6.4 数据的离散程度
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1.了解极差的意义,掌握极差的计算方法;
2.理解方差、标准差的意义,会用样本方差、标准差估计总体的方差、标准差.(重点、难点)
一、情境导入
从图中我们可以算出甲、乙两人射中的环数都是70环,但教练还是选择乙运动员参赛.
问题1:从数学角度,你知道为什么教练员选乙运动员参赛吗?
问题2:你在现实生活中遇到过类似情况吗?
二、合作探究
探究点一:极差
欢欢写了一组数据:9.5,9,8.5,8,7.5,这组数据的极差是( )
A.0.5 B.8.5 C.2.5 D.2
解析:这组数据的最大值是9.5,最小值是7.5,因此这组数据的极差是:9.5-7.5=2.故选D.
方法总结:要计算一组数据的极差,找出最大值与最小值是关键.
探究点二:方差、标准差
【类型一】 方差和标准差的计算
求数据7,6,8,8,5,9,7,7,6,7的方差和标准差.
解析:一组数据的方差计算有两个常用的简化公式:(1)s2=[(x+x+…+x)-nx2];(2)s2=[(x1′2+x2′2+…+xn′2)-nx′2],其中x1′=x1-a,x2′=x2-a,…,xn′=xn-a,a是接近原数据平均数的一个常数,x′是x1′,x2′,…,xn′的平均数.
解:方法一:因为x=(7×4+6×2+8×2+5+9)=7,所以s2=[(7-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(8-7)2+(5-7)2+(9-7)2+(7-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(7-7)2]=1.2.
所以标准差s=.
方法二:同方法一,所以s2=[(72+62+82+82+52+92+72+72+62+72)-10×72]=1.2,标准差s=.
方法三:将各数据减7,得新数据:0,-1,1,1,-2,2,0,0,-1,0.而x′=0,所以s2=[02+(-1)2+12+12+(-2)2+22+02+02+(-1)2+02-10×02]=1.2.所以标准差s=.
方法总结:计算一组数据的方差和标准差的步骤:先计算该组数据的平均数(或需加减的数值),然后按方差(或标准差)的计算公式计算.
【类型二】 方差和标准差的应用
在一次女子排球比赛中,甲、乙两队参赛选手的年龄(单位:岁)如下:
甲队:26,25,28,28,24,28,26,28,27,29;
乙队:28
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,27,25,28,27,26,28,27,27,26.
(1)两队参赛选手的平均年龄分别是多少?
(2)利用标准差比较说明两队参赛选手年龄波动的情况.
解析:先求出两队参赛选手年龄的平均值,再由标准差的定义求出s甲与s乙,最后比较大小并作出判断.
解:(1)x甲=×(26+25+28+28+24+28+26+28+27+29)=26.9(岁),
x乙=×(28+27+25+28+27+26+28+27+27+26)=26.9(岁).
(2)s=×[(26-26.9)2+(25-26.9)2+…+(29-26.9)2]=2.29,
s=×[(28-26.9)2+(27-26.9)2+…+(26-26.9)2]=0.89.
所以s甲=≈1.51,
s乙=≈0.94,
因为s甲>s乙,
所以甲队参赛选手年龄波动比乙队大.
方法总结:求标准差时,应先求出方差,然后取其算术平方根.标准差越大(小)其数据波动越大(小).
【类型三】 统计量的综合应用
甲、乙两支篮球队在集训期内进行了五场比赛,将比赛成绩进行统计后,绘制成图(a)、(b)所示的统计图.
(1)在图(b)中画出折线表示乙队在集训期内这五场比赛成绩的变化情况.
(2)已知甲队五场比赛成绩的平均分x甲=90分,请你计算乙队五场比赛成绩的平均分x乙.
(3)就这五场比赛,分别计算两队成绩的方差.
(4)如果从甲、乙两队中选派一支球队参加篮球锦标赛,你认为选派哪支球队参赛更能取得好成绩?
解析:第(4)题可根据第(1)(2)(3)题的结果,从平均分、折线的走势、获胜场数和方差四个方面分别进行简要分析.
解:(1)如图所示.
(2)x乙=(110+90+83+87+80)=90(分).
(3)甲队成绩的方差s=[(80-90)2+(86-90)2+(95-90)2+(91-90)2+(98-90)2]=41.2;乙队成绩的方差s=[(110-90)2+(90-90)2+(83-90)2+(87-90)2+(80-90)2]=111.6.
(4)从平均分看,两队
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的平均分相同,实力大体相当;从折线的走势看,甲队比赛成绩呈上升趋势,而乙队比赛成绩呈下降趋势;从获胜场数看,甲队胜三场,乙队胜两场,甲队成绩较好;从方差看,甲队比赛成绩比乙队比赛成绩波动小,甲队成绩较稳定.综上所述,选派甲队参赛更能取得好成绩.
方法总结:本题是反映数据集中程度与离散程度的综合题.从图形中得到两队的成绩,然后从平均数、方差的角度来考虑,在平均数相同的情况下,方差越小的越稳定.
三、板书设计
经历表示数据离散程度的几个量的探索过程,通过实例体会用样本估计总体的统计思想,培养学生的数学应用能力.通过小组合作,培养学生的合作意识;通过解决实际问题,让学生体会数学与生活的密切联系.
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