教学设计
4．2.3 直线与圆的方程的应用
作者：路致芳
整体设计
教学分析
直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用．本小节设置了一些例题，分别说明直线与圆的方程在实际生活中的应用，以及用坐标法研究几何问题的基本思想及其解题过程．
三维目标
(1)理解直线与圆的位置关系的几何性质；
(2)利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
(3)会用“数形结合”的数学思想解决问题．让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力．
重点难点
教学重点：求圆的应用性问题．
教学难点：直线与圆的方程的应用．
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.如图1，某城市中的高空观览车的高度是100 m，在离观览车约150 m处有一建筑物，某人在离建筑物100 m的地方刚好可以看到观览车，你根据上述数据，如何求出该建筑物的高度？要解决这个问题，我们继续研究直线与圆的方程的应用，教师板书课题：直线与圆的方程的应用．
图1
思路2.同学们，前面我们学习了圆的方程、直线与圆的位置关系、圆和圆的位置关系，那么如何利用这些关系来解决一些问题，怎样解决？带着这些问题我们学习直线与圆的方程
的应用．教师板书课题：直线与圆的方程的应用．
推进新课
新知探究
提出问题
①你能说出直线与圆的位置关系吗？
②解决直线与圆的位置关系，你将采用什么方法？
③阅读并思考教科书上的例4， 你将选择什么方法解决例4的问题？
④你能分析一下确定一个圆的方程的要点吗？
⑤你能利用“坐标法”解决例5吗？
活动：学生回忆，教师引导，教师提问，学生回答，学生之间可以相互交流讨论，学生有困难教师点拨．教师引导学生考虑解决问题的思路，要全面考虑，发散思维．①学生回顾学习的直线与圆的位置关系的种类；②解决直线与圆的位置关系，可以采取两种方法；③首先考虑问题的实际意义，如果本题出在初中，我们没有考虑的余地，只有几何法，在这里当然可以考虑用坐标法，两种方法比较可知哪个简单；④回顾圆的定义可知确定一个圆的方程的条件；⑤利用“坐标法”解决问题的关键是建立适当的坐标系，再利用代数与几何元素的相互转化得到结论．
讨论结果：①直线与圆的位置关系有三类：相交、相切、相离．
②解决直线与圆的位置关系，将采用代数和几何两种方法，多数情况下采用圆心到直线的距离与半径的关系来解决．
③阅读并思考教科书上的例4，先用代数方法及坐标法，再用几何法，作一比较．
④你能分析一下确定一个圆的方程的要点，圆心坐标和半径，有时关于D、E、F的三个独立的条件也可．
⑤建立适当的坐标系，具体解法我们在例题中展开．
应用示例
思路1
1讲解课本4.2节例4，解法一见课本．
解法二：如图2，过P2作P2H⊥OP.由已知，|OP|＝4，|OA|＝10.
在Rt△AOC中，有|CA|2＝|CO|2＋|OA|2，设拱圆所在的圆的半径为r，则有r2＝(r－4)2＋102.解得r＝14.5.
图2
在Rt△CP2H中，有|CP2|2＝|CH|2＋|P2H|2.因为|P2H|＝|OA2|＝2，于是有|CH|2＝r2－|OA2|2＝
14.52－4＝206.25.又|OC|＝14.5－4＝10.5，于是有|OH|＝|CH|－|CO|＝－10.5≈14.36－10.5＝3.86.所以支柱A2P2的长度约为3.86 cm.
点评：通过课本解法我们总结利用坐标法解决几何问题的步骤是：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.
变式训练
已知圆内接四边形的对角线互相垂直，求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半．
图3
解：如图3，以四边形ABCD互相垂直的对角线CA、DB所在直线分别为x轴、y轴，建立适当的平面直角坐标系，设A(a,0)，B(0，b)，C(c,0)，D(0，d)．过四边形ABCD的外接圆的圆心O1分别作AC、BD、AD的垂线，垂足分别为M、N、E，则M、N、E分别为线段AC、BD、AD的中点，由线段的中点坐标公式，得xO1＝xM＝，yO1＝yN＝，xE＝，yE＝.
所以|O1E|＝＝.
又|BC|＝，所以|O1E|＝|BC|.
点评：用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素、点、直线、圆．将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算解决代数问题，最后解释代数运算结果的几何意义，得到几何问题的结论.
