§2.1.1 合情推理(第二课时)
一、教学目标：
（一）知识与能力：
了解类比推理的基本方法，并能用它进行简单的推理。
（二）过程与方法：
类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，得出的结论就越可靠。
（三）情感态度与价值观：
1．正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好品质，善于发现问题，探求新知识。
2．认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。
二、教学重点：
了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。
三、教学难点：
用类比进行推理，做出猜想。
四、教学过程：
（一）导入新课：
除了归纳，在人们的创造发明活动中，还常常应用类比．例如，据说我国古代工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的齿牙，发明了锯；人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理，发明了潜水艇；等等。事实上，仿生学中许多发明的最初构想都是类比生物机制得到的。
从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子。他的思路是这样的：
茅草是齿形的；
茅草能割破手。
我需要一种能割断木头的工具；
它也可以是齿形的。
这个推理过程有什么特点？
- 7 -
（二）推进新课：
1、我们再看几个类似的推理实例。
例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质： 猜想不等式的性质：
(1) a=bÞa+c=b+c; (1) a＞bÞa+c＞b+c;
(2) a=bÞ ac=bc; (2) a＞bÞ ac＞bc;
(3) a=bÞa2=b2;等等。 (3) a＞bÞa2＞b2;等等。
问：这样猜想出的结论是否一定正确？
例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.
球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.
圆 球
弦←→截面圆
直径←→大圆
周长←→表面积
面积←→体积
圆的性质
球的性质
圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦
球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆
与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长
与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大
圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
经过切点且垂直于切面的直线必经过球心
2、类比推理的定义：
由两个（两类）对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．
- 7 -
3、类比推理的特点：
类比推理是由特殊到特殊的推理．
4、类比推理的一般步骤：
（1）找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
（2）用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想。
观察、比较
联想、类推
猜想新结论
在数学中，我们可以由已经解决的问题和已经获得的知识出发，通过类比而提出新问题和作出新发现．
5、例3（课本例2）类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质．
分析：实数的加法和乘法都是由两个数参与的运算，都满足一定的运算律，都存在逆运算，而且“0”和“1”分别在加法和乘法中占有特殊的地位因此我们可以从上述 4 个方面来类比这两种运算．
解：(1)两个实数经过加法运算或乘法运算后，所得的结果仍然是一个实数．
(2)从运算律的角度考虑，加法和乘法都满足交换律和结合律，即
a + b = b + a ab=ba
(a+b)+c=a+(b+c) (ab)c=a(bc)
(3)从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法，这就使得方程
a + x=0 ax=1 (a≠0 )
都有唯一解
x=-a x=
(4)在加法中，任意实数与0相加都不改变大小；乘法中的1与加法中的0类似，即任意实数与1的积都等于原来的数，即
a + 0= a a·1= a
- 7 -
运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象．例如，在立体几何中，为了研究四面体的性质，我们可以在平面几何中寻找一个研究过的对象，通过类比这个对象的性质，获得四面体性质的猜想以及证明这些猜想的思路．
6、探究：你认为平面几何中的哪一类图形可以作为四面体的类比对象？
可以从不同角度出发确定类比对象，如围成四面体的几何元素的数目、位置关系、度量等．从构成几何体的元素数目看，可以把三角形作为四面体的类比对象．
例4（课本例3）类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．
分析：考虑到直角三角形的两条边互相垂直，所以我们可以选取有3个面两两垂直的个面是四面体，作为直角三角形的类比对象．
直角三角形
3个面两两垂直的四面体
∠C＝90°
3个边的长度a，b，c
2条直角边a，b和1条斜边c
∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°
4个面的面积S1，S2，S3和S
3个“直角面” S1，S2，S3和1个“斜面” S
解：如图所示，在Rt△ABC中，由勾股定理，得
.
于是，类比直角三角形的勾股定理，在四面体 P - DEF 我们猜想
.
