2.1.1 平面
一、教学目标：
1、知识与技能：利用生活中的实物对平面进行描述；掌握平面的表示法及水平放置的直观图；掌握平面的基本性质及作用；培养学生的空间想象能力。
2、过程与方法：通过讨论，对平面有了感性认识；归纳整理本节所学知识。
3、情感态度与价值观：认识到我们所处的世界是一个三维空间，增强学习的兴趣。
二、教学重点： 1、平面的概念及表示；
2、平面的基本性质：注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。
难点：平面基本性质的掌握与运用。
三、学法指导：通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标。
四、教学过程
导入新课
思路1.(情境导入)
大家都看过电视剧《西游记》吧，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”.结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，孙悟空可以看作是一个点，他的运动成为一条直线，大家说如来佛的手掌像什么？对，像一个平面，今天我们开始认识数学中的平面.
思路2.(事例导入)
观察长方体（图1），你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以及侧面、底面之间的关系吗？
图1
长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成.有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直线
与面平行，有些棱所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看成是某个面内的直线等等.空间中的点、直线、平面之间有哪些位置关系呢？本节我们将讨论这个问题.
推进新课
新知探究
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提出问题
①怎样理解平面这一最基本的几何概念;
②平面的画法与表示方法;
③如何描述点与直线、平面的位置关系？
④直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？直线与平面至少有几个公共点才能判断直线在平面内？
⑤根据自己的生活经验，几个点能确定一个平面？
⑥如果两个不重合的平面有一个公共点，它们的位置关系如何？请画图表示;
⑦描述点、直线、平面的位置关系常用几种语言？
⑧自己总结三个公理的有关内容.
活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.对有困难的学生可提示如下：
①回忆我们学过的最基本的概念（原始概念），如点、直线、集合等.
②我们的桌面看起来像什么图形？表示平面和表示点、直线一样，通常用英文字母或希腊字母表示.
③点在直线上和点在直线外；点在平面内和点在平面外.
④确定一条直线需要几个点？
⑤引导学生观察教室的门由几个点确定.
⑥两个平面不可能仅有一个公共点，因为平面有无限延展性.
⑦文字语言、图形语言、符号语言.
⑧平面的基本性质小结.
讨论结果：①平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念（不加定义的原始概念），只能通过对它描述加以理解，可以用它定义其他概念，不能用其他概念来定义它，因为它是不加定义的.平面的基本特征是无限延展性，很像如来佛的手掌(吴承恩的立体几何一定不错).
②我们的桌面看起来像平行四边形，因此平面通常画成平行四边形，有些时候我们也可以用圆或三角形等图形来表示平面，如图2.平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把它遮挡的部分用虚线画出来，如图3.
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图2 图3
平面的表示法有如下几种：（1）在一个希腊字母α、β、γ的前面加“平面”二字，如平面α、平面β、平面γ等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内(图4)；（2）用平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD（图5）；（3）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面AC（图5）.
图4 图5
③下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下表：
图形
符号语言
文字语言（读法）
点在直线上
点不在直线上
点在平面内
点不在平面内
直线、交于点
④直线上有一个点在平面内，直线没有全部落在平面内(图7)，直线上有两个点在平面内，则直线全部落在平面内.例如用直尺紧贴着玻璃黑板，则直尺落在平面内.
公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
这是用文字语言描述，我们也可以用符号语言和图形语言（图6）描述.
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空间图形的基本元素是点、直线、平面.从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示.规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示.公理1也可以用符号语言表示：
若A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则aα.
图6 图7
请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交.
若A∈a,B∈a,且Aα,B∈α,则aα.如图（图7）.
⑤在生活中，我们常常可以看到这样的现象：三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等.
上述事实和类似的经验可以归纳为下面的公理.
公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
如图（图8）.
图8
公理2刻画了平面特有的性质，它是确定一个平面位置的依据之一.
⑥我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？
不是，因为平面是无限延展的.直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征.
现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象（课件演示给学生看）.
问：两个平面会不会只有一个公共点？不会，因为平面是无限延展的，应当有很多公共点.正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点.那么这无数个公共点在什么位置呢？可见，这无数个公共点在一条直线上.
这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图（图9），用符号语言表示为：P∈α,且P∈βα∩β=l,且P∈l.
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图9
公理3告诉我们，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交，且其交线一定过这个公共点.也就是说，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有另外一个公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找出了它们的交线.
由此看出公理3不仅给出了两个平面相交的依据，还告诉我们所有交点在同一条直线上，并给出了找这条交线的方法.
⑦描述点、直线、平面的位置关系常用3种语言:文字语言、图形语言、符号语言.
⑧“平面的基本性质”小结：
名称
作用
公理1
判定直线在平面内的依据
公理2
确定一个平面的依据
公理3
两平面相交的依据
应用示例
思路1
例1 如图10，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.
图10
活动：学生自己思考或讨论，再写出（最好用实物投影仪展示写的正确的答案）.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正，并及时评价.
解：在（1）中，α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.
在（2）中，α∩β=l,aα,bβ,a∩l=P,b∩l=P.
变式训练
1.画图表示下列由集合符号给出的关系：
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(1)A∈α,Bα,A∈l,B∈l;
(2)aα,bβ,a∥c,b∩c=P,α∩β=c.
解：如图11.
图11
2.根据下列条件，画出图形.
（1）平面α∩平面β=l，直线ABα，AB∥l，E∈AB，直线EF∩β=F，Fl;
（2）平面α∩平面β=a，△ABC的三个顶点满足条件:A∈a，B∈α，Ba，C∈β，Ca.
答案：如图12.
