教学设计
2．1.1 平面
整体设计
教学分析
平面是最基本的几何概念，教科书以课桌面、黑板面、海平面等为例，对它只是加以描述而不定义．立体几何中的平面又不同于上面的例子，是上面例子的抽象和概括，它的特征是无限延展性．为了更准确地理解平面，教材重点介绍了平面的基本性质，即教科书中的三个公理，这也是本节的重点．另外，本节还应充分展现三种数学语言的转换与翻译，特别注意图形语言与符号语言的转换．
三维目标
1．正确理解平面的几何概念，掌握平面的基本性质．
2．熟练掌握三种数学语言的转换与翻译，结合三个公理的应用会证明共点、共线、共面问题．
3．通过三种语言的学习让学生感知数学语言的美，培养学生学习数学的兴趣．
重点难点
三种数学语言的转换与翻译，利用三个公理证明共点、共线、共面问题．
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(情境导入)
大家都看过电视剧《西游记》吧，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”．结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，孙悟空可以看作是一个点，他的运动成为一条直线，大家说如来佛的手掌像什么？对，像一个平面，今天我们开始认识数学中的平面．
思路2.(事例导入)
观察长方体(图1)，你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以及侧面、底面之间的关系吗？
图1
长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成．有些面是平行的，有些面是相交的；有
些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看成是某个面内的直线等等．空间中的点、直线、平面之间有哪些位置关系呢？本节我们将讨论这个问题．
推进新课
新知探究
提出问题
①怎样理解平面这一最基本的几何概念？
②平面的画法与表示方法如何？
③如何描述点与直线、平面的位置关系?
④直线与平面有一个公共点。直线是否在平面内?直线与平面全少有几个公共点才能判断直线在平面内?
⑤根据自己的生活经验。几个点能确定一个平面?
⑥如果两个不重合的平面有一个公共点，它们的位开关系如何?请画图表示；
⑦描述点、直线、平面的位置关系常用几种语言?
⑧自己总结三个公理的有关内容．
活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．对有困难的学生可提示如下：
①回忆我们学过的最基本的概念(原始概念)，如点、直线、集合等．
②我们的桌面看起来像什么图形？表示平面和表示点、直线一样，通常用英文字母或希腊字母表示．
③点在直线上和点在直线外；点在平面内和点在平面外．
④确定一条直线需要几个点？
⑤引导学生观察教室的门由几个点确定．
⑥两个平面不可能仅有一个公共点，因为平面有无限延展性．
⑦文字语言、图形语言、符号语言．
⑧平面的基本性质小结．
讨论结果：
①平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念(不加定义的原始概念)，只能通过对它描述加以理解，可以用它定义其他概念，不能用其他概念来定义它，因为它是不加定义的．平面的基本特征是无限延展性，很像如来佛的手掌(吴承恩的立体几何一定不错)．
②我们的桌面看起来像平行四边形，因此平面通常画成平行四边形，如图2，有些时候我们也可以用圆或三角形等图形来表示平面．平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2
倍．如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把它遮挡的部分用虚线画出来，如图3.
图2 图3
平面的表示法有如下几种：(1)在一个希腊字母α、β、γ的前面加“平面”二字，如平面α、平面β、平面γ等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内(图4)；(2)用平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD(图5)；(3)用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面AC(图5)．
图4 图5
③下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下表：
点A在直线a上
(或直线a经过点A)
A∈a
元
素
与
集
合
间
的
关
系
点A在直线a外
(或直线a不经过点A)
A∉a
点A在平面α内
(或平面α经过点A)
A∈α
点A在平面α外
(或平面α不经过点A)
A∉α
④直线上有一个点在平面内，直线没有全部落在平面内(图7)，直线上有两个点在平面内，则直线全部落在平面内．例如用直尺紧贴着玻璃黑板，则直尺落在平面内．
公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．
这是用文字语言描述，我们也可以用符号语言和图形语言(图6)描述．
空间图形的基本元素是点、直线、平面．从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示．规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示．公理1也可以用符号语言表示：
若A∈a，B∈a，且A∈α，B∈α，则a⊂α.
