行四边形,因此平面通常画成平行四边形,如图2,有些时候我们也可以用圆或三角形等图形来表示平面.平行四边形的锐角通常画成45°,且横边长等于其邻边长的2‎ 倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,我们常把它遮挡的部分用虚线画出来,如图3.‎ ‎ ‎ 图2     图3‎ 平面的表示法有如下几种:(1)在一个希腊字母α、β、γ的前面加“平面”二字,如平面α、平面β、平面γ等,且字母通常写在平行四边形的一个锐角内(图4);(2)用平行四边形的四个字母表示,如平面ABCD(图5);(3)用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示,如平面AC(图5).‎ ‎ ‎ 图4     图5‎ ‎③下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下表:‎ 点A在直线a上 ‎(或直线a经过点A)‎ A∈a 元 素 与 集 合 间 的 关 系   ‎ 点A在直线a外 ‎(或直线a不经过点A)‎ A∉a 点A在平面α内 ‎(或平面α经过点A)‎ A∈α 点A在平面α外 ‎(或平面α不经过点A)‎ A∉α ‎④直线上有一个点在平面内,直线没有全部落在平面内(图7),直线上有两个点在平面内,则直线全部落在平面内.例如用直尺紧贴着玻璃黑板,则直尺落在平面内.‎ 公理1:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.‎ 这是用文字语言描述,我们也可以用符号语言和图形语言(图6)描述.‎ 空间图形的基本元素是点、直线、平面.从运动的观点看,点动成线,线动成面,从而可以把直线、平面看成是点的集合,因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外,还可借用集合中的符号语言来表示.规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示,点用一个大写的英文字母表示,而平面则用一个小写的希腊字母表示.公理1也可以用符号语言表示:‎ 若A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a⊂α.‎ ‎ ‎ 图6     图7‎ 请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交.‎ 若A∈a,B∈a,且A∉α,B∈α,则a⊄α.如图(图7).‎ ‎⑤在生活中,我们常常可以看到这样的现象:三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等.‎ 上述事实和类似的经验可以归纳为下面的公理.‎ 公理2:经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面.‎ 如图(图8).‎ 图8‎ 公理2刻画了平面特有的性质,它是确定一个平面位置的依据之一.‎ ‎⑥我们用平行四边形来表示平面,那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢?‎ 不是,因为平面是无限延展的.直线是可以落在平面内的,因为直线是无限延伸的,如果平面是有限的,那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢?所以平面具有无限延展的特征.‎ 现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象(课件演示给学生看).‎ 问:两个平面会不会只有一个公共点?不会,因为平面是无限延展的,应当有很多公共点.正因为平面是无限延展的,所以有一个公共点,必有无数个公共点.那么这无数个公共点在什么位置呢?可见,这无数个公共点在一条直线上.‎ 图9‎ 这说明,如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时,就说两平面相交,交线就是公共点的集合,这就是公理3.