1.1.3 解三角形的进一步讨论
项目
内容
课题
1.1.3 解三角形的进一步讨论（共 1 课时）
修改与创新
教学
目标
一、知识与技能
1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
2.三角形各种形状的判定方法；
3.三角形面积定理的应用．
二、过程与方法
通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题．
三、情感态度与价值观
通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系．
教学重、
难点
教学重点
1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
2.三角形各种形状的判定方法；
3.三角形面积定理的应用．
教学难点
1.利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向;
2.三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求；
3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用．
教学
投影仪、幻灯片
第一张:课题引入图片(记作1．1．3A)
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准备
正弦定理:；
余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC，
, ,.
第二张:例3、例4(记作1．1．3B)
[例3]已知△ABC, BD为角B的平分线,求证: AB∶BC＝AD∶DC.
[例4]在△ABC中,求证:a2sin2B+b2sin2A=2absinC.
第三张:例5(记作1．1．3C)
[例5]在△ABC中,bcosA=acosB,试判断三角形的形状.
教学过程
导入新课
师 前面两节课,我们一起学习了正弦定理、余弦定理的内容,并且接触了利用正、余弦定理解三角形的有关题型.下面,我们先来回顾一下正、余弦定理的内容 (给出幻灯片1.1.3A).从幻灯片大体可以看出,正弦定理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关系,运用定理可以进行边与角之间的转换,这一节,我们将通过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换功能在判断三角形形状和证明三角恒等式时的应用.
推进新课
思考：在△ABC中，已知A=22cm，B=25cm,A=133°，解三角形．（由学生阅读课本第9页解答过程）
从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形．下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题．
【例1】在△ABC中，已知A,B,A，讨论三角形解的情况.
师 分析：先由可进一步求出B；则C =180°-(A+B),从而.
一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况．
1.当A为钝角或直角时，必须a＞b才能有且只有一解；否则无解．
2.当A为锐角时，
如果a≥b，那么只有一解；
如果a＜b，那么可以分下面三种情况来讨论：
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（1）若a＞bsinA，则有两解；
（2）若a=bsinA，则只有一解；
（3）若a＜bsinA，则无解．
（以上解答过程详见课本第9到第10页）
师 注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且bsinA＜a＜b时，有两解；其他情况时则只有一解或无解．
（1）A为直角或钝角
（2）A为锐角
【例2】在△ABC中，已知a =7,b=5,c =3，判断△ABC的类型．
分析：由余弦定理可知
a2=b2+c2A是直角△ABC是直角三角形，
a2＞b2+c2A是钝角△ABC是钝角三角形，
a2＜b2+cA是锐角/△ABC是锐角三角形。
（注意：A是锐角/ △ABC是锐角三角形 ）
解：∵72＞52+32,即a2＞b2+c2，
∴△ABC是钝角三角形．
[教师精讲]
1．利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题．
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
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②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
2．正弦定理，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形中边角关系转化．例如：在判断三角形形状时，经常把a、b、c分别用2RsinA、2RsinB、2RsinC来代替．
3.余弦定理的主要作用一是解三角形，二是判断三角形的形状，它的主要功能是实现边角之间的转化．
（1）已知三边，求三个角．
（2）已知两边和夹角，求第三边和其他两角．
4．用方程的思想理解和运用余弦定理，当等式a2=b2+c2-2bccosA中含有未知数时，这便成为方程，式中有四个量，知道三个，便可以解出另一个，运用此式可以求A或B或C或cosA．
师 下面,我们来看幻灯片上的例题.(给出幻灯片1.1.3B)
［例题剖析］
【例3】分析：前面接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题,而角B的平分线BD将△ABC分成了两个三角形：△ABD与△CBD,故要证结论成立,可证明它的等价形式: AB∶BC＝AD∶DC,从而把问题转化到两个三角形内,而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比,故可利用正弦定理将所证继续转化为,再根据相等角正弦值相等,互补角正弦值也相等即可证明结论.
证明:在△ABD内,利用正弦定理得,即,
在△BCD内,利用正弦定理得,即,
∵BD是角B的平分线,∴∠ABD=∠DBC
∴sin∠ABD=sin∠DBC.
∵∠ADB+∠BDC=180°,
∴sin∠ADB=sin(180°-∠BDC)=sin∠BDC.
∴.
∴.
评述:此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系,并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用.
［例题剖析］
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【例4】分析:此题所证结论包含关于△ABC的边角关系,证明时可以考虑两种途径:一是把角的关系通过正弦定理转化为边的关系,若是余弦形式则通过余弦定理;二是把边的关系转化为角的关系,一般是通过正弦定理.
