2.3.1 直线与平面垂直的判定
教学目标
1、 知识与技能:掌握直线与直线、直线与平面垂直的定义以及直线与平面垂直判定定理及推论
2、 过程与方法:在教学过程中不断渗透数学思想,培养学生的数学能力.
(1)空间想象能力:
通过实际操作和联系实际,发展学生的几何直观能力;对空间图形位置关系的认识,遵循了从直观到抽象,从特殊到一般的过程,从平面到空间的过程;图形的运动,帮助学生理清空间关系,这些过程都培养了学生空间想象能力
(2)逻辑思维能力:
通过对判定定理和其推论的证明以及应用,加强学生逻辑思维能力和推理论证能力的培养.
(3)转化的思想方法:
把空间中的线面关系转化为熟知的线线关系.
(4)应用意识和能力:
用向量来证明直线与平面垂直判定定理培养了学生应用向量知识来解决实际问题得意识和能力.例题是实际问题培养了学生应用数学知识解决实际生活中的问题的应用意识.
3、 情感、态度与价值观: 直线与平面垂直判定定理的教学让学生体验“提出问题-------思考------实验发现-------猜想(调整猜想)------论证-----结论-------反思”这一研究问题的全过程,调动了学生发现并解决问题的积极性,教育学生在研究问题时要有严谨的态度,科学的方法.
教学重点与难点
教学重点:直线与平面垂直的定义,直线与平面垂直判定定理及应用.
教学难点:直线与平面垂直判定定理的发现与用向量知识进行证明的过程
教学过程
教学流程
教师活动
学生活动
设计意图
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环节一：
知识回顾
直线与平面的位置关系有哪几种？新课导入：
观察图中立柱与地面,立柱与桥面之间是怎样的位置关系?
回答问题，解决问题。
通过日常生活的观察，为学习新知识奠定基础.
环节二：
思考1：
阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子有何位置关系.
结论：
1.旗杆所在的直线始终与影子所在的直线垂直.
2.事实上，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线也是垂直的.
一、直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直,记作 l⊥α.
直线和平面垂直的画法
注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.
思考 2：
学生感悟体验，思考回答。
学生归纳与总结
先让学生尝试着在黑板上画出平面与直线的位置关系，体会在空间中的一些关系
随着问题的提出，激发了学生的求知欲望，提高学生的学习积极性，提高学习数学的兴趣
问题的引导可以使学生更好的把握问题的关键。
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若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线垂直于平面吗？
思考 3：
(1)折痕AD与桌面垂直吗？
(2)如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面α垂直？
直线和平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
符号表示：
m
n
P
例1 . 如图，已知P是菱形ABCD所在平面外一点，且PA=PC，
求证：AC⊥PBD.
学生观察例1，找出数学符号和图形语言的对应，再概括总结得到的结论
这个问题的设计是为了让学生更加准确的把握数学符号和图形语言的对应，树立学生的空间想象能力。
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【证明】 设AC∩BD=O，由题意知O为AC的中点，
连接PO，因为PA=PC，所以PO⊥AC，
又因为ABCD是菱形，
所以BD⊥AC，
而 PO∩BD=O，
PO平面PBD，
BD 平面PBD，
所以AC⊥平面PBD.
变式练习：
下列命题中正确的个数是( )
①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；
④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线
与l垂直．
A．0 B．1 C．2 D．3
探究：如何求直线与平面所成的角？
例2 . 长方体中，
深化对空间直线和平面位置关系的理解，也抓住了解决空间问题的关键。
学生互相交流，回答补充
学生——说出自己思考的结果。带着问题思考讨论,
先独立思考例2，再分组展示
让学生带着思考问题观察试验，使其有目的的去寻找答案，有效的利用课堂时间，达到教学目标。
通过学生展示不同的解法，进一步巩固空间点、直线和平面位置关系。
通过观察，发现犯错的根本原因，从而再次突出了立体感这一教学重点，体现了学生的主体地位，逐渐养成自主探究能力。
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，则 与平面所成的角的大为多少？
例3 .一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是 ( )
A．0°＜θ＜90°
B．0°≤θ≤90°
C．0°≤θ＜90°
D．0°≤θ≤180°
【解析】由线面角的定义知 B 正确．
学生1、2黑板展示例2的结果，另外两个同学3、4主动展示变式练习思考的结果。
通过学生的板演，规范解题步骤。
环节三
课堂练习：
1．选择题
（1）“直线垂直于平面a内的无数条直线”是“⊥a”的 （ ）
（A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
（2）如果一条直线与平面a的一条垂线垂直，那么直线与平面a的位置关系是（ ）
（A）Ìa （B）⊥a （C）∥a （D）Ìa或∥a
答案：（1）B (2)D
2．填空题
（1）过直线外一点作直线的垂线有 条；垂面有 个；平行线有 条；平行平面有 个.
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（2）过平面外一点作该平面的垂线有 条；垂面有 个；平行线有 条；平行平面有 个.
答案：（1）无数，一，一，无数；（2）一，无数，无数，一
3．能否作一条直线同时垂直于两条相交直线？
能否作一条直线同时垂直于两个相交平面？为什么？
答案：（能，而且有无数条） （不能）
环节四：
课堂小结
直线与平面的垂直的定义
直线与平面的垂直的判定定理
直线与平面所成的角
转化思想：线线垂直→线面垂直
学生回顾，总结.
引导学生对所学的知识进行小结，由利于学生对已有的知识结构进行编码处理，加强理解记忆，引导学生对学习过程进行反思，为在今后的学习中，进行有效调控打下良好的基础。
环节五：
课后作业：
1.课本第67页练习题1、2。
2.（选做题）如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，
∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
证明：
(1)CD⊥平面PAC；
(2)PD⊥平面ABE；
学生通过作业进行课外反思，通过思考发散
作业布置有弹性，避免一刀切，使学有余力的学生的创造性得到进一步的发挥。
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