教学设计
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
作者：于新彬
整体设计
教学分析
空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点．异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同．公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念．
三维目标
1．正确理解空间中直线与直线的位置关系，特别是两直线的异面关系．
2．以公理4和等角定理为基础，正确理解两异面直线所成角的概念以及它们的应用．
3．进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质．
重点难点
两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法．
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(情境导入)
在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过(假设它们的轨迹为直线)，请同学们讨论这两直线的位置关系．
学生：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系不平行也不相交，就像教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样．
教师：回答得很好，像这样的两直线的位置关系还可以举出很多，又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公路所在的直线，它们既不相交，也不平行，即不能处在同一平面内．今天我们讨论空间中直线与直线的位置关系．
思路2.(事例导入)
观察长方体(图1)，你能发现长方体ABCDA′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线的位置关系如何？
图1
推进新课
新知探究
提出问题
①什么叫做异面直线？
②总结空间中直线与直线的位置关系.
③两异面直线的画法.
④在同一平面内。如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．在宇间这个结论成立吗?
⑤什么呈亨间等角定理?
⑥什么叫做两异面直线所成的角?
⑦什么叫做两条直线互相垂直?
活动：先让学生动手做题，再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．
讨论结果：
①异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线．它是以否定的形式给出的，以否定形式给出的问题一般用反证法证明．
②空间两条直线的位置关系有且只有三种．结合长方体模型(图1)，引导学生得出空间的两条直线的三种位置关系：
③教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如图2.
图2
④组织学生思考：
长方体ABCDA′B′C′D′中，如图1，
BB′∥AA′，DD′∥AA′，BB′与DD′平行吗？
通过观察得出结论：BB′与DD′平行．
再联系其他相应实例归纳出公理4.
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
符号表示为：a∥b，b∥c⇒a∥c.
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用．
公理4是判断空间两条直线平行的依据，不必证明，可直接应用．
⑤等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
⑥怎么定义两条异面直线所成的角呢？能否转化为用共面直线所成的角来表示呢？
生：可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示．如图3，异面直线a、b，在空间中任取一点O，过点O分别引a′∥a，b′∥b，则a′，b′所成的锐角(或直角)叫做两条异面直线所成的角．
图3
针对这个定义，我们来思考两个问题．
问题1：这样定义两条异面直线所成的角，是否合理？对空间中的任一点O有无限制条件？
图4
答：在这个定义中，空间中的一点是任意取的．若在空间中，再取一点O′(图4)，过点O′作a″∥a，b″∥b，根据等角定理，a″与b″所成的锐角(或直角)和a′与b′所成的锐角(或直角)相等，即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角(或直角)都是相等的，值是唯一的、确定的，而与所取的点位置无关，这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性．注意：有时，为了方便，可将点O取在a或b上(如图3)．
图5
问题2：这个定义与平面内两相交直线所成角是否矛盾？
答：没有矛盾．当a、b相交时，此定义仍适用，表明此定义与平面内两相交直线所成角的概念没有矛盾，是相交直线所成角概念的推广．
⑦在定义中，两条异面直线所成角的范围是(0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直．例如，正方体上的任一条棱和不平行于它的八条棱都是相互垂直的，其中有的和这条棱相交，有的和这条棱异面(图5)．
思路1
1如图6，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
图6
求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且EH＝BD.
同理，FG∥BD，且FG＝BD.
所以EH∥FG，且EH＝FG.所以四边形EFGH为平行四边形.
变式训练
1．如图6，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点且AC＝BD.
求证：四边形EFGH是菱形．
证明：因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且EH＝BD.
同理，FG∥BD，EF∥AC，且FG＝BD，EF＝AC.
所以EH∥FG，且EH＝FG.
所以四边形EFGH为平行四边形．
因为AC＝BD，所以EF＝EH.
所以四边形EFGH为菱形．
2．如图6，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点且AC＝BD，AC⊥BD.
求证：四边形EFGH是正方形．
证明：因为EH是△ABD的中位线，
所以EH∥BD，且EH＝BD.
同理，FG∥BD，EF∥AC，且FG＝BD，EF＝AC.
所以EH∥FG，且EH＝FG.所以四边形EFGH为平行四边形．
因为AC＝BD，所以EF＝EH.
因为FG∥BD，EF∥AC，所以∠FEH为两异面直线AC与BD所成的角．又因为AC⊥BD，所以EF⊥EH.
所以四边形EFGH为正方形．
点评：“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行常用的方法.
2如图7，已知正方体ABCDA′B′C′D′.
图7
(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？
(2)直线BA′和CC′的夹角是多少？
(3)哪些棱所在直线与直线AA′垂直？
解：(1)由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与BA′是异面直线．
(2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′是异面直线BA′和CC′的夹角，∠B′BA′＝45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°.
