1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
●三维目标
1.知识与技能
(1)能认识杨辉三角，并能利用它解决实际问题．
(2)记住二项式系数的性质，并能解决相关问题．
2．过程与方法
通过观察、分析杨辉三角数表的特点，掌握二项式系数的性质．
3．情感、态度与价值观
通过“杨辉三角”的学习，了解中华民族的历史，增强爱国主义意识．
●重点、难点
重点：二项式系数的性质．
难点：杨辉三角的结构．
第一课时
【问题导思】
(1)观察“杨辉三角”发现规律
①第一行中各数之和为多少？
第二、三、四、五行呢？由此你能得出怎样的结论？
②观察第3行中2与第2行各数之间什么关系？
第4行中3与第2行各数之间什么关系？
第5行中的4、6与第4行各数之间有什么关系？
由此你能得出怎样的结论？
【提示】 (1)①20,21,22,23,24，第n行各数之和为2n－1.
②2＝1＋1,3＝2＋1,4＝1＋3,6＝3＋3，相邻两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，设C表示任一不为1的数，则它“肩上”两数分别为C，C，所以C＝C＋C.
1．杨辉三角的特点
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(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．
(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C＝C＋C.
2．二项式系数的性质
(1)对称性：在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C，C＝C，…，C＝C.
(2)增减性与最大值：当k＜时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n是偶数时，中间一项的二项式系数Cn取得最大值；当n是奇数时，中间两项的二项式系数Cn，Cn相等，且同时取得最大值．
3．二项式系数的和
(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n. (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
图1－3－1
例1 如图1－3－1所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为Sn，求S16的值．
【思路探究】 观察数列的特点、它在杨辉三角中的位置，或者联系二项式系数的性质，直接对数列求和即可．
【自主解答】 由题意及杨辉三角的特点可得：
S16＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋(10＋5)＋…＋(36＋9)
＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)
＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(2＋3＋…＋9)
＝C＋
＝164.
解决与杨辉三角有关的问题的一般思路：
(1)观察：对题目进行多角度观察，找出每一行的数与数之间，行与行之间的数的规律．
(2)表达：将发现的规律用数学式子表达．
(3)结论：由数学表达式得出结论．
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本例条件不变，若改为求S21，则结果如何？
【解】 S21＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋…＋(55＋11)＋66
＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＋C
＝(C＋C＋C＋……C)＋(2＋3＋…＋11)
＝C＋
＝286＋65
＝351.
第二课时
例1：设(1－2x)2 012＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 012·x2 012(x∈R)．
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 012的值．
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 011的值．
(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 012|的值．
【思路探究】 先观察所要求的式子与展开式各项的特点，用赋值法求解．
【自主解答】 (1)令x＝1，得
a0＋a1＋a2＋…＋a2 012＝(－1)2 012＝1.①
(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a2 012＝32 012.②
①－②得
2(a1＋a3＋…＋a2 011)＝1－32 012，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 011＝.
(3)∵Tr＋1＝C(－2x)r＝(－1)r·C·(2x)r，
∴a2k－1＜0(k∈N*)，a2k＞0(k∈N)．
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 012|
＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 012＝32 012.
1．本题根据问题恒等式的特点采用“特殊值”法即“赋值法”，这是一种重要的方法，适用于恒等式．
2．“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．
例2：已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求
(1)a1＋a2＋…＋a7；
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(2)a1＋a3＋a5＋a7，a0＋a2＋a4＋a6.
【解】 (1)∵(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，
令x＝1，得
a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1，①
令x＝0，得a0＝1，
∴a1＋a2＋…＋a7＝－2.
(2)令x＝－1，得
a0－a1＋a2－a3＋…＋a6－a7＝37＝2187，②
由①、②得
a1＋a3＋a5＋a7＝－1 094，
a0＋a2＋a4＋a6＝1 093.
例3 已知f(x)＝(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
【思路探究】 求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括“＋”、“－”号．
【自主解答】 令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.
∴(2n)2－2n－992＝0，
∴(2n＋31)(2n－32)＝0，
∴2n＝－31(舍去)，或2n＝32，∴n＝5.
(1)由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是
假设Tr＋1项系数最大，
则有
∴∴
∴≤r≤，∵r∈N，∴r＝4.
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小结：1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得．
练习：求(1＋2x)7的展开式中的二项式系数最大项与系数最大项．
【解】 在二项式系数C，C，C，…，C中，最大的是C与C，故二项式系数最大项是第4项与第5项，即T4＝C(2x)3＝280x3与T5＝C(2x)4＝560x4.
设第r＋1项的系数最大，则由⇒
⇒由于r是整数，故r＝5，所以系数最大的是第6项，即T6＝C(2x)5＝672x5.
第三课时
例4 已知(2x－1)n二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则C＋C＋C＋…＋C的值为( )
A．28 B．28－1 C．27 D．27－1
【错解】 设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，
令A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋…，
由题意知B－A＝38.
令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，
∴(a0＋a2＋…)－(a1＋a3＋…)＝(－3)n
∴B－A＝(－3)n＝38，∴n＝8.
由二项式系数性质可得，a＋a＋…＋C＝2n＝28
【答案】 A
【错因分析】 误将C＋C＋…＋C看作是二项展开式各项二项式系数和，忽略了C.
【防范措施】 (1)解答本题应认真审题，搞清已知条件以及所要求的结论，避免失误．
(2)解决此类问题时，要对二项式系数的性质熟练把握，尤其是赋值法，要根据题目的要求，灵活赋给字母所取的不同值．
【正解】 设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.
则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋….
由已知可知：B－A＝38.令x＝－1，
得：a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，
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即：(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－ (a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n，
即：B－A＝(－3)n.∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8.
由二项式系数性质可得：
C＋C＋C＋…＋C＝2n－C＝28－1.
【答案】 B
二项式系数的有关性质的形成过程体现了观察——归纳——猜想——证明的数学方法，并且在归纳证明的过程中应用了函数、方程等数学思想，大致对应如下：
对称性应用了组合数的性质增减性与最大值应用了组合数公式、
分类讨论思想等系数和应用了赋值法、方程思想
1．(a＋b)7的各二项式系数的最大值为( )
A．21 B．35 C．34 D．70
【答案】 B
2．在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项二项式系数相同的项是( )
A．第15项 B．第16项
C．第17项 D．第18项
【解析】 由二项式系数的性质知与第6项系数相等的项应为倒数第6项，即第16项．
【答案】 B
3．(1＋2x)2n的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是第________项．
【解析】 (1＋2x)2n的展开式中共有2n＋1项，中间一项的系数最大，即第n＋1项．
【答案】 n＋1
4．已知(1－2x＋3x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14，试求：
(1)a0＋a1＋a2＋…＋a14；
(2)a1＋a3＋a5＋…＋a13.
【解】 (1)在已知等式中令x＝1，则得：
a0＋a1＋a2＋…＋a13＋a14＝27＝128.①
(2)在已知等式中令x＝－1，则得：
a0－a1＋a2－a3＋…－a13＋a14＝67.②
①－②得：
2(a1＋a3＋a5＋…＋a13)＝27－67＝－279 808.
因此，a1＋a3＋a5＋…＋a13＝－139 904.
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