图6 图7
请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交．
若A∈a，B∈a，且A∉α，B∈α，则a⊄α.如图(图7)．
⑤在生活中，我们常常可以看到这样的现象：三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等．
上述事实和类似的经验可以归纳为下面的公理．
公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．
如图(图8)．
图8
公理2刻画了平面特有的性质，它是确定一个平面位置的依据之一．
⑥我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？
不是，因为平面是无限延展的．直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征．
现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象(课件演示给学生看)．
问：两个平面会不会只有一个公共点？不会，因为平面是无限延展的，应当有很多公共点．正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点．那么这无数个公共点在什么位置呢？可见，这无数个公共点在一条直线上．
图9
这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图(图9)，用符号语言表示为：P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l.
公理3告诉我们，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交，且其交线一定过这个公共点．也就是说，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有另外一个公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找出了它们的交线．
由此看出公理3不仅给出了两个平面相交的依据，还告诉我们所有交点在同一条直线上，并给出了找这条交线的方法．
⑦描述点、直线、平面的位置关系常用3种语言：文字语言、图形语言、符号语言．
⑧“平面的基本性质”小结：
名 称
作 用
公理1
判定直线在平面内的依据
公理2
确定一个平面的依据
公理3
两平面相交的依据
应用示例
思路1
1如图10，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．
图10
活动：学生自己思考或讨论，再写出答案(最好用实物投影仪展示写的正确的答案)．教师在学生中巡视，发现问题及时纠正，并及时评价．
解：在(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.
在(2)中，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩l＝P，b∩l＝P.
变式训练
1．画图表示下列由集合符号给出的关系：
(1)A∈α，B∉α，A∈l，B∈l；
(2)a⊂α，b⊂β，a∥c，b∩c＝P，α∩β＝c.
解：如图11.
图11
2．根据下列条件，画出图形．
(1)平面α∩平面β＝l，直线AB⊂α，AB∥l，E∈AB，直线EF∩β＝F，F∉l；
(2)平面α∩平面β＝a，△ABC的三个顶点满足条件：A∈a，B∈α，B∉a，C∈β，C∉a.
答案：如图12.
图12
点评：图形语言与符号语言的转换是本节的重点，主要有两种题型：
(1)根据图形，先判断点、直线、平面的位置关系，然后用符号表示出来．
(2)根据符号，想象出点、直线、平面的位置关系，然后用图形表示出来.
2已知直线a和直线b相交于点A.求证：过直线a和直线b有且只有一个平面．
图13
证明：如图13，点A是直线a和直线b的交点，在a上取一点B，b上取一点C，
根据公理2经过不在同一直线上的三点A、B、C有一个平面α，
因为A、B在平面α内，根据公理1，直线a在平面α内，
同理直线b在平面α内，即平面α是经过直线a和直线b的平面．
又因为A、B在a上，A、C在b上，所以经过直线a和直线b的平面一定经过点A、B、C.
于是根据公理2，经过不共线的三点A、B、C的平面有且只有一个，
所以经过直线a和直线b的平面有且只有一个.
变式训练
求证：两两相交且不共点的四条直线在同一平面内．
图14
证明：如图14，直线a、b、c、d两两相交，交点分别为A、B、C、D、E、F，
∵直线a∩直线b＝A，∴直线a和直线b确定平面设为α，即a，b⊂α.
∵B、C∈a，E、F∈b，∴B、C、E、F∈α.
而B、F∈c，C、E∈d，∴c、d⊂α，即a、b、c、d在同一平面内．
点评：在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题，除公理2外，确定平面的依据还有：
(1)直线与直线外一点．(2)两条相交直线．(3)两条平行直线.
思路2
1如图15，已知α∩β＝EF，A∈α，C、B∈β，BC与EF相交，在图中分别画出平面ABC与α、β的交线.
图15
活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对作图不准确的学生提示引导考虑问题的思路．
解：如图16所示，连接CB，
∵C∈β，B∈β，∴直线CB⊂β.
图16
∵直线CB⊂平面ABC，∴β∩平面ABC＝直线CB.
设直线CB与直线EF交于D，
∵α∩β＝EF，∴D∈α，D∈平面ABC.
∵A∈α，A∈平面ABC，
∴α∩平面ABC＝直线AD.
