3.5 相似三角形的应用
教学目标
【知识与技能】
能运用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题.
【过程与方法】
通过例题的教学，让学生掌握解决实际问题的方法.
【情感态度】
进一步检验数学的应用价值.
【教学重点】
运用相似三角形的性质解决简单的实际问题.
【教学难点】
运用相似三角形的性质解决简单的实际问题.
教学过程
一、情景导入，初步认知
我们已经学习的相似三角形的性质有哪些？
1.相似三角形对应角相等.
2.相似三角形对应边成比例.
3.相似三角形的周长之比等于相似比.
4.相似三角形的面积之比等于相似比的平方.
5.相似三角形对应边上的高线之比、对应边上中线之比、对应角平分线之比等于相似比.
思考：你能够将上面的数学问题转化为生活中的问题吗？
【教学说明】复习相似三角形的性质，为本节课的教学作铺垫.
二、思考探究，获取新知
1.思考：如图，A,B两点分别位于一个池塘的两端.小张想测量出A,B间的距离.但由于受条件限制无法直接测量.你能帮他想出一个可以的测量办法吗？
5
【教学说明】由于我们学过三角形的全等，可能有一部分学生会用全等的知识来解决，应当鼓励.并引导学生思考能否用相似的知识来解决这个问题呢.
我们可以这样做：
如图，在池塘外取一点C,使它可以直接看到A,B两点，连接并延长AC,BC,在AC的延长线上取一点D,在BC的延长线上取一点E,使=k(k为整数）测量出DE的长度后，就可以用相似三角形的有关知识求出A,B两点间的距离了.
2.根据上面的分析，写出当k=2,DE=50米时，AB的长，并写出解题过程.
3.在用步枪瞄准靶心时，要使眼睛O，准星A，靶心B在同一条直线上，在射击时，李明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A′.如图所示，已知OA=0.2米，OB=50米，AA′=0.0005米，求李明射击到的点B′偏离靶心B的长度BB′.（AA′∥BB′）
解：∵AA′∥BB′,
∴△OAA′∽△OBB′,
∵OA=0.2米，OB=50米，AA′=0.0005米
∴BB′=0.125米.
【教学说明】鼓励学生大胆的发言，积极讨论，教师作适当的引导、点评.
5
三、运用新知，深化理解
1.（1）某一时刻树的影长为8米,同一时刻身高为1.5米的人的影长为3米,则树高___米.
（2）铁道的栏杆的短臂为OA=1米，长臂OB=10米，短臂端下降AC=0.6米，则长臂端上升BD=___米.
【答案】 （1）4（2）6
2.如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA∶OC=OB∶OD=n，且量得CD=b，求厚度x.
分析：如图，要想求厚度x，根据条件可知，首先得求出内孔直径AB.而在图中可构造出相似形，通过相似形的性质，从而求出AB的长度.
解：∵ OA∶OC＝OB∶OD＝n 且∠AOB＝∠COD;
∴△AOB∽△COD.
∴ OA∶OC＝AB∶CD＝n 又∵CD＝b,
∴AB=CD·n ＝nb,
3.如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
5
解：设正方形PQMN是符合要求的，△ABC的高AD与PN相交于点E.
设正方形PQMN的边长为x毫米.
因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC
所以
因此得x=48（毫米）.
答：这个正方形零件的边长是48毫米.
4.如图是步枪在瞄准时的示意图，从眼睛到准星的距离OE为80cm，步枪上的准星宽度AB为0.2cm，目标的正面宽度CD为50cm，则眼睛到目标的距离OF是多少？
分析：设眼睛到目标的距离为xcm，由于OE=80cm，AB=0.2cm，CD=50cm，又由于AB∥CD，所以利用相似三角形的性质即可求解．
解：设眼睛到目标的距离为xcm，
∵OE=80cm，AB=0.2cm，CD=50cm，
∴BE=AB=0.1cm，DF=CD=25cm，
∵AB∥CD，
∴△OBE∽△ODF，
解得x=20000．
因为20000cm=200m,
所以眼睛到目标的距离OF是200m.
【教学说明】通过练习，使学生掌握利用相似三角形解决实际问题的方法.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
5
课后作业
布置作业：教材P93“习题3.5”中第2、3、5 题.
教学反思
本节课学生在富有故事性和现实性的数学情景问题中学会运用两个三角形相似解决实际问题，在解决实际问题中经历从实际问题到建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力.在教学中突出了“审题，画示意图 ，明确数量关系解决问题”的数学建模过程，培养了学生把生活中的实际问题转化为数学问题的能力，利用图形的相似解决一些实际问题（如利用相似测量旗杆的高度）.测量某些不能直接度量的物体的高度，是综合运用相似知识的良好机会，通过本节知识的学习，可以使学生综合运用三角形相似的判定和性质解决问题，发展学生的应用意识，加深学生对于相似三角形的理解和认识.一节课下来基本达到了预期目标，大部分学生都学会了建立数学模型，利用相似的判定和性质来解决实际问题.
5
微信/支付宝扫码支付