7、合情推理的定义：
以上的推理过程概括为：
可见，归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理、我们把它们统称为合情推理（plausible reasoning
- 7 -
）。在数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．下面再来看一个例子．
例5（课本例4）如图2 .1-2 所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片．按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．
1．每次只能移动1个金属片；
2．较大的金属片不能放在较小的金属片上面．
试推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次？
分析：我们从移动1, 2, 3, 4个金属片的情形入手，探究其中的规律性，进而归纳出移动 n个金属片所需的次数．
解：当n=1时，只需把金属片从1号针移到3号针，用符号（13 )表示，共移动了1次．
当n=2 时，为了避免将较大的金属片放在较小的金属片上面，我们利用2号针作为“中间针”，移动的顺序是：
(1)把第1个金属片从1号针移到 2 号针；
(2)把第2个金属片从1号针移到 3 号针；
(3)把第1个金属片从2号针移到 3 号针．
用符号表示为：(12 ) (13 ) (23 ) .
共移动了3 次．
当n=3 时，把上面两个金属片作为一个整体，则归结为n=2 的情形，移动顺序是：
(1)把上面两个金属片从1号针移到2号针；
(2)把第 3 个金属片从1号针移到3号针；
(3)把上面两个金属片从 2 号针移到3 号针．
其中（1）和（3）都需要借助中间针．用符号表示为：
- 7 -
( 13 ) (12 ) ( 32 ) ; ( 13 ) ; ( 21 ) ( 23 ) ( 13 ) .
共移动了 7 次．
当n=4 时，把上面3个金属片作为一个整体，移动的顺序是：
(1)把上面3个金属片从1号针移到2号针；
(2)把第4个金属片从 1 号针移到3号针；
(3)把上面 3 个金属片从 2 号针移到 3 号针．用符号表示为：
( 12 ) ( 13 ) (23 ) (12 ) (31) (32 ) (12 ) ; (13 ) ; ( 23 ) (21 ) (31 ) (23 ) ( 12 ) (13 ) (23 ) .
共移动了15次．
至此，我们得到依次移动1, 2, 3, 4 个金属片所需次数构成的数列：1, 3, 7,15.
观察这个数列，可以发现其中蕴含着如下规律：
1 = 21- 1 ,
3 = 22 - 1,
7 = 23 -1,
15 = 24 -1.
由此我们猜想：若把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动次，则数列{}的通项公式为． ①
通过探究上述n=1,2,3,4时的移动方法，我们可以归纳出对n 个金属片都适用的移动方法．当移动n个金属片时，可分为下列3个步骤：
(1)将上面（n-1）个金属片从1号针移到2号针；
(2)将第 n 个金属片从1号针移到3号针；
(3)将上面（n -1）个金属片从2号针移到3号针．
这样就把移动n个金属片的任务，转化为移动两次（n-1）个金属片和移动一次第 n 个金属片的任务．而移动（n-1）个金属片需要移动两次（n-2）个金属片和移动一次第（n-1）个金属片，移动（n-2）个金属片需要移动两次（n-3）个金属片和移动一次第（n-2）个金属片… … 如此继续，直到转化为移动1个金属片的情形．根据这个过程，可得递推公式
从这个递推公式出发，可以证明通项公式①是正确的．
- 7 -
注：一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠. 例如，法国数学家费马观察到
= 5,
= 17 ,
= 257 ,
=65 537
都是质数，于是他用归纳推理提出猜想：任何形如. () 的数都是质数．这就是著名的费马猜想．半个世纪之后，善于计算的欧拉（ Euler ）发现，第 5 个费马数
= 4 294 967 297 = 641×6 700 417
不是质数，从而推翻了费马的猜想．
（三）课堂练习：
课本P78页3
（四）课堂小结：
1、类比推理是由特殊到特殊的推理 ；
2、类比推理的一般步骤：
（五）布置作业：
课本P84页A、5
- 7 -
微信/支付宝扫码支付