3 动量守恒定律
第2课时 动量守恒定律的应用
课堂合作探究
问题导学
一、某一方向上动量守恒定律的应用
活动与探究1
在下列各过程中，把物体A和B看成一个系统，试讨论以下各过程系统的动量守恒情况。
1．小车B在光滑水平面上，球A沿车上的光滑槽滚动，如图甲所示。
甲
2．物体A在光滑斜面体B上下滑，斜面体与水平面也无摩擦，如图乙所示。
乙
3．人在小船（B物体）上向右水平抛出石块A，忽略水和空气的阻力，如图丙所示。
丙
4．子弹A竖直向下射入位于地面上的木块B中，并未穿出，如图丁所示。
丁
5．以上各种运动情景中，哪些运动过程中，系统的动量不守恒，这些运动过程中是否还可以应用动量守恒定律解题？
迁移与应用1
如图所示，带有半径为R的光滑圆弧的小车其质量为M，置于光滑水平面上，一质量为m的小球从圆弧的最顶端由静止释放，则球离开小车时，球和车的速度分别为多少？
6
对于某一方向上合外力为零或内力远大于外力的情况，可在该方向上应用动量守恒定律，但必须点明在该方向上应用动量守恒定律。对整个过程而言，系统总动量可能不守恒。
二、多物体系统中动量守恒定律的应用
活动与探究2
你读过我国古典名著《三国演义》吗？其中有一个“草船借箭”的故事你一定知道吧。如图所示，设草船的质量为m1，草船以速度v1返回时，曹兵万箭齐发，先后有n支箭射中草船，箭的速度均为v，方向与船行方向相同，由此可推算，草船的速度会增加多少？（不计水的阻力）
迁移与应用2
两只小船平行相向航行，如图所示，航线邻近，当它们头尾相齐时，由每一只船上各投质量m＝50 kg 的麻袋到对面一只船上去，结果载重较小的一只船停了下来，另一只船则以v＝8.5 m/s的速度向原方向航行，设两只船及船上的载重量分别为m1＝500 kg及m2＝1 000 kg。问：在交换麻袋前两只船的速率为多少？（水的阻力不计）
多个物体相互作用时，物理过程往往比较复杂，使用牛顿定律求解很难奏效，但若系统不受外力或所受合力为零，却可以使用动量守恒定律求解，使问题得以简化。在具体应用中要从以下几点去考虑：
1．正确分析作用过程中各物体状态的变化情况，建立运动模型；
2．分清相互作用的各个阶段，并找出联系各阶段的状态量，各个阶段可分别建立方程；
3．合理确定研究对象，既要使确定的研究对象满足动量守恒定律，又能方便研究各个过程。
复杂的问题是由简单问题组合的，把复杂问题细化就是分解矛盾，化难为简。做好这一问题的关键仍是两个分析：受力分析和运动分析。另外应用动量守恒定律解决问题时主要是研究初、末状态，可以淡化过程，除非过程中还有隐情。
三、平均动量守恒问题
活动与探究3
两个小朋友在平静的水塘里划船，当船头靠在岸边时，坐在船尾的小朋友想从船尾一直走上岸，在不计水的阻力，另一名小朋友也不动的情况下，他能做到吗？如果该小朋友的质量为m1，小船与另一位小朋友的总质量为m2，该小朋友坐的位置离船头距离为l，则你能否求出当他到达船头时，船头离河岸的距离？（设船身始终与河岸垂直）
迁移与应用3
6
平静的水面上停着一只小船，船头站立着一个人，船的质量是人的质量的8倍。从某时刻起，这个人向船尾走去，走到船中部他突然停止走动。水对船的阻力忽略不计。下列说法中正确的是（ ）
A．人走动时，他相对于水面的速度和小船相对于水面的速度大小相等、方向相反
B．他突然停止走动后，船由于惯性还会运动一小段时间
C．人在船上走动过程，人对水面的位移是船对水面的位移的9倍
D．人在船上走动过程，人的动能是船的动能的8倍
若系统在全过程中动量守恒（包括某个方向上动量守恒），则这一系统在全过程中的平均动量也必定守恒。
1．用动量守恒定律求位移的题目，大都是系统原来处在静止状态，然后系统内物体相互作用。此时动量守恒式经常写成m1v1＝m2v2的形式。此种状态下，动量守恒的过程中，任意时刻系统的总动量为零，因此任意时刻的瞬时速率v1和v2都与各物体的质量成反比，所以全过程的平均速度也与质量成反比，即有m1＝m2，如果作用时间为t，则有m1·t＝m2·t，故有：m1x1＝m2x2，其中x1和x2是两物体对地位移的大小。
2．处理平均动量守恒的问题，应结合草图确定位移关系。
