教学设计
4．1.1 圆的标准方程
作者：武小鹏
整体设计
一、教学背景分析
1．教材结构分析
圆是学生比较熟悉的一类曲线，而且是一种对称、和谐的图形，具有很多优美的几何性质．本节内容首先通过圆的定义，求解圆的标准方程，进而变化出圆的一般方程，其次运用代数的方法探讨直线与圆，圆与圆的位置关系，进一步提高学生对解析几何问题研究方法的深入理解．
2．教材地位与作用
圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用．本节内容安排在学生学习直线方程之后，旨在更加深刻的体会曲线和方程的关系，为后继学习做好准备．同时有关圆的问题，特别是圆和直线的位置关系问题，是解析几何的基本问题．这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法．圆的方程也属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后继直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有积极的意义．所以本节内容在解析几何中起着承前启后的作用．
3．学情分析
学生在初中已经学习了圆的概念和基本性质，在高中又掌握了求直线方程的一般方法，但由于学生以往注重从几何的角度理解圆的性质，而且学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，尚未建立牢固的数形结合的思想，对于解析法运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难．另外学生在探索问题的能力，合作交流的意识等方面有待加强．
4.教学目标
(1)知识目标：①在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；
②会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程．
(2)能力目标：①进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力；
②使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解；
③增强学生用数学的意识．
(3)情感目标：培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣．
5．教学重点、难点
(1)教学重点：圆的标准方程的求法及其应用．
(2)教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程以及选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题．
二、教法分析
高一学生，在教师的引导下，已经具备一定探究与研究问题的能力．所以在设计问题时应考虑全面性和灵活性，采用对比、启发、探究等方式，师生共同探讨，共同参与、共同研究，让学生积极思考，主动学习．
在教学过程中采取小组讨论法，向学生提供具备启发性和思考性的问题．因此，要求学生在课堂上小组讨论，然后小组汇报讨论成果，提高学生的探究、推理、想象、表达、分析和总结归纳等方面的能力．
因为本节课是在学生对圆的基本性质认识的基础上，再对圆进行代数研究．针对学生的学习过程、认知水平，在遵循参与式教学的基础上，调动全班学生积极参与，认真思考，努力体现学生学习的主体性地位．在学习过程中让学生积极思考，动手计算，不仅在“思维中参与”而且在“行动中参与”，养成主动性的学习习惯．
三、学法分析
为了重点培养学生分析问题、解决问题的能力．因此，要求学生在学习中遇到问题时，不要急于求成，而是通过求圆的标准方程，理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆．通过推导圆的标准方程，加深用解析法求轨迹方程的理解．还要会根据问题提供的信息回忆所学知识，采用转化思想、数形结合的思想，选择最佳方案解决．
四、教学基本流程及其说明
结合教材与新课程标准本节课采用以下流程
(一)、教师在理解教材的编写意图的基础上，应发挥主观能动性，对教材资源进行再加工、再创造，这样教学方法更有利于学生的认知结构，也有利于学生从深层次理解和掌握圆的标准方程．
(二)、在整个教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机结合起来，教师的每项措施都是力求给学生创造一种思维情境，动手、动脑、动口并且主动参与学习的机会，激发学生求知欲望，促使学生在不知不觉中掌握知识，解决问题．
(三)、培养思维，提高能力，激励创新
在问题的设计中，利用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生注意，
使能力与知识的形成相伴而行．
五、教学情境设计
环节
参与式问题设计
设计意图
师生参与
活动设计
创设情境启迪思维
问题一：初中圆是怎么定义的，确定圆需要什么条件，在平面直角坐标系中，确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角，那么，决定圆的条件是什么？
让学生明确确定圆的两要素：半径、圆心；圆在坐标系中怎么确定.
学生以小组为单位，每小组4－6人，选出组长、首要发言人，记录员、计时员等，在组长的协调之下有组织的参与讨论，各小组讨论完毕后，在教师的组织下小组间进行成果汇报．在小组讨论时，教师作为引导者和参与者
深入探究获得新知
问题二：圆心在原点，半径为r的圆的方程是什么，你是怎样得到的？
引导学生推导圆的标准方程，进一步让学生理解曲线轨迹的含义．
问题三：根据问题二圆心在(a，b)，半径为r时方程应该如何表示，你能否根据圆的标准方程直接得到圆心坐标和半径？
培养学生由特殊到一般的思维过程，从而更深入理解圆的标准方程.
应用举加深理解
问题四：
1．写出下列各圆的方程
(1)圆心在原点，半径为3；
(2)圆心在C(3,4)，半径为；
(3)经过点P(5,1)，圆心在点C(8，－3)．
2．根据圆的方程写出圆心和半径
(1)(x－2)2＋(y－3)2＝5；
(2)(x＋2)2＋y2＝(－2)2.
通过简单的直接应用圆的标准方程的题目，熟练掌握圆的标准方程，能根据标准方程找出圆心和半径．
反馈训练形成方法
问题五：
1．已知点A(－4，－5)，B(6，－1)，求以AB为直径的圆的方程．
2．求圆心为(2,1)点，与直线3x＋4y＋5＝0相切的圆的标准方程？
通过变式训练，进一步加深理解圆的标准方程，训练学生用解析几何解决问题的能力
小结反思拓展引申
(1)圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，当圆心在原点时，圆的标准方程为：x2＋y2＝r2.
(2)求圆的标准方程的方法：找出圆心和半径；
(3)求曲线方程的一般步骤．
第一步：建立坐标系，用坐标表示有关量；
第二步：进行有关代数运算；
第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何关系.
分层作业激发新疑
A：巩固型作业：习题4.11、2.
B：思维拓展型作业：
1．直径的端点是A(x1，y1)、B(x2，y2)的圆的方程是__________．
2．把圆的标准方程展开后是什么形式？
3．方程：x2＋y2－6x＋8y＋20＝0的曲线是什么图形？
六、教学设计说明
圆是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，因此这节课的重点确定为用解析法研究圆的标准方程及其简单应用．首先，在已有圆的定义和求曲线方程的一般步骤的基础上，用实际问题引导学生探究获得圆的标准方程，然后，利用圆的标准方程由浅入深的解决问题，并通过圆的方程在实际问题中的应用，增强学生用数学的意识．另外，为了培养学生的理性思维，设计了由特殊到一般的学习思路，培养学生的归纳概括能力．在问题的设计中，用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生有意注意，能力与知识的形成相伴而行，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成．
本节课设计了六个环节，以问题为纽带，以探究活动为载体，使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入，充分体现以教师为主导，以学生为主体的指导思想．应用启发式的教学方法把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程，在解决问题的同时锻炼了思维、提高了能力、培养了兴趣、增强了信心．
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