教学设计
3．3.3 点到直线的距离3．3.4 两条平行直线间的距离
整体设计
教学分析
点到直线的距离是“直线与方程”这一节的重点内容，它是解决点线、线线间的距离的基础，也是研究直线与圆的位置关系的主要工具．
点到直线的距离公式的推导方法很多，可探究的题材非常丰富．除了本节课可能探究到的方法外，还有应用三角函数、应用向量等方法．因此“课程标准”对本节教学内容的要求是：“探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离．”希望通过本节课的教学，能让学生在公式的探索过程中深刻地领悟到蕴涵其中的重要的数学思想和方法，学会利用数形结合思想，化归思想和分类方法，由浅入深，由特殊到一般地研究数学问题，培养学生的发散思维．根据本节课的内容特点，学习方法为接受学习与发现学习相结合．学生的探究并不是漫无边际的探究，而是在教师引导之下的探究；教师也要提供必要的时间和空间给学生展示自己思维过程，使学生在教师和其他同学的帮助下，充分体验作为学习主体进行探索、发现和创造的乐趣．
三维目标
1．让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离．
2．引导学生构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新．培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作．
重点难点
教学重点：点到直线距离公式的推导和应用．
教学难点：对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立．
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.点P(0,5)到直线y＝2x的距离是多少？
更进一步在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为(x0，y0)，直线l的方程是Ax＋By＋C＝0，怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢？这节课我们就来专门研究这个问题．
思路2.我们已学习了两点间的距离公式，本节课我们来研究点到直线的距离．如图1，已知点P(x0，y0)和直线l：Ax＋By＋C＝0，求点P到直线l的距离(为使结论具有一般性，我们假设A、B≠0)．
图1
推进新课
新知探究
提出问题
①已知点P(x0，y0)和直线l：Ax＋By＋C＝0，求点P到直线l的距离．你最容易想到的方法是什么？各种做法的优缺点是什么？
②前面我们是在A、B均不为零的假设下推导出公式的，若A、B中有一个为零，公式是否仍然成立？
③回顾前面证法一的证明过程，同学们还有什么发现吗？(如何求两条平行线间的距离)
活动：①请学生观察上面三种特殊情形中的结论：
(ⅰ)x0＝0，y0＝0时，d＝；(ⅱ)x0≠0，y0＝0时，d＝；
(ⅲ)x0＝0，y0≠0时，d＝.
观察、类比上面三个公式，能否猜想：对任意的点P(x0，y0)，d＝？
学生应能得到猜想：d＝.
启发诱导：当点P不在特殊位置时，能否在距离不变的前提下适当移动点P到特殊位置，从而可利用前面的公式？(引导学生利用两平行线间的距离处处相等的性质，作平行线，把一般情形转化为特殊情形来处理)
证明：设过点P且与直线l平行的直线l1的方程为Ax＋By＋C1＝0，令y＝0，得P′(－，0)．∴P′到直线l的距离d＝＝.(*)
∵P在直线l1：Ax＋By＋C1＝0上，∴Ax0＋By0＋C1＝0.∴C1＝－Ax0－By0.
代入(*)得d＝，即d＝.
②可以验证，当A＝0或B＝0时，上述公式也成立．
③引导学生得到两条平行线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0的距离d＝ .
证明：设P0(x0，y0)是直线Ax＋By＋C2＝0上任一点，则点P0到直线Ax＋By＋C1＝0的距离为d＝.又Ax0＋By0＋C2＝0，即Ax0＋By0＝－C2，∴d＝.
讨论结果：①已知点P(x0，y0)和直线l：Ax＋By＋C＝0，求点P到直线l的距离公式为d＝.
②当A＝0或B＝0时，上述公式也成立．
③两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0的距离公式为d＝ .
应用示例
思路1
1求点P0(－1,2)到下列直线的距离：
(1)2x＋y－10＝0；(2)3x＝2.
解：(1)根据点到直线的距离公式得d＝＝＝2.
(2)因为直线3x＝2平行于y轴，所以d＝|－(－1)|＝.