如图(图9),用符号语言表示为:P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l.‎ 公理3告诉我们,如果两个不重合的平面有一个公共点,那么这两个平面一定相交,且其交线一定过这个公共点.也就是说,如果两个平面有一个公共点,那么它们必定还有另外一个公共点,只要找出这两个平面的两个公共点,就找出了它们的交线.‎ 由此看出公理3不仅给出了两个平面相交的依据,还告诉我们所有交点在同一条直线上,并给出了找这条交线的方法.‎ ‎⑦描述点、直线、平面的位置关系常用3种语言:文字语言、图形语言、符号语言.‎ ‎⑧“平面的基本性质”小结:‎ 名 称 作 用 公理1‎ 判定直线在平面内的依据 公理2‎ 确定一个平面的依据 公理3‎ 两平面相交的依据 应用示例 思路1‎ ‎1如图10,用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.‎ 图10‎ 活动:学生自己思考或讨论,再写出答案(最好用实物投影仪展示写的正确的答案).教师在学生中巡视,发现问题及时纠正,并及时评价.‎ 解:在(1)中,α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.‎ 在(2)中,α∩β=l,a⊂α,b⊂β,a∩l=P,b∩l=P.‎ 变式训练 ‎1.画图表示下列由集合符号给出的关系:‎ ‎(1)A∈α,B∉α,A∈l,B∈l;‎ ‎(2)a⊂α,b⊂β,a∥c,b∩c=P,α∩β=c.‎ 解:如图11.‎ 图11‎ ‎2.根据下列条件,画出图形.‎ ‎(1)平面α∩平面β=l,直线AB⊂α,AB∥l,E∈AB,直线EF∩β=F,F∉l;‎ ‎(2)平面α∩平面β=a,△ABC的三个顶点满足条件:A∈a,B∈α,B∉a,C∈β,C∉a.‎ 答案:如图12.‎ 图12‎ 点评:图形语言与符号语言的转换是本节的重点,主要有两种题型:‎ ‎(1)根据图形,先判断点、直线、平面的位置关系,然后用符号表示出来.‎ ‎(2)根据符号,想象出点、直线、平面的位置关系,然后用图形表示出来.‎ ‎2已知直线a和直线b相交于点A.求证:过直线a和直线b有且只有一个平面.‎ 图13‎ 证明:如图13,点A是直线a和直线b的交点,在a上取一点B,b上取一点C,‎ 根据公理2经过不在同一直线上的三点A、B、C有一个平面α,‎ 因为A、B在平面α内,根据公理1,直线a在平面α内,‎ 同理直线b在平面α内,即平面α是经过直线a和直线b的平面.‎ 又因为A、B在a上,A、C在b上,所以经过直线a和直线b的平面一定经过点A、B、C.‎ 于是根据公理2,经过不共线的三点A、B、C的平面有且只有一个,‎ 所以经过直线a和直线b的平面有且只有一个.‎ 变式训练 ‎ 求证:两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.‎ 图14‎ 证明:如图14,直线a、b、c、d两两相交,交点分别为A、B、C、D、E、F,‎ ‎∵直线a∩直线b=A,∴直线a和直线b确定平面设为α,即a,b⊂α.‎ ‎∵B、C∈a,E、F∈b,∴B、C、E、F∈α.‎ 而B、F∈c,C、E∈d,∴c、d⊂α,即a、b、c、d在同一平面内.‎ 点评:在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题,除公理2外,确定平面的依据还有:‎ ‎(1)直线与直线外一点.(2)两条相交直线.(3)两条平行直线.‎ 思路2‎ ‎1如图15,已知α∩β=EF,A∈α,C、B∈β,BC与EF相交,在图中分别画出平面ABC与α、β的交线.‎ 图15‎ 活动:让学生先思考或讨论,然后再回答,经教师提示、点拨,对回答正确的学生及时表扬,对作图不准确的学生提示引导考虑问题的思路.‎ 解:如图16所示,连接CB,‎ ‎∵C∈β,B∈β,∴直线CB⊂β.‎ 图16‎ ‎∵直线CB⊂平面ABC,∴β∩平面ABC=直线CB.‎ 设直线CB与直线EF交于D,‎ ‎∵α∩β=EF,∴D∈α,D∈平面ABC.‎ ‎∵A∈α,A∈平面ABC,‎ ‎∴α∩平面ABC=直线AD.‎ 变式训练 图17‎ ‎1.如图17,AD∩平面α=B,AE∩平面α=C,请画出直线DE与平面α的交点P,并指出点P与直线BC的位置关系.