四、打击、爆炸类问题
活动与探究4
有一大炮竖直向上发射炮弹，炮弹的质量为M＝6.0 kg（内含炸药的质量可以忽略不计），射出的初速度v0＝60 m/s。当炮弹到达最高点时爆炸为沿水平方向运动的两片，其中一片质量为m＝4.0 kg。现要求这一片不能落到以发射点为圆心，以R＝600 m为半径的圆周范围内，则刚爆炸完时两弹片的总动能至少多大？（g取10 m/s2，忽略空气阻力）
迁移与应用4
如图所示，质量为m的子弹，以速度v水平射入用轻绳悬挂在空中的木块，木块的质量为M，绳长为L，子弹停留在木块中，求子弹射入木块后的瞬间绳子张力的大小。
1．爆炸过程中内力远大于外力，可认为系统动量守恒，特别是物体在高空爆炸时，若爆炸前速度方向恰好水平，则在该方向上系统不受外力，该水平方向上动量守恒，爆炸前的动量指即将爆炸那一刻的动量，爆炸后的动量指爆炸刚好结束那一刻的动量。
2．子弹打木块问题中，子弹与木块作用过程时间极短，因此作用力很大，也属于内力远大于外力的近似动量守恒情况。
3．爆炸过程中有其他形式的能量转化为机械能，而子弹打木块模型中损失机械能，转化为其他形式的能。
当堂检测
1．在匀速行驶的船上，当船上的人相对于船竖直向上抛出一个物体时，船的速度将（ ）（水的阻力不变）
A．变大 B．变小
C．不变 D．无法判定
2．如图所示，A、B两木块紧靠在一起且静止于光滑水平面上，物块C以一定的初速度v0从A的左端开始向右滑行，最后停在B木块的右端，对此过程，下列叙述正确的是（ ）
6
A．当C在A上滑行时，A、C组成的系统动量守恒
B．当C在B上滑行时，B、C组成的系统动量守恒
C．无论C是在A上滑行还是在B上滑行，A、B、C三物块组成的系统动量都守恒
D．当C在B上滑行时，A、B、C组成的系统动量不守恒
3．如图所示，小车放在光滑的水平面上，轻绳上系有一小球，将小球拉开到一定的角度，然后同时放开小球和小车，那么在以后的过程中（ ）
A．小球向左摆动时，小车也向左运动，且系统在水平方向动量守恒
B．小球向左摆动时，小车向右运动，且系统在水平方向动量守恒
C．小球向左摆到最高点，小球的速度为零而小车速度不为零
D．在任意时刻，小球和小车在水平方向上的动量一定大小相等、方向相反
4．质量为M的气球下面吊着质量为m的物体以速度v0匀速上升，突然吊绳断裂，当物体上升速度为零时，气球的速度为________（整个过程中浮力和阻力的大小均不变）。
5．质量相等的五个物块在一光滑水平面上排成一条直线，且彼此隔开一定的距离，具有初速度v0的第5号物块向左运动，依次与其余四个静止物块发生碰撞，如图所示，最后这五个物块粘成一个整体，求它们最后的速度为多少？
答案：
课堂·合作探究
【问题导学】
活动与探究1：1．答案：A和B之间的相互作用力使地面给系统的弹力不等于系统的重力，系统所受的合外力不为零，故系统的动量不守恒。
2．答案：由于A沿斜面加速运动，使系统给地面的压力小于系统的重力，故地面的支持力小于系统的重力，系统所受的合外力不为零，动量不守恒。
3．答案：丙系统所受的合外力为零，动量守恒。
4．答案：丁中当子弹射入木块时，系统加大了对地面的压力，造成系统所受的合外力不为零，故动量不守恒。
5．答案：甲、乙、丁过程中系统动量不守恒，但系统水平方向动量守恒。一定条件下，仍可以应用动量守恒定律解题。
迁移与应用1：答案：，方向水平向左 ，方向水平向右
解析：球和车组成的系统虽然总动量不守恒，但在水平方向动量守恒，且全过程满足机械能守恒，设球车分离时，球的速度为v1，方向水平向左，车的速度为v2，方向水平向右，
则：mv1－Mv2＝0
mgR＝mv＋Mv
6
解得v1＝，v2＝。
活动与探究2：答案：n支箭尽管不是同时与草船作用，但每一次作用过程中，在不计水的阻力的条件下，箭与船组成的系统所受合外力均为零，所以总动量守恒，因此将n支箭分别射到草船上和将n支箭一起同时射到草船上，其效果相同，因此可以不考虑其复杂的作用过程。设船速增加Δv，则船速v2＝v1＋Δv，由动量守恒知m1v1＋nmv＝（m1＋nm）v2
所以Δv＝。