点评：例1(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；(2)体现了求点到直线距离的灵活性，并没有局限于公式.
变式训练
点A(a,6)到直线3x－4y＝2的距离等于4，求a的值．
解：＝4⇒|3a－26|＝20⇒a＝2或a＝.
2已知点A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，求△ABC的面积．
解：设AB边上的高为h，则S△ABC＝|AB|·h.
|AB|＝＝2，
AB边上的高h就是点C到AB的距离．
AB边所在的直线方程为＝，即x＋y－4＝0.
点C到x＋y－4＝0的距离为h＝＝，
因此，S△ABC＝×2×＝5.
点评：通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性.
变式训练
求过点A(－1,2)，且与原点的距离等于的直线方程．
解：
已知直线上一点，故可设点斜式方程，再根据点到直线的距离公式，即可求出直线方程为x＋y－1＝0或7x＋y＋5＝0.
3求平行线2x－7y＋8＝0和2x－7y－6＝0的距离．
解：在直线2x－7y－6＝0上任取一点，例如取P(3,0)，则点P(3,0)到直线2x－7y＋8＝0的距离就是两平行线间的距离．因此，d＝＝＝.
点评：把求两平行线间的距离转化为点到直线的距离.
变式训练
求两平行线l1：2x＋3y－8＝0，l2：2x＋3y－10＝0的距离．
答案：.
知能训练
课本本节练习．
拓展提升
问题：已知直线l：2x－y＋1＝0和点O(0,0)、M(0,3)，试在l上找一点P，使得||PO|－|PM||的值最大，并求出这个最大值．
解：点O(0,0)关于直线l：2x－y＋1＝0的对称点为O′(－，)，
则直线MO′的方程为y－3＝x.
直线MO′与直线l：2x－y＋1＝0的交点P(－，－)即为所求，
相应的||PO|－|PM||的最大值为|MO′|＝.
课堂小结
通过本节学习，要求大家：
1．掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离．
2．构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新．培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作．
3．本节课重点讨论了平面内点到直线的距离和两条平行线之间的距离，后者实际上可作为前者的变式应用．
作业
课本习题3.3 A组9、10；B组2、4.
设计感想
对本节课的教学内容的处理，各种版本的教材的手段不尽相同．“北师大版”给出的方法是先求两条互相垂直的直线的交点坐标再计算距离，并没有推导公式的过程，重在求解过程的“流程”，而不在意运算的繁琐，有让学生感性认识“算法”的味道；“人教版”和“苏教版”思路基本相同，都是先引导学生探索和“北师大版”中的方法一样的解法，但不展现其推导过程，然后采用作辅助线构造直角三角形以简化运算的方法进行公式推导．“苏教版”还用了从具体到抽象的方法以降低思维难度．但为什么会想到要构造直角三角形，这一最需要学生探索的过程无法展现．为解决这个问题，本节课拟吸收各版本的精华，采用探究式的教学方法，通过设问、启发、铺垫，为学生搭建探究问题的平台，让学生在问题情境中，自己去观察、归纳、猜想并证明公式，经历数学建模的过程，在自主探究、合作交流中获得知识，在多角度、多方面的解决问题中，使不同层次的学生都能有所收获与发展．根据本节课的内容特点，学习方法为接受学习与发现学习相结合．学生的探究并不是漫无边际的探究，而是在教师引导之下的探究；教师也要提供必要的时间和空间给学生展示自己思维过程，使学生在教师和其他同学的帮助下，充分体验作为学习主体进行探索、发现和创造的乐趣．
备课资料
备用习题
1．求直线2x＋11y＋16＝0关于点P(0,1)对称的直线方程．
分析：中心对称的两条直线是互相平行的，并且这两条直线与对称中心的距离相等．
解：设所求直线方程为2x＋11y＋C＝0，则＝⇒C＝16(已知直线)或C＝－38.∴所求直线为2x＋11y－38＝0.
2．已知正方形ABCD的相对顶点A(0，－1)和C(2,5)，求顶点B和D的坐标．
答案：B(4,1)，D(－2,3)．
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