7．4 平行线的性质
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1．理解并掌握平行线的性质公理和定理；(重点)
2．能熟练运用平行线的性质进行简单的推理证明．(重点)
一、情境导入
一条公路两次拐弯后和原来的方向相同，第一次拐的角度∠B是130°，第二次拐的角度∠C是多少度？
二、合作探究
探究点一：平行线的性质定理1
如图，在△ABC中，点D、E、F分别为BC、AB、AC上的点，DE∥AC且DF∥AB.求证：∠BED＝∠CFD.
解析：由DE∥AC可知∠BED＝∠A，由DF∥AB可知∠CFD＝∠A，从而可得∠BED＝∠CFD.
证明：∵DE∥AC(已知)，∴∠BED＝∠A(两直线平行，同位角相等)．∵DF∥AB(已知)，∴∠CFD＝∠A(两直线平行，同位角相等)．∴∠BED＝∠CFD(等量代换)．
方法总结：在已知两直线平行的前提下，若要求证的两角不是平行线被第三条直线所截得的角，就要借助一个中间量，将两者联系起来．
探究点二：平行线的性质定理2
如图，已知∠B＝∠C，AE∥BC，说明AE平分∠CAD.
解析：要说明AE平分∠CAD，即∠DAE＝∠CAE.由于AE∥BC，根据平行线性质定理1和性质定理2可知∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠C.由∠B＝∠C即可得证．
解：∵AE∥BC(已知)，
∴∠DAE＝∠B(两直线平行，同位角相等)，
∠EAC＝∠C(两直线平行，内错角相等)．
∵∠B＝∠C(已知)，
∴∠DAE＝∠EAC(等量代换)，
∴AE平分∠CAD.
方法总结：单独考平行线某一性质的题很少，通常都是平行线的性质与其他知识的综合运用．
探究点三：平行线的性质定理3
如图，已知DA⊥AB，CB⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，试说明DE⊥CE.
解析：要证DE⊥CE，即∠DEC＝90°.需证∠1＋∠2＝90°.由DE、CE分别平分∠ADC、∠BCD，则需证∠ADC＋∠BCD＝180°，从而需证AD∥BC.
解：∵DA⊥AB，CB⊥AB，∴AD∥BC(垂直于同一直线的两直线平行)，∴∠ADC＋∠BCD＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，∴∠1＝∠ADC，∠2＝∠BCD.∴∠1＋∠2＝×180°＝90°，∴∠DEC＝90°，即DE⊥CE.
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方法总结：平行线与角的大小关系、直线的位置关系是紧密联系在一起的．由两直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系，从而得到相应角的度数．
探究点四：平行于同一条直线的两直线平行
如图所示，AB∥CD.求证：∠B＋∠BED＋∠D＝360°.
解析：证明本题的关键是如何使平行线与要证的角发生联系，显然需作出辅助线，沟通已知和结论．已知AB∥CD，但没有一条直线既与AB相交，又与CD相交，所以需要作辅助线构造同位角、内错角或同旁内角，但是又要保证原有条件和结论的完整性，所以需要过点E作AB的平行线．
证明：如图所示，过点E作EF∥AB，则有∠B＋∠BEF＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．又∵AB∥CD(已知)，∴EF∥CD(如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)，∴∠FED＋∠D＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∴∠B＋∠BEF＋∠FED＋∠D＝180°＋180°(等式的性质)，即∠B＋∠BED＋∠D＝360°.
方法总结：过一点作一条直线或线段的平行线是我们常作的辅助线．
三、板书设计
平行线的性质
从简单的几何证明(平行线的判定与性质)入手，逐步形成一个更为清晰的证明思路，进一步理解和总结证明的步骤、格式、方法．了解两定理在条件和结构上的区别，体会正逆的思维过程. 进一步发展学生的推理能力，培养学生的逻辑思维能力．
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