‎ 解:AD和AC是相交直线,它们确定一个平面ABC,‎ 它与平面α的交线为直线BC,DE⊂平面ABC,‎ ‎∴DE与α的交点P在直线BC上.‎ ‎2.如图18,正方体ABCDA1B‎1C1D1的棱长为‎8 cm,M、N、P分别是AB、A1D1、BB1的中点,‎ 图18‎ ‎(1)画出过M、N、P三点的平面与平面A1B‎1C1D1的交线,以及与平面BB‎1C‎1C的交线.‎ ‎(2)设过M、N、P三点的平面与B‎1C1交于点Q,求PQ的长.‎ ‎ 解:(1)设M、N、P三点确定的平面为α,则α与平面AA1B1B的交线为直线MP,‎ 设MP∩A1B1=R,则RN是α与平面A1B1C1D1的交线,‎ 设RN∩B1C1=Q,连接PQ,则PQ是所要画的平面α与平面BB1C1C的交线.如图18.‎ ‎(2)正方体棱长为‎8 cm,B1R=BM=‎4 cm,又A1N=‎4 cm,B1Q=A1N,‎ ‎∴B1Q=×4=(cm).‎ 在△PB1Q中,B1P=4 cm,B1Q= cm,‎ ‎∴PQ== cm.‎ 点评:公理3给出了两个平面相交的依据,我们经常利用公理3找两平 面的交点和交线.‎ ‎2已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点,求证:P、Q、R三点共线.‎ 解:如图19,∵A、B、C是不在同一直线上的三点,‎ 图19‎ ‎∴过A、B、C有一个平面β.‎ 又∵AB∩α=P,且AB⊂β,‎ ‎∴点P既在β内又在α内.设α∩β=l,则P∈l,‎ 同理可证:Q∈l,R∈l,‎ ‎∴P、Q、R三点共线.‎ 变式训练 ‎ 三个平面两两相交于三条直线,若这三条直线不平行,求证:这三条直线交于一点.‎ 已知平面α、β、γ两两相交于三条直线l1、l2、l3,且l1、l2、l3不平行.‎ 求证:l1、l2、l3相交于一点.‎ 图20‎ 证明:如图20,α∩β=l1,β∩γ=l2,α∩γ=l3,‎ ‎∵l1⊂β,l2⊂β,且l1、l2不平行,‎ ‎∴l1与l2必相交.设l1∩l2=P,‎ 则P∈l1⊂α,P∈l2⊂γ,‎ ‎∴P∈α∩γ=l3.‎ ‎∴l1、l2、l3相交于一点P.‎ 点评:共点、共线问题是本节的重点,在高考中也经常考查,其理论依据是公理3.‎ 知能训练 画一个正方体ABCDA′B′C′D′,再画出平面ACD′与平面BDC′的交线,并且说明理由.‎ 图21‎ 解:如图21,‎ ‎∵F∈CD′,∴F∈平面ACD′.‎ ‎∵E∈AC,‎ ‎∴E∈平面ACD′.‎ ‎∵E∈BD,‎ ‎∴E∈平面BDC′.‎ ‎∵F∈DC′,‎ ‎∴F∈平面DC′B.‎ ‎∴EF为所求.‎ 拓展提升 O1是正方体ABCDA1B‎1C1D1的上底面的中心,过D1、B1、A作一个截面,求证:此截面与对角线A‎1C的交点P一定在AO1上.‎ 图22‎ 解:如图22,连接A1C1、AC,‎ 因AA1∥CC1,则AA1与CC1可确定一个平面AC1,‎ 易知截面AD1B1与平面AC1有公共点A、O1,‎ 所以截面AD1B1与平面AC1的交线为AO1.‎ 由P∈A1C,得P∈平面AC1,而P∈截面AB1D1,‎ 故P在两平面的交线上,即P∈AO1.‎ 点评:证明共点、共线问题关键是利用两平面的交点必在交线上.‎ 课堂小结 ‎1.平面是一个不加定义的原始概念,其基本特征是无限延展性.‎ ‎2.通过三个公理介绍了平面的基本性质及作用.‎ 名 称 作 用 公理1‎ 判定直线在平面内的依据 公理2‎ 确定一个平面的依据 公理3‎ 两平面相交的依据 ‎3.利用三个公理证明共面、共线、共点问题.‎ 作业 课本习题2.1 A组5、6.‎ 设计感想 本节的引入精彩独特,用如来佛的手掌形象地刻画了平面的基本特征;本节设计了较多的语言转换题目,反复训练学生的读图、作图能力,以及用符号语言表达数学问题的能力,因为这是学好立体几何的基础,是本节的重点;本节的难点是利用三个公理证明共面、共线、共点问题,本节设计了大量题目来突破这一难点,每个题目都精彩活泼难度适中,我相信这是一节值得期待的精彩课例.‎

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