迁移与应用2：答案：小船速率为1 m/s，大船速率为9 m/s。
解析：选取小船和从大船投过来的麻袋为系统，并以载重较小的船的速度为正方向，根据动量守恒定律有：
（m1－m）v1－mv2＝0①
选取大船和从小船投过来的麻袋为系统有：
－（m2－m）v2＋mv1＝－m2v②
选取四个物体为系统有：m1v1－m2v2＝－m2v③
联立①②③代入数据解得：v1＝1 m/s，v2＝9 m/s。
活动与探究3：答案：不能 l
选小朋友和船为一系统，由于系统在水平方向不受外力（水的阻力不计）作用，则系统在水平方向动量守恒。设某一时刻小朋友对地速度大小为v1，船的速度大小为v2，以小朋友运动的方向为正方向，由动量守恒知m1v1－m2v2＝0。
在人与船相互作用过程中，上式始终成立，不难想到，船的运动受小朋友运动的制约，人走船走，人停船停。所以当小朋友走到船头时，船向后退了一段距离，即船头离岸有一段距离，因此小朋友不能直接走上岸（当然如果船后退距离很小，小朋友一步迈到岸上是另一回事）。
既然小朋友与船组成的系统在任一时刻均满足m1v1－m2v2＝0，如果用、分别表示整个相互作用过程中小朋友和船的平均速度大小，则必有m1－m2＝0。设相互作用时间为t，小朋友和小船对地的位移大小为x1、x2，则＝，＝，则有m1－m2＝0，因此有关系式m1x1＝m2x2。而x1＋x2＝l，所以可求船后退的距离x2＝l
此即为小朋友到达船头时，船头离河岸的距离。
迁移与应用3：D 解析：人船系统动量守恒，总动量为零，因此人、船的动量等大、反向，速度大小之比为8∶1，选项A错误。人突然停止走动是指人和船相对静止，设此时人和船的速度为v，则（M＋m）v＝0，所以v＝0，说明船的速度立即为零，选项B错误。由于人、船速度大小之比为8∶1，故人的位移是船的8倍，选项C错误。由动能、动量关系Ep＝∝，得人的动能是船的动能的8倍，选项D正确。
活动与探究4：答案：6.0×104 J
设炮弹上升到达最高点的高度为h，根据匀变速直线运动规律有v＝2gh。
设质量为m的弹片刚爆炸后的速度为v1，另一块的速度为v，根据动量定律有mv1＝（M－m）v。
设质量为m的弹片运动的时间为t，根据平抛运动规律，有
h＝gt2，R＝v1t。
炮弹刚爆炸后，两弹片的总动能Ek＝mv＋（M－m）v2。
解以上各式得Ek＝·。代入数值得Ek＝6.0×104 J。
迁移与应用4：答案：（m＋M）g＋
6
解析：在子弹射入木块的这一瞬间，系统动量守恒。取向左为正方向，由动量守恒定律有：0＋mv＝（m＋M）v′，
解得v′＝。
随着整体以速度v′向左摆动做圆周运动。在圆周运动的最低点，整体只受重力（m＋M）g和绳子的拉力F作用，由牛顿第二定律有（取向上为正方向）：
F－（m＋M）g＝（m＋M）。
将v′代入即得：
F＝（m＋M）g＋。
【当堂检测】
1．C 解析：相对于船竖直向上抛出物体时，由于惯性，物体仍然具有和船同方向的速度，船和物体组成的系统水平方向动量守恒，故船速不变。
2．BC 解析：当C在A上滑行时，对A、C组成的系统，B对A的作用力为外力，不等于0，故系统动量不守恒，选项A错误；当C在B上滑行时，A、B已分离，对B、C组成的系统，沿水平方向不受外力作用，故系统动量守恒，选项B正确；若将A、B、C三物块视为一系统，则沿水平方向无外力作用，系统动量守恒，选项C正确，选项D错误。
3．BD 解析：小球摆动过程中，竖直方向上合力不为零，故系统总动量不守恒，但水平方向不受外力，在水平方向动量守恒，所以选项B、D正确。
4．答案：
解析：以气球和物体为系统，整体受重力和浮力，当匀速上升时，合外力为零，吊绳断裂前后，整体受力不变，一直为零，整体动量守恒。匀速上升时动量是（M＋m）v0，当绳断裂物体速度为零时，气球的动量为Mv，则有（M＋m）v0＝Mv。故有v＝。
5．答案：v0
解析：由五个物块组成的系统，沿水平方向不受外力作用，故系统动量守恒，mv0＝5mv，v＝v0，即它们最后的速度为v0。
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