图12
点评：图形语言与符号语言的转换是本节的重点，主要有两种题型：
(1)根据图形，先判断点、直线、平面的位置关系，然后用符号表示出来.
(2)根据符号，想象出点、直线、平面的位置关系，然后用图形表示出来.
例2 已知直线a和直线b相交于点A.求证：过直线a和直线b有且只有一个平面.
图13
证明：如图13,点A是直线a和直线b的交点,在a上取一点B，b上取一点C，
根据公理2经过不在同一直线上的三点A、B、C有一个平面α，
因为A、B在平面α内，根据公理1，直线a在平面α内,
同理直线b在平面α内，即平面α是经过直线a和直线b的平面.
又因为A、B在a上，A、C在b上，所以经过直线a和直线b的平面一定经过点A、B、C.
于是根据公理2，经过不共线的三点A、B、C的平面有且只有一个，
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所以经过直线a和直线b的平面有且只有一个.
变式训练
求证：两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.
证明：如图14，直线a、b、c、d两两相交，交点分别为A、B、C、D、E、F,
图14
∵直线a∩直线b=A,∴直线a和直线b确定平面设为α，即a,bα.
∵B、C∈a，E、F∈b,∴B、C、E、F∈α.
而B、F∈c，C、E∈d,∴c、dα,
即a、b、c、d在同一平面内.
点评：在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题，除公理2外，确定平面的依据还有：
(1)直线与直线外一点.(2)两条相交直线.(3)两条平行直线.
思路2
例1 如图15，已知α∩β=EF,A∈α,C、B∈β,BC与EF相交，在图中分别画出平面ABC与α、β的交线.
图15
活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对作图不准确的学生提示引导考虑问题的思路.
解：如图16所示，连接CB，
∵C∈β,B∈β,∴直线CBβ.
图16
∵直线CB平面ABC，∴β∩平面ABC=直线CB.
设直线CB与直线EF交于D,
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∵α∩β=EF,∴D∈α,D∈平面ABC.
∵A∈α,A∈平面ABC，
∴α∩平面ABC=直线AD.
变式训练
1.如图17，AD∩平面α=B,AE∩平面α=C，请画出直线DE与平面α的交点P，并指出点P与直线BC的位置关系.
图17
解：AD和AC是相交直线，它们确定一个平面ABC，
它与平面α的交线为直线BC，DE平面ABC，
∴DE与α的交点P在直线BC上.
2.如图18，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为8 cm，M、N、P分别是AB、A1D1、BB1的中点，
图18
(1)画出过M、N、P三点的平面与平面A1B1C1D1的交线，以及与平面BB1C1C的交线.
(2)设过M、N、P三点的平面与B1C1交于点Q，求PQ的长.
解：(1)设M、N、P三点确定的平面为α，则α与平面AA1B1B的交线为直线MP，设MP∩A1B1=R，则RN是α与平面A1B1C1D1的交线，设RN∩B1C1=Q，连接PQ，则PQ是所要画的平面α与平面BB1C1C的交线.如图18.
(2)正方体棱长为8 cm，B1R=BM=4 cm，又A1N=4 cm，B1Q=A1N,
∴B1Q=×4=（cm）.在△PB1Q中，B1P=4 cm，B1Q=cm，
∴PQ=cm.
点评：公理3给出了两个平面相交的依据，我们经常利用公理3找两平面的交点和交线.
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例2 已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线.
解：如图19,∵A、B、C是不在同一直线上的三点,
图19
∴过A、B、C有一个平面β.
又∵AB∩α=P，且ABβ,
∴点P既在β内又在α内.设α∩β=l,则P∈l,
同理可证：Q∈l,R∈l,
∴P、Q、R三点共线.
变式训练
三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不平行，求证：这三条直线交于一点.
已知平面α、β、γ两两相交于三条直线l1、l2、l3，且l1、l2、l3不平行.
求证：l1、l2、l3相交于一点.
证明：如图20，α∩β=l1，β∩γ=l2，α∩γ=l3，
图20
∵l1β，l2β，且l1、l2不平行,
∴l1与l2必相交.设l1∩l2=P，
则P∈l1α,P∈l2γ,
∴P∈α∩γ=l3.
∴l1、l2、l3相交于一点P.
点评：共点、共线问题是本节的重点，在高考中也经常考查，其理论依据是公理3.
知能训练
画一个正方体ABCD—A′B′C′D′，再画出平面ACD′与平面BDC′的交线，并且说明理由.
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解：如图21,
图21
∵F∈CD′，∴F∈平面ACD′.
∵E∈AC，∴E∈平面ACD′.
∵E∈BD，∴E∈平面BDC′.
∵F∈DC′，∴F∈平面DC′B.
∴EF为所求.
拓展提升
O1是正方体ABCD—A1B1C1D1的上底面的中心，过D1、B1、A作一个截面，求证：此截面与对角线A1C的交点P一定在AO1上.
解：如图22,连接A1C1、AC，
图22
因AA1∥CC1，则AA1与CC1可确定一个平面AC1，
易知截面AD1B1与平面AC1有公共点A、O1，
所以截面AD1B1与平面AC1的交线为AO1.
又P∈A1C，得P∈平面AC1，而P∈截面AB1D1，
故P在两平面的交线上，即P∈AO1.
点评：证明共点、共线问题关键是利用两平面的交点必在交线上.
课堂小结
1.平面是一个不加定义的原始概念，其基本特征是无限延展性.
2.通过三个公理介绍了平面的基本性质，及作用.
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名称
作用
公理1
判定直线在平面内的依据
公理2
确定一个平面的依据
公理3
两平面相交的依据
3.利用三个公理证明共面、共线、共点问题.
作业
课本习题2.1 A组5、6.
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