(3)直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直.
变式训练
图8
如图8，已知正方体ABCDA′B′C′D′.
(1)求异面直线BC′与A′B′所成的角的度数；
(2)求异面直线CD′和BC′所成的角的度数．
解：(1)由A′B′∥C′D′可知，∠BC′D′是异面直线BC′与A′B′所成的角，
∵BC′⊥C′D′，∴异面直线BC′与A′B′所成的角的度数为90°.
(2)连接AD′，AC，由AD′∥BC′可知，∠AD′C是异面直线CD′和BC′所成的角，
∵△AD′C是等边三角形．
∴∠AD′C＝60°，即异面直线CD′和BC′所成的角的度数为60°.
点评：“平移法”是求两异面直线所成角的基本方法.
思路2
1在长方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和棱CC1的中点．
求证：EB1∥DF，ED∥B1F.
活动：学生先思考或讨论，然后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生．
证明：如图9，设G是DD1的中点，分别连接EG，GC1.
图9
∵EG綊A1D1，B1C1綊A1D1，
∴EG綊B1C1.四边形EB1C1G是平行四边形，
∴EB1綊GC1.同理可证DF綊GC1，∴EB1綊DF.
∴四边形EB1FD是平行四边形．∴ED∥B1F.
变式训练
图10
如图10，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AA1、AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：
(1)AB与CC1；
(2)A1B1与DC；
(3)A1C与D1B；
(4)DC与BD1；
(5)D1E与CF.
解：(1)∵C∈平面ABCD，AB⊂平面ABCD，又C∉AB，C1∉平面ABCD，∴AB与CC1异面．
(2)∵A1B1∥AB，AB∥DC，∴A1B1∥DC.
(3)∵A1D1∥B1C1，B1C1∥BC，∴A1D1∥BC，则A1、B、C、D1在同一平面内．∴A1C与D1B相交．
(4)∵B∈平面ABCD，DC⊂平面ABCD，又B∉DC，D1∉平面ABCD，∴DC与BD1异面．
(5)如图10，CF与DA的延长线交于G，连接D1G，
∵AF∥DC，F为AB中点，∴A为DG的中点．
又AE∥DD1，∴GD1过AA1的中点E.∴直线D1E与CF相交．
点评：两条直线平行，在空间中不管它们的位置如何，看上去都平行(或重合)．两条直线相交，总可以找到它们的交点．作图时用实点标出．两条直线异面，有时看上去像平行(如图中的EB与A1C)，有时看上去像相交(如图中的DC与D1B)．所以要仔细观察，培养空间想象能力，尤其要学会两条直线异面判定的方法.
2如图11，点A是BCD所在平面外一点，AD＝BC，E、F分别是AB、CD的中点，且EF＝AD，求异面直线AD和BC所成的角．
图11
解：设G是AC中点，连接EG、FG.
因E、F分别是AB、CD中点，故EG∥BC且EG＝BC，FG∥AD，且FG＝AD.由异面直线所成角定义可知EG与FG所成锐角或直角为异面直线AD、BC所成角，即∠EGF(或其补角)为所求．
由BC＝AD知EG＝GF＝AD，又EF＝AD，由勾股定理可得∠EGF＝90°.
点评：本题的平移点是AC中点G，按定义过G分别作出了两条异面直线的平行线，然后在△EFG中求角．通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系.
变式训练
设空间四边形ABCD，E、F、G、H分别是AC、BC、DB、DA的中点，若AB＝12，CD＝4，且HG·HE·sin∠EHG＝12，求AB和CD所成的角．
图12
解：如图12，由三角形中位线的性质知，HG∥AB，HE∥CD，
∴∠EHG(或其补角)就是异面直线AB和CD所成的角．
由题意可知四边形EFGH是平行四边形，HG＝AB＝6，HE＝CD＝2，
∴HG·HE·sin∠EHG＝12sin∠EHG.
∴12sin∠EHG＝12.
∴sin∠EHG＝.故∠EHG＝45°或135°.
∴AB和CD所成的角为45°.
知能训练
如图13表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正
方体中相互异面的有__________对．
图13
答案：三
拓展提升
图14是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：
图14
①AB与CD所在直线垂直；②CD与EF所在直线平行；③AB与MN所在直线成60°角；④MN与EF所在直线异面．其中正确命题的序号是( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．③④
答案：D
课堂小结
本节学习了空间两直线的三种位置关系：平行、相交、异面，其中异面关系是重点和难点．
为了准确理解两异面直线所成角的概念，我们学习了公理4和等角定理．
作业
课本习题2.1 A组3、4.
