综合法和分析法
一、教学目标:
(一)知识与技能:
结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合
法;了解分析法和综合法的思考过程、特点。
(二)过程与方法:
培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力;
(三)情感、态度与价值观:
通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点:
了解分析法和综合法的思考过程、特点
三、教学难点:
分析法和综合法的思考过程、特点
四、教学过程:
(一)导入新课:
合情推理分归纳推理和类比推理,所得的结论的正确性是要证明的。数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。本节我们将学习两类基本的证明方法:直接证明与间接证明。
(二)推进新课:
1. 综合法
在数学证明中,我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发,通过推理推导出所要的结论。例如:
已知a,b>0,求证
教师活动:给出以上问题,让学生思考应该如何证明,引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。
学生活动:充分讨论,思考,找出以上问题的证明方法
设计意图:引导学生应用不等式证明以上问题,引出综合法的定义
证明:因为,
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所以。
因为,
所以。
因此 。
一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种方法叫做综合法。
用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论,则综合法可表示为:
综合法的特点是:由因导果,即由已知条件出发,利用已知的数学定理、性质和公式,推出结论的一种证明方法。
例1、在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为,且A,B,C成等差数列, 成等比数列,求证△ABC为等边三角形.
分析:将 A , B , C 成等差数列,转化为符号语言就是2B =A + C; A , B , C为△ABC的内角,这是一个隐含条件,明确表示出来是A + B + C =; a , b,c成等比数列,转化为符号语言就是.此时,如果能把角和边统一起来,那么就可以进一步寻找角和边之间的关系,进而判断三角形的形状,余弦定理正好满足要求.于是,可以用余弦定理为工具进行证明.
证明:由 A, B, C成等差数列,有 2B=A + C . ①
因为A,B,C为△ABC的内角,所以 A + B + C=. ②
由①② ,得 B=. ③
由a, b,c成等比数列,有 . ④
由余弦定理及③,可得
.
再由④,得 .
即 ,
因此 .
- 9 -
从而 A=C.
由②③⑤,得
A=B=C=.
所以△ABC为等边三角形.
注:解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言转换成符号语言,或把符号语言转换成图形语言等.还要通过细致的分析,把其中的隐含条件明确表示出来.
例2、已知求证
分析:本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
证明:1) 差值比较法:注意到要证的不等式关于对称,不妨设
,从而原不等式得证。
2)商值比较法:设
故原不等式得证。
注:比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是:作差(或作商)、变形、判断符号。
2. 分析法
证明数学命题时,还经常从要证的结论 Q 出发,反推回去,寻求保证 Q 成立的条件,即使Q成立的充分条件P1,为了证明P1成立,再去寻求P1成立的充分条件P2,为了证明P2成立,再去寻求P2成立的充分条件P3,…… 直到找到一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止。
例如:基本不等式 (a>0,b>0)的证明就用了上述方法。
要证
,
只需证
,
只需证
- 9 -
,
只需证
由于显然成立,因此原不等式成立。
一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止。这种方法叫做分析法。
分析法可表示为:
分析法的特点是:执果索因
例3、求证。
分析:从待证不等式不易发现证明的出发点,因此我们直接从待证不等式出发,分析其成立的充分条件。
证明:因为都是正数,所以为了证明
,
只需明
,
展开得
,
只需证
,
因为成立,所以
成立。
在本例中,如果我们从“21〈25”出发,逐步倒推回去,就可以用综合法证出结论。但由于我们很难想到从“21