另外,此题要求学生熟悉相关的三角函数的有关公式,如sin2B=2sinbcosB
等,以便在化为角的关系时进行三角函数式的恒等变形.
证明一: (化为三角函数)
a2sin2B+b2sin2A=(2RsinA)2·2sinB·COsB+(2RsinB)2·2sinA·cosA=8R2sinA·sinB(sinAcosB+cosAsinB)=8R2sinasinbsinC =2·2RsinA·2RsinB·sinC=2absinC.
所以原式得证.
证明二: (化为边的等式)
左边=A2·2sinBcosB+B2·2sinAcosA= =
=
[教师精讲]
由边向角转化,通常利用正弦定理的变形式:A=2RsinA,B=2RsinB,C=2RsinC,在转化为角的关系式后,要注意三角函数公式的运用,在此题用到了正弦二倍角公式sin2A=2sinA·cosA,正弦两角和公式sin(A+B)=sinA·cosB+cosA·sinB;由角向边转化,要结合正弦定理变形式以及余弦定理形式二.
三角形的有关证明问题,主要围绕三角形的边和角的三角函数展开,从某种意义上来看,这类问题就是有了目标的含边和角的式子的化简问题.
【例5】分析:三角形形状的判断,可以根据角的关系,也可根据边的关系,所以在已知条件的运用上,可以考虑两种途径,将边转化为角,将角转化为边,下面,我们从这两个角度进行分析.
解法一:利用余弦定理将角化为边.
∵bcosA=acosB,∴.∴b2+c2-a2=a2+c2-b2.∴a2=b2.
∴a=b.
故此三角形是等腰三角形.
解法二:利用正弦定理将边转化为角.
∵bcosA=acosB,又B=2RsinB，A=2RsinA,∴2RsinbcosA=2RsinAcosB.
∴sinAcosB-cosAsinB=0.∴sin(A-B)=0.∵0＜A,B＜π,∴-π＜A-B＜π.
∴A-B=0,即A=B.
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故此三角形是等腰三角形.
评述: (1)在判定三角形形状时,一般考虑两个方向进行变形,一个方向是边,走代数变形之路,通常是正、余弦定理结合使用;另一方向是角,走三角变形之路,通常是运用正弦定理.要求学生要注重边角转化的桥梁——正、余弦定理.
(2)解法二中用到了三角函数中两角差的正弦公式,但应注意在根据三角函数值求角时,一定要先确定角的范围.另外,也可运用同角三角函数的商数关系,在等式sinBcosA=sinAcosB两端同除以sinAsinB,得cotA=cotB,再由0＜A,B＜π,而得A=B.
课堂小结
通过本节学习,我们熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用,并利用正、余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断,其中,要求大家重点体会正、余弦定理的边角转换功能.
（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
（2）三角形形状的判定方法.
布置作业
1.在△ABC中,已知,求证: a2、b2、c2成等差数列.
证明: 由已知得sin(B+C)sin(B-C)=sin(A+B)sin(A-B),
cos2B-cos2C=cos2A-cos2B,
2cos2B=coOs2A+cos2C,2·=
∴2sin2B=sin2A+sin2C.
由正弦定理,可得2b2=a2+c2,
即a2、b2、c2成等差数列.
2.在△ABC中,A=30°,cosB=2sinB-3sinC.
(1)求证:△ABC为等腰三角形;(提示B =C =75°)
(2)设D为△ABC外接圆的直径BE与边AC的交点,且AB＝2,求AD∶CD的值.
答案: (1)略；(2)1∶3.
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板书设计
解三角形的进一步讨论
一、三角形形状判定 二、三角形问题证明思路 三、学生练习
1.等腰三角形:a＝b或 1.向边转化利用正、余弦定理 四、布置作业
A＝B 2.向角转化
利用正弦定理
2.直角三角形:a2+b2=c2或C =90°
3.钝角三角形:C＞90°
教学反思
本节课中，应先通过分析典型例题，帮助学生理解并掌握正弦定理和余弦定理；应指出正弦定理和余弦定理是相通的，凡是能用正弦定理解的三角形，用余弦定理也可以解，反之亦然．但解题的时候，应有最佳选择．教学过程中，我们应指导学生对利用正弦定理和余弦定理解斜三角形的问题进行归类，同时应指出，在解斜三角形问题时，经常要利用正弦、余弦定理实施边角转换，转化的主要途径有两条：（1）化边为角，然后通过三角变换找出角与角之间的关系，进而解决问题；（2）化角为边，将三角问题转化为代数问题加以解决．一般地，当已知三角形三边或三边数量关系时，常用余弦定理；若既有角的条件，又有边的条件，通常利用正弦定理或余弦定理，将边化为角的关系，利用三角函数公式求解较为简便．总之，关键在于灵活运用定理及公式．
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