10.2《二元一次方程组的解法》
课程分析
《二元一次方程组的解法》是青岛版教科书 七年级（下）第十章《二元一次方程组》的第二节（两课时）.第2课时，让学生学习了二元一次方程组的解法——代入消元法.本节课为第2课时，学习二元一次方程组的另一解法——加减消元法。
加减消元法也是解二元一次方程组的基本方法之一，它要求两个方程中必须有某一个未知数的系数的绝对值相等（或利用等式的基本性质在方程两边同时乘以一个适当的不为0的数，使两个方程中某一个未知数的系数的绝对值相等），然后利用等式的基本性质在方程两边同时相加或相减消元。
学情分析
七年级的学生在学习习惯和学习能力方面都有了一定的基础，在学习本节之前，学生已经掌握了有理数、整式的运算、一元一次方程等知识，了解了二元一次方程、二元一次方程组等基本概念，具备了进一步学习二元一次方程组的解法的基本能力。因此，本节课我采取让学生自己观察，大胆动手操作、分组讨论和交流，归纳总结等方法，把课堂还给学生，充分调动学生的学习积极性。本班学生思维比较活跃，踊跃回答问题，因此在教学过程中要激励他们发散的思考问题，提出不同的见解，发表自己的看法，使学生成为课堂的主人。
设计思路
为了深入进行诱思探究常态化，使诱思探究工作落实到实处，在课堂上应清楚的意识到，课堂是学生的天地，不是教师表演的舞台，要使课堂变为师生互动的舞台，要把课堂充分的还给学生，充分调动学生学习的积极性。我运用张熊飞教授的“学生为主体，教师为引导，问题为核心，体验为红线”的探究性课堂教学方式，变“满堂教”为“满堂学”。使学生在教师的导向性信息指引下，亲自动手，合作交流，实现课堂的“七动”。
二元一次方程组的解法是本节课的关键，所以本节课设计了三个认知层次：“回忆旧知、直观感知”，“自主合作、探究新知”，“学以致用、提高能力”。 回忆旧知是为了学生发现新旧知识的一致性和不同点形成完整知识结构而准备，在这过程中，教师用导向性信息引导学生“独立完成”、“小组讨论”、“上台展示”等，诱导学生完成学习任务。探究新知的过程采用“实践出真知”的方法，引导学生动手实际操作，让学生动手、动口、动脑自主合作探索新知识，突破本课的难点。运用新知识解决实际问题的过程，设计了练习题，学生独立完成，在同桌互评，不断优化学生的解题思路，规范学生的解题过程。利用多媒体课件，增加教学的直观性，激发学生的学习兴趣，同时提高课堂效率。
学习目标
1．会用加减消元法解二元一次方程组。
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2.让学生在自主探索和合作交流中，进一步理解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想。
3.通过对具体的二元一次方程组的观察、分析，选择恰当的方法解二元一次方程组，培养学生的观察、分析能力。
4．通过学生比较两种解法的差别与联系，体会透过现象抓住事物的本质这一认识方法。
教学流程
一、回忆旧知、直观感知
「课件投影」怎样解下面的二元一次方程组呢？
解1：把②变形，得：, ③
把③代入①，得：,
解得：.
把代入②，得：.
所以方程组的解为.
解2：由②得, ③
把当做整体将③代入①，得：,
解得：.
把代入③，得：.
所以方程组的解为.
学生可能的解答方案3：
解3：根据等式的基本性质
方程①+方程②得：,
解得：,
把代入①，解得：,
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所以方程组的解为.
通过上面的练习发现，同学们对代入消元法都掌握得很好了，基本上都能够按要求解出二元一次方程组的解（如方案1），可是也有同学发现（方案2）的解法比（方案1）的解法简单，他是将5y作为一个整体代入消元，依然体现了代入法的核心是代入“消元”，通过“消元”，使“二元”转化为“一元”，从而使问题得以解决，那么（方案3）的解法又如何？它达到“消元”的目的了吗?