设计感想
空间中直线与直线的位置关系是立体几何的基础，本节通过空间模型让学生直观感受两直线的位置关系，进一步培养学生的空间想象能力．两直线的异面关系是本节的重点和难点，本节选用大量典型题目训练学生求两异面直线所成的角，使学生熟练掌握直线与直线的位置关系．另外，本节加强了三种语言的相互转换，因此这是一节值得期待的精彩课例．
备课资料
备用习题
1．在空间，有下列命题：①有两组对边相等的四边形是平行四边形；②四边相等的四边形是菱形；③平行于同一条直线的两条直线平行；④有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．其中正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．三个角是直角的四边形( )
A．一定是矩形 B．一定是空间四边形
C．是四个角为直角的空间四边形 D．不能确定
3．以下四个命题：①圆上三点可确定一个平面；②圆心和圆上两点可确定一个平面；③四条平行线确定六个平面；④不共线的五点可以确定一个平面，则必有三点共线．其中正确的是( )
A．① B．①③ C．①④ D．①②④
答案：1.B 2.D 3.A
附：
2．1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
第1课时
作者：陈爱红，新罗区龙岩四中教师，本教学设计获福建省教学设计大赛三等奖
设计理念
高中立体几何课程以培养学生的逻辑思维和空间想象力为主要目标．在处理方式上，加强引导学生通过自己的观察、操作等活动获得教学结论的过程，把合情推理作为学习过程中的一个重要的推理方式．注重对典型实例的观察、分析，给学生提供动手操作的机会，引导学生进行归纳、概括活动，在经历观察、实验、猜想等合情推理活动后，再进行演绎推理、逻辑论证．另外，通过“观察、思考、探究”等向学生提出问题，以问题引导学生的思维活动，使学生在问题带动下进行更加主动的思维活动，经历从实际背景中抽象出数学模型，从现实生活空间中抽象出几何图形和几何问题的过程，注重探索空间图形性质的过程．
教学内容分析
本教学设计的内容是人民教育出版社普通高中课程标准实验教科书，数学必修②第二章§2.1.2“空间中直线与直线之间的位置关系”第一课时的内容．本节课主要学习两个内容：①平行关系的传递性；②异面直线的概念．
本节教科书在内容的处理上，按照“直观感知——操作确认——思辨论证”的认识过程展开．先通过直观感知和操作确认的方法，概括出异面直线的概念、公理4.通过对图形的观察、实验和画图，使学生进一步了解空间的直线与直线的位置关系，平行关系的传递性，学会准确地使用公理4解决一些简单的推理论证及应用问题．
本节课主要是在学生已有同一平面内两条直线有两种位置关系的基础上，从教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在直线以及天安门广场上旗杆所在直线与长安街所在直线这两例出发，引出了异面直线的概念．平行的传递性是一种非常重要的关系，它不仅应用多，而且是学习直线与平面位置关系的基础．进一步说明可以利用公理4来判定直线与平面平行，由此来引发探索这一节内容的需要．
学生学习情况分析
1．知识掌握上：高一的学生对立体几何的那种抽象和对概念的理解不一定很深刻，许多
学生容易造成知识的遗忘，所以应全面系统地加以引导．
2．学生学习本节课的知识障碍：学生对异面直线的概念和公理4不易理解，容易造成画图中立体感体现的不够，空间想象力较差等现象，所以在教学过程中教师应加以利用身边的事物，深入浅出地分析．
3．由于高一学生的理解力、思维特征和生理特征，有自己的见解，又不喜欢太张扬自己，所以在教学中应抓住学生这一心理特点，一方面要运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力集中在课堂上；另一方面要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性．
4．心理上：学生对数学课的兴趣，老师应抓住这一有利因素，引导学生认识到数学课的科学性，学好数学有利于其他学科的学习以及学科知识的渗透性．
教学目标
1．知识与技能
掌握空间直线的位置关系，理解异面直线的概念，理解公理4并能应用它证明简单的几何题．
2．过程与方法
通过观察事物，引出两直线的三种位置关系，又由观察导出公理4，遵循了由特殊到一般，由简单到复杂的认知规律．
3．情感态度与价值观
通过欣赏、运用空间直线各具特点的丰富多彩的不同位置关系，培养学生的空间想象能力．感悟数学的奇异美、简洁美、和谐美，培养学生的美学意识．
4．教学重点和难点
教学重点：(1)异面直线的概念；
(2)公理4及其应用．
难点：异面直线的概念及公理4的应用．
教学过程
教学
环节
问题情景
师生互动
设计意图
创设情景，引入新课
上节课我们学习了平面的概念，以及平面的性质．这节课我们将一起学习空间中直线与直线之间的位置关系.
师：引导学生回忆上节的内容，引入新课．
生：回忆、积极发言.
复习平面的概念及平面的性质.
