1.2.3 解决有关测量角度的问题
项目
内容
课题
1.2.3 解决有关测量角度的问题
修改与创新
教学
目标
一、知识与技能
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.
二、过程与方法
本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力．除了安排课本上的例6，还针对性地选择了既具典型性又具有启发性的1～2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透．课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三．
三、情感态度与价值观
培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神.
教学重、
难点
教学重点 能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系．
教学难点 灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题.
教学
准备
多媒体课件
教学过程
导入新课
设置情境设问
师 前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化为已知三角形的一些边和角求其余边的问题．然而在实际的生活中,人们又会遇到新的问题，仍然需要用我们学过的解三角形的知识来解决，大家身边有什么例子吗？
生 像航海，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向.
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生 飞机在天上飞行时，如何确定地面上的目标.
师 实际生活当中像这样的例子很多，今天我们接着来探讨这方面的测量问题．
推进新课
【例1】（幻灯片放映）如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°
的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1°,距离精确到0.01 n mile)
[合作探究]
学生看图思考．
师 要想解决这个问题，首先应该搞懂“北偏东75°的方向”．
生 这是方位角．
生 这实际上就是解斜三角形，由方位角的概念可知，首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角∠ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角∠CAB，就可以知道AC的方向和路程．
师 根据大家的回答，我们已经很清楚解题思路．下面请同学写一下解题过程.
生解：在△ABC中，∠ABC=180°- 75°+ 32°=137°，根据余弦定理，
≈113.15.
根据正弦定理, ,
≈0.325 5,
所以∠CAB≈19.0°,75°-∠CAB=56.0°.
答:此船应该沿北偏东56.0°的方向航行,需要航行113.15 n mile.
6
师这道题综合运用了正、余弦定理，体现了正、余弦定理在解斜三角形中的重要地位．
【例2】某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10海里/时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？
[合作探究]
师 你能否根据题意画出方位图？（在解斜三角形这一节里有好多都要把实际问题画出平面示意图，图画的好坏有时也会影响到解题，这是建立数学模型的一个重要方面）
生甲 如右图．
师 从图上看这道题的关键是计算出三角形的各边，还需要什么呢?
生 引入时间这个参变量,可以设x小时后追上走私船.
生 如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9,∠ACB=75°+45°=120°,则由余弦定理，可得
(14x)2=92+(10x)2-2×9×10xcos120°,∴化简得32x2-30x-27=0，即x=或x=- (舍去).
所以BC = 10x =15,AB =14x =21.
又因为sin∠BAC =,∴∠BAC=38°13′,或∠BAC=141°47′（钝角不合题意，舍去）.
∴38°13′+45°=83°13′.
答：巡逻艇应该沿北偏东83°13′方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.
师 这位同学是用正、余弦定理来解决的，我们能不能都用余弦定理来解决呢？
6
生 同上解得BC=15,AB=21,
在△ABC中，由余弦定理，得
≈0.785 7,
∴∠CAB≈38°13′,38°13′+45°=83°13′.
∴巡逻艇应沿北偏东83°13′的方向追赶，经过1.4小时追赶上该走私船．
课堂练习
课本第18页练习.
答案：运用余弦定理求得倾斜角α约为116.23°.
[方法引导]
解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之．（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．
[知识拓展]
1.如图，海中小岛A周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里到C处，在C处测得小岛A在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？
解：在△ABC中，BC=30，B=30°，
∠ACB=180°-45°=135°,
∴A=15°.
由正弦定理知,∴.
∴.∴A到BC所在直线的距离为
6
AC·sin45°=（15+15）·=15（+1）≈40.98＞38（海里），
∴不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险．
答：不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险．
2.如图，有两条相交成60°角的直线XX′、YY′，交点是O，甲、乙分别在OX、OY上，起初甲在离O点3千米的A点，乙在离O点1千米的B点，后来两人同时以每小时4千米的速度，甲沿XX′方向，乙沿Y′Y方向步行，
（1）起初，两人的距离是多少？
（2）用包含t的式子表示t小时后两人的距离；
（3）什么时候两人的距离最短？
解：（1）因甲、乙两人起初的位置是A、B，
则AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos60°=32+12-2×3×1×=7,
∴起初，两人的距离是千米．
（2）设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q，
则AP=4t,BQ=4t,
当0≤t≤时，PQ2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60°=48t2-24t+7;
当t＞时,PQ2=(4t-3)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1+4t)cos120°=48t2-24t+7,
所以，PQ =48t2-24t+7．
（3）PQ2=48t2-24t+7=48(t-)2+4,
∴当t=时，即在第15分钟末，PQ最短．
6
答：在第15分钟末，两人的距离最短．
课堂小结
在实际问题（航海、测量等）的解决过程中，解题的一般步骤和方法，及正弦、余弦定理相关知识点的熟练运用．应用解三角形知识解决实际问题时，要分析和研究问题中涉及的三角形，及其中哪些是已知量，哪些是未知量，应该选用正弦定理还是余弦定理进行求解．应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤：①根据题意作出示意图；②所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案．
布置作业
课本第22页习题1.2第9、10、11题.
板书设计
解决有关测量角度的问题
例1 例2 课堂练习
布置作业
教学反思
本课时是一个有关测量角度的问题，即课本上的例6.在这里，能否灵活求解问题的关键是正弦定理和余弦定理的选用，有些题目只选用其一，或两者混用，这当中有很大的灵活性，需要对原来所学知识进行深入的整理、加工，鼓励一题多解，训练发散思维．借助计算机等媒体工具来进行演示，利用动态效果，能使学生更好地明辨是非、掌握方法．
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