引导学生发现方程①和②中的5y和－5y互为相反数，根据相反数的和为零（方案3）将方程①和②的左右两边相加，然后根据等式的基本性质消去了未知数y，得到了一个关于x的一元一次方程，从而实现了化“二元”为“一元”的目的.这就是我们这节课要学习的二元一次方程组的解法中的第二种方法——加减消元法。
「设计意图：在练习的过程中学会思考、分析，通过思考自然地得出我们要研究和解决的问题。」
「简要实录：让同学上黑板上板书，前两种方法是上一节课的内容，第三种解发是今天要学习的第二种解二元一次方程的组的方法，通过等式加减直接消去这个未知数呢？通过学生练习、对比、讨论，既巩固了已学的用代入法解二元一次方程组的知识，又在此过程中发现了新的解二元一次方程组的方法——加减消元法。」
二、自主合作 讲授新知
「课件投影：」下面我们就用刚才的方法解下面的二元一次方程组。
例 解下列二元一次方程组
解：②-①，得：,
解得：,
把代入①，得：,
解得：,
所以方程组的解为.
「设计意图：引导学生大胆猜想，使学生体会探索数学问题是从猜想开始，培养学生体会
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“想---做---想”的数学教学过程，通过此活动让学生发现问题的解决方法。」
「简要实录：采用分组讨论，合作交流的形式，引导学生猜想，让他们在讨论的过程中发现解二元一次方程组的另一种方法——加减消元法。学生计算完成后，口算检验，让学生养成进行检验的习惯，同时注意以下两点，(1)注意解此题的易错点是②-①时是（2x+3y）-(2x-5y)=-1-7，方程左边去括号时注意符号.另外解题时，①-②或②-①都可以消去未知数x，不过在①-②得到的方程中，y的系数是负数，所以在上面的解法中选择②-①；(2)把y＝-1代入①或②，最后结果是一样的，但我们通常的作法是将所求出的一个未知数的值代入系数较简单的方程中求出另一个未知数的值。学生分组讨论后归纳出下面的一些规律：在方程组的两个方程中，若某个未知数的系数是相反数，则可直接把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；若某个未知数的系数相等，可直接把这两个方程的两边分别相减，消去这个未知数得到一个一元一次方程，从而求出它的解。这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。」
［课件投影］
「设计意图：充分体现学生的主观能动性，让他们动手做、动口议、动脑思、从而经历知识的产生过程，通过小组合作，培养学生团结合作的学习态度。」
1.对于用加减消元法解，x、y的系数既不相同也不是相反数，没有办法用加减消元法。
2.是不是可以这样想，将方程组中的方程用等式的基本性质将这个方程组中的x或y的系数化成相等(或互为相反数)的情形，再用加减消元法，达到消元的目的。
3.只要在方程①和方程②的两边分别除以2和3，x的系数不就变成“1”了吗？这样就可以用加减消元法了。
4.不同意3的做法.如果这样做，是可以解决这一问题，但y的系数和常数项都变成了分数，这样解是不是变麻烦了吗？那还不如用代入消元法了.不如找x的系数2和3的最小公倍数6，在方程①两边同乘以3，得③,在方程②两边同乘以2，得④,然后③-④，就可以将x消去，得,把代入①得，.所以方程组的解为
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「简要实录：学生都能很好的独立完成此方程组的求解，在学习数学的过程中，二元一次方程组中未知数的系数不一定刚好是1或-1，或同一个未知数的系数刚好相同或相反.我们遇到的往往就是这样的方程组，我们要想比较简捷地把它解出来，就需要转化为同一个未知数系数相同或相反的情形，从而用加减消元法，达到消元的目的.请大家把解答过程写出来。」
解：①×3，得：， ③
②×2,得：， ④
③－④，得：.
将代入①，得：.
所以原方程组的解是.
「课件投影」根据上面几个方程组的解法，请同学们思考下面两个问题：
(1)加减消元法解二元一次方程组的基本思路是什么？
(2)用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些？
「设计意图：利用讨论，使学生切身体会到解二元一次方程组的方法，让学生在实际操作中学习解题方法。使学生明确使用加减法的条件，体会在某些条件下使用加减法的优越性。」
「简要实录：由学生分组讨论、总结并请学生代表发言：(1)用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”。(2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤是：①变形----找出两个方程中同一个未知数系数的绝对值的最小公倍数，然后分别在两个方程的两边乘以适当的数，使所找的未知