变式训练
图17
1.如图17，AD∩平面α＝B，AE∩平面α＝C，请画出直线DE与平面α的交点P，并指出点P与直线BC的位置关系．
解：AD和AC是相交直线，它们确定一个平面ABC，
它与平面α的交线为直线BC，DE⊂平面ABC，
∴DE与α的交点P在直线BC上．
2．如图18，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为8 cm，M、N、P分别是AB、A1D1、BB1的中点，
图18
(1)画出过M、N、P三点的平面与平面A1B1C1D1的交线，以及与平面BB1C1C的交线．
(2)设过M、N、P三点的平面与B1C1交于点Q，求PQ的长．
解：(1)设M、N、P三点确定的平面为α，则α与平面AA1B1B的交线为直线MP，
设MP∩A1B1＝R，则RN是α与平面A1B1C1D1的交线，
设RN∩B1C1＝Q，连接PQ，则PQ是所要画的平面α与平面BB1C1C的交线．如图18.
(2)正方体棱长为8 cm，B1R＝BM＝4 cm，又A1N＝4 cm，B1Q＝A1N，
∴B1Q＝×4＝(cm)．
在△PB1Q中，B1P＝4 cm，B1Q＝ cm，
∴PQ＝＝ cm.
点评：公理3给出了两个平面相交的依据，我们经常利用公理3找两平
面的交点和交线.
2已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线．
解：如图19，∵A、B、C是不在同一直线上的三点，
图19
∴过A、B、C有一个平面β.
又∵AB∩α＝P，且AB⊂β，
∴点P既在β内又在α内．设α∩β＝l，则P∈l，
同理可证：Q∈l，R∈l，
∴P、Q、R三点共线.
变式训练
三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不平行，求证：这三条直线交于一点．
已知平面α、β、γ两两相交于三条直线l1、l2、l3，且l1、l2、l3不平行．
求证：l1、l2、l3相交于一点.
图20
证明：如图20，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3，
∵l1⊂β，l2⊂β，且l1、l2不平行，
∴l1与l2必相交．设l1∩l2＝P，
则P∈l1⊂α，P∈l2⊂γ，
∴P∈α∩γ＝l3.
∴l1、l2、l3相交于一点P.
点评：共点、共线问题是本节的重点，在高考中也经常考查，其理论依据是公理3.
知能训练
画一个正方体ABCDA′B′C′D′，再画出平面ACD′与平面BDC′的交线，并且说明理由．
图21
解：如图21，
∵F∈CD′，∴F∈平面ACD′.
∵E∈AC，
∴E∈平面ACD′.
∵E∈BD，
∴E∈平面BDC′.
∵F∈DC′，
∴F∈平面DC′B.
∴EF为所求．
拓展提升
O1是正方体ABCDA1B1C1D1的上底面的中心，过D1、B1、A作一个截面，求证：此截面与对角线A1C的交点P一定在AO1上．
图22
解：如图22，连接A1C1、AC，
因AA1∥CC1，则AA1与CC1可确定一个平面AC1，
易知截面AD1B1与平面AC1有公共点A、O1，
所以截面AD1B1与平面AC1的交线为AO1.
由P∈A1C，得P∈平面AC1，而P∈截面AB1D1，
故P在两平面的交线上，即P∈AO1.
点评：证明共点、共线问题关键是利用两平面的交点必在交线上．
课堂小结
1．平面是一个不加定义的原始概念，其基本特征是无限延展性．
2．通过三个公理介绍了平面的基本性质及作用.
名 称
作 用
公理1
判定直线在平面内的依据
公理2
确定一个平面的依据
公理3
两平面相交的依据
3．利用三个公理证明共面、共线、共点问题．
作业
课本习题2.1 A组5、6.
设计感想
本节的引入精彩独特，用如来佛的手掌形象地刻画了平面的基本特征；本节设计了较多的语言转换题目，反复训练学生的读图、作图能力，以及用符号语言表达数学问题的能力，因为这是学好立体几何的基础，是本节的重点；本节的难点是利用三个公理证明共面、共线、共点问题，本节设计了大量题目来突破这一难点，每个题目都精彩活泼难度适中，我相信这是一节值得期待的精彩课例．
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