合作学习，问题探究
(一)空间中两直线平行的判定公理
1．公理4
问题：在同一个平面内，两条直线有哪几种位置关系？我们已经知道平行于同一条直线的两条直线平行．那么，空间中的两条直线是否也有类似的规律？
观察：如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，BB1∥AA1，DD1∥AA1，那么BB1与DD1平行吗？
公理4：平行于同一条直线的两条直线平行(动画展示).
师：引导学生大胆猜想．
生：积极思考，表达自己的见解
使学生从感性认识平行关系的传递性
2．范例研讨
例2，如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：连接BD，因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且EH＝BD.
同理，FG∥BD，且FG＝BD.因为EH∥FG，且EH＝FG，所以四边形EFGH为平行四边形.
师生共同分析，板演步骤.
巩固公理4，培养学生的推理论证能力．
3.变式题：在例2中，(1)如果再加上条件AC＝BD，那么四边形EFGH是什么图形？
猜测：(2)如果再加上条件AC⊥BD呢？
(3)如果再加上条件AC＝BD，AC⊥BD呢？
师：引导学生讨论，并个别指导．
生：积极思考，写出证明步骤.
培养学生的探究能力，利用公理4证明空间直线的平行问题.
续表
教学环节
问题情景
师生互动
设计意图
合作学习，问题探究
(二)异面直线
问题：在同一平面内的两条直线的位置关系有平行和相交，那么在空间中是否存在既不相交也不平行的直线？(图片展示)
1．异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．
问题：空间中两条直线有几种位置关系？并说明它们的特点.
师：展示课件，引导学生观察两直线的位置关系
生：积极讨论.
使学生对空间两直线的位置关系有一定的感性认识
2.空间两条直线的位置关系有且只有三种：
师：引导学生根据两直线的位置关系特点归纳．
生：思考、讨论，并表达自己的观点.
使学生掌握三种位置关系的区别与联系
3.异面直线的画法
为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图．
展示课件
使学生掌握画异面直线的方法
4.练习 (1)
如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB、CD、EF、GH这四条线段所在直线是异面直线的有__________对；
(2)画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线，使它们成为：①平行直线，②相交直线，③异面直线；
(3)空间四边形ABCD(A、B、C、D不共
师：巡回引导
生：动手答题，熟练找出异面直线.
巩固异面直线的概念
面)，E、M为AD上的点，F、N为BC上的点，由AB、EF、MN、CD可组成______对异面直线；
(4)正方体ABCDA1B1C1D1中，
①与AB成异面直线的棱共______条，②与A1C成异面直线的棱共______条，③与BD成异面直线的棱共______条，④12条棱中异面直线有________对.
教学环节
问题情景
师生互动
设计意图
归纳小结，知识整合
本节课我们学习了哪些知识？请谈谈这节课你的收获.
师：引导学生梳理知识．
生．整理、归纳
总结本节课所学的知识
课后作业，巩固提高
1.习题2.1A组6.
2．补充：已知正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为C1D1、A1D1的中点，求证：四边形MNAC是梯形．
3．预习下节内容.
巩固本节课所学的知识
板书设计
§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系(第1课时)
1．平行关系
公理4
例2 例2变式题
2．空间中两直线的位置关系
设计说明
1．对例2的处理及它的变式题．
例2是公理4的一个转化，空间问题转化为平面问题．先让学生审题，弄清楚题设和结论，思考证明方法，师生共同分析，寻找证题的方法．用几何画板拖动图形，观察四边形EFGH的变化，引入变式题．通过例题及变式，达到应用公理4，巩固公理4的目的．
2．异面直线的画法
用几何画板，通过两条直线的运动操作演示，探究异面直线的画法，合情推理，得出结
论，人人动手，互相帮助，合作交流，以达到画异面直线的目的．
3．识别异面直线
课本本节探究用几何画板将同学们熟悉的正方体展开图制作成可动的图形，通过正方体——正方体展开图之间的重复操作演示过程，尝试探究，合情推理，增强印象．
点评：本节课有两个主要内容：异面直线的概念，公理4及其应用．课标对必修2立体几何的教学要求是：“直观感知——操作确认——思辨论证”．本设计中，教师能遵循从具体到抽象的原则，引导学生通过对长方体图形的观察，思考，抽象出异面直线的概念，归纳出空间两条直线的位置关系．教学中，还可以罗列一些似是而非、容易混淆的对象让学生进行辨析，比如，不妨再问学生：空间两直线不平行，那么它们的位置关系是什么等，以加深对两条直线的位置关系的认识．
对于初学者来说，立体几何入门的第一关是：学会在文字语言、符号语言、图形语言之间的相互翻译转化，其中画图是难点，也是重点．在本案例中，教师已注意到这一点：设计了一道作图练习题，让学生练习，它有利于培养学生的空间想象能力，训练学生正确地认识和描述空间图形，为后面的顺利学习奠定基础．
微信/支付宝扫码支付