2有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后回运的运费是：每单位距离A地的运费是B地运费的3倍，已知A、B两地相距10 km，居民选择A或B地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．
活动：学生先审题，然后思考或讨论，学生有困难教师可以提示引导，建立适当的坐标系，这里以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系较简单，假设一点距A地近，且费用低，列方程或不等式．
解：以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系，则A(－5,0)，
B(5,0)．设某地P的坐标为(x，y)，且P地居民选择A地购买商品的费用较低，并设A地的运费为3a元/km，则B地运费为a元/km.由于P地居民购买商品的总费用满足条件：价格＋A地运费≤价格＋B地运费，即3a≤a，整理得(x＋)2＋y2≤()2.
所以以点C(－，0)为圆心，为半径的圆就是两地居民购货的分界线．圆内的居民从A地购货费用较低，圆外的居民从B地购货费用较低，圆上的居民从A、B两地购货的总费用相等，因此可以随意从A、B两地之一购货．
点评：在学习中要注意联系实际，重视数学在生产、生活和相关学科中的应用，解决有关实际问题时，关键要明确题意，掌握建立数学模型的基本方法．
思路2
1求通过直线2x－y＋3＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，且面积最小的圆的方程．
活动：学生思考或交流，教师提示引导，求圆的方程无非有两种方法：代数法和几何法．
解法一：利用过两曲线交点的曲线系．
设圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x－y＋3)＝0，
配方得标准式(x＋1＋λ)2＋(y－2－)2＝(1＋λ)2＋(2＋)2－3λ－1.
∵r2＝λ2＋λ＋4＝(λ＋)2＋，
∴当λ＝－时，半径r＝最小．
∴所求面积最小的圆的方程为5x2＋5y2＋6x－18y－1＝0.
解法二：利用平面几何知识．
以直线与圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)连线为直径的圆符合要求．
由消去y，得5x2＋6x－2＝0.
∴判别式Δ>0，AB中点横坐标x0＝＝－，纵坐标y0＝2x0＋3＝，
即圆心O′(－，)．
又半径r＝|x1－x2|·＝，
∴所求面积最小的圆的方程是(x＋)2＋(y－)2＝.
点评：要熟练地进行圆的一般式与标准式之间的互化，这里配方法十分重要，方法二用到求弦长的公式|AB|＝|x1－x2|·；对于圆的弦长，还可以利用勾股定理求得，即|AB|＝2
eq \r(r2－d2)，其中r为圆半径，d为圆心到弦的距离.
变式训练
设圆满足：①截y轴所得弦长为2，②被x轴分成两段弧，弧长之比为3∶1，在满足条件①②的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y＝0的距离最小的圆的方程．
图4
解：关键确定圆心坐标和半径．如图4.
设圆心A(a，b)，则半径r＝|b|.
由截y轴的弦长为2，知a2＋1＝r2＝2b2，
又圆心A到l的距离d＝|a－2b|，
∴5d2＝a2＋4b2－4ab≥a2＋4b2－2(a2＋b2)＝2b2－a2＝1，当且仅当a＝b时等号成立．
这里由解得或
∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2或(x＋1)2＋(y＋1)2＝2.
2已知x，y是实数，且x2＋y2－4x－6y＋12＝0，求(1)的最值；(2)x2＋y2的最值；(3)x＋y的最值；(4)x－y的最值．
活动：学生思考或交流，教师引导，数形结合，将代数式或方程赋予几何意义．
解：(x－2)2＋(y－3)2＝1表示以点C(2,3)为圆心，1为半径的圆．
(1)表示圆C上的点P(x，y)与坐标原点O(0,0)连线的斜率k，
故当y＝kx为圆C的切线时，k得最值．
∵＝1，
∴k＝2±.
∴的最大值为2＋，最小值为2－.
(2)设x2＋y2表示圆C上的点P(x，y)与坐标原点O(0,0)连接的线段长的平方，故由平面几何知识，知当P为直线OC与圆C的两交点P1、P2时，|OP1|2与|OP2|2分别为|OP|2的最大值、最小值．
∴x2＋y2的最大值为(＋1)2＝14＋2，
最小值为(－1)2＝14－2.
(3)令x＋y＝m.
当直线l：x＋y＝m与圆C相切时，l在y轴上的截距m取得最值．
∵＝1，
∴m＝5±.
∴x＋y的最大值为5＋，最小值为5－.
