3.4.2 基本不等式的应用（一）
项目
内容
课题
3.4.2 基本不等式的应用
修改与创新
教学
目标
一、知识与技能
1.利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式；
2.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路；
3.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达.
二、过程与方法
1.采用探究法，按照联想、类比、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；
2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；
3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.
三、情感态度与价值观
1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验不等式的证明过程需要从理性的角度去思考，通过设置思考项，让学生探究，层层铺设，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；
2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；
3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘，数学的简洁美，数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.
教学重、
难点
教学重点
1.利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式
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；
2.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达；
3.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路.
教学难点
1.利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式；
2.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达；
3.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路.
教学
准备
投影仪、胶片、三角板、刻度尺
教学过程
导入新课
师 前一节课，我们通过问题背景，抽象出了不等式a2+b2≥2ab(a、b∈R)，然后以数形结合思想为指导，从代数、几何两个背景推导出基本不等式.本节课，我们将利用基本不等式 来尝试证明一些简单的不等式.
(此时，老师用投影仪给出下列问题)
推进新课
问题1.已知x、y都是正数，求证：
(1)；
(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.
师 前面我们研究了可以用不等式和实数的基本性质来证明不等式，请同学们思考一下，第一小问是否可以用不等式和实数的基本性质来证明此不等式呢？
（思考两分钟）
生 不可以证明.
师 是否可以用基本不等式证明呢？
生 可以.
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（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）
解：∵x、y都是正数，∴，.∴，即.
师 这位同学板演得很好.下面的同学都完成了吗？
（齐声：完成）
［合作探究］
师 请同学继续思考第二小问该如何证明？它是否能用一次基本不等式就能证明呢？
（引导同学们积极思考）
生 可以用三次基本不等式再结合不等式的基本性质.
师 这位同学分析得非常好.他对要证不等式的特征观察的很细致、到位.
生 ∵x，y都是正数，∴x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0.∴x＋y≥2＞0，x2＋y2≥2x2y2＞0, x3+y3≥2x3y3＞0.∴可得（x＋y）（x 2＋y2）（x3＋y3）≥2xy·2·2＝８x3y3，即（x＋y）（x2＋y 2）（x 3＋y3）≥８x 3y3.
师 这位同学表达得非常好，思维即严谨又周到.
（在表达过程中，对条件x，y都是正数往往忽视）
师 在运用定理：时，注意条件a、b均为正数，往往可以激发我们想到解题思路，再结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)进行变形，进而可以得证.
(此时，老师用投影仪给出下列问题)
问题3.求证：.
（此处留的时间可以长一些，意在激发学生自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生）
6
师 利用完全平方公式，结合重要不等式：a2＋b 2≥2ab，恰当变形，是证明本题的关键.
（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）
解：∵a2＋b2≥2ab，∴2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2.∴2（a 2＋b2）≥（a＋b）2.
不等式两边同除以4，得≥，即.
师 下面同学都是用这种思路解答的吗？
生 也可由结论到条件去证明，即用作差法.
师 这位同学答得非常好，思维很活跃，具体的过程让同学们课后去完成.
［课堂练习］
1.已知a、b、c都是正数，求证：（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.
分析：对于此类题目，选择定理：（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果.
∵a、b、c都是正数，
∴a＋b≥2＞0,b＋c≥2＞0,c+a≥2＞0.
∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2·2·2＝８abc,
即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.
［合作探究］
2.已知（a＋b）（x＋y）＞2（ay＋bx），求证：.
（老师先分析，再让学生完成）
师 本题结论中，注意互为倒数，它们的积为1，可利用公式a＋b≥2ab，但要注意条件a、b为正数.故此题应从已知条件出发，经过变形，说明为正数开始证题.
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(在教师引导下，学生积极参与下列证题过程)
生 ∵（a＋b）（x＋y）＞2（ay＋bx）,
∴ax＋ay＋bx＋by＞2ay＋2bx.
∴ax－ay＋by－bx＞0.
∴（ax－bx）－（ay－by）＞0.
∴（a－b）（x－y）＞0,
即a－b与x－y同号.
∴均为正数.
∴ (当且仅当时取“＝”).
∴.
师生共析 我们在运用重要不等式a 2＋b2≥2ab时，只要求a、b为实数就可以了.而运用定理：“≥ab”时，必须使a、b满足同为正数.本题通过对已知条件变形(恰当地因式分解)，从讨论因式乘积的符号来判断是正还是负，是我们今后解题中常用的方法.
课堂小结
师 本节课我们研究了什么问题？同学们在本节课的研究过程中有什么收获呢？
生 我们以基本不等式为基础，证明了另外一些重要、常用的不等式，并且在证明过程中进一步巩固了证明不等式常用的思想方法.（教师提出对重要、常用不等式的掌握要求）
师 本节课我们用到重要不等式a 2＋b 2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（），几何平均数（ab）及它们的关系证明了一些不等式，它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b
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都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：，.
师 同学们课后要进一步领会这些重要不等式成立的前提条件如何用.为下一节课基本不等式的实际应用打下坚实的基础.
布置作业
课本第116页，Ｂ组第1题.
板书设计
基本不等式的应用（一）
复习引入 例1 方法归纳
基本不等式 例2
方法引导 小结
实例剖析（知识方法应用）
示范解题
教学反思
利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式.以数学知识为载体，对学生的逻辑思维能力，各种思想方法的掌握，进而提高学生的数学素质与数学素养，这是高中数学教学的一项主要任务.在本节课的教学过程中，对一些不等式的证明不是直接给出，而是以设问方式的变化，引导学生思考，通过由特殊到一般的探索规律去解决问题.
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