(4)令x－y＝n.
当直线l′：x－y＝n与圆C相切时，l′在y轴上截距的相反数n取得最值．
∵＝1，∴n＝－1±.
∴x－y的最大值为－1＋，最小值为－1－.
点评：从“数”中认识“形”，从“形”中认识“数”，数形结合相互转化是数学思维的基本方法之一．“数学是一个有机的统一体，它的生命力的一个必要条件是所有的各个部分不可分离地结合．”(希尔伯特)数形结合的思维能力不仅是中学生的数学能力、数学素养的主要标志之一，而且也是学习高等数学和现代数学的基本能力．本题是利用直线和圆的知识求最值的典型题目．
3已知圆O的方程为x2＋y2＝9，求过点A(1,2)所作的弦的中点的轨迹．
活动：学生回想求轨迹方程的方法与步骤，思考讨论，教师适时点拨提示，本题可利用平面几何的知识．
解法一：参数法(常规方法)
当k存在时，设过A的弦所在的直线方程为y－2＝k(x－1)，联立方程组消去y，得(1＋k2)x2＋2k(2－k)x＋k2－4k－5＝0.
∴x1＋x2＝.
设弦的中点为P(x，y)，利用中点坐标公式及中点在直线上，
得(k为参数)．
∴消去k得P点的轨迹方程为x2＋y2－x－2y＝0，当k不存在时，中点P(1,0)的坐标也适合方程．
∴P的轨迹是以点(，1)为圆心，为半径的圆．
解法二：代点法(涉及中点问题可考虑此法)
设过点A的弦MN，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
∵M、N在圆O上，∴
∴相减得(x1＋x2)＋·(y1＋y2)＝0(x1≠x2)．
设P(x，y)，则x＝，y＝.
∴M、N、P、A四点共线，＝(x≠1)．
∴2x＋·2y＝0.
∴中点P的轨迹方程是x2＋y2－x－2y＝0(x＝1时亦正确)．
∴点P的轨迹是以点(，1)为圆心，为半径的圆．
解法三：数形结合(利用平面几何知识)
由垂径定理知OP⊥PA，故P点的轨迹是以AO为直径的圆．(下略)
点评：本题涉及求轨迹方程的三种间接方法．思路一，代表了解析几何的基本思路和基本方法，即消去y(或x)，得关于x(或y)的一元二次方程Ax2＋Bx＋C＝0，再利用求根公式、判别式、韦达定理等得解．思路二，又叫平方差法，要求弦的中点的轨迹方程时，用此法比较简便．基本思路是利用弦的两个端点M(x1，y1)、N(x2，y2)在已知曲线上，将点的坐标代入已知方程然后相减，利用平方差公式可得x1＋x2、y1＋y2、x1－x2、y1－y2等．再由弦MN的中点P(x，y)的坐标满足x＝，y＝，以及直线MN的斜率k＝(x1≠x2)等，设法消去x1、x2、y1、y2，即可得弦MN的中点P的轨迹方程．用此法对斜率不存在的情况，要单独讨论．思路三，数形结合，利用平面几何知识等，有时能使求解过程变得非常简洁．
学好解析几何，要掌握特点，注意四个结合：
①数形结合：形不离数，数不离形，依形判断，就数论形；
②动静结合：动中有静，静中有动，几何条件——曲线方程——图形性质；
③特殊与一般结合：一般性寓于特殊性之中，特殊化与一般化是重要的数学思维方法；
④理论与实际结合：学以致用，创造开拓．
知能训练
课本本节练习1、2、3、4.
拓展提升
某种体育比赛的规则是：进攻队员与防守队员均在安全线l的垂线AC上(C为垂足)，且距C分别为2a和a(a＞0)的点A和B，进攻队员沿直线AD向安全线跑动，防守队员沿直线方向向前拦截，设AD和BM交于M，若在M点，防守队员比进攻队员先到或同时到，则进攻队员失败，已知进攻队员的速度是防守队员速度的两倍，且他们双方速度不变，问进攻队员的路线AD应为什么方向才能取胜？
解：如图5，以l为x轴，C为原点建立直角坐标系，设防守队员速度为v，则进攻队员速度为2v，设点M坐标为(x，y)，进攻队员与防守队员跑到点M所需时间分别为t1＝，t2＝
.
图5
若t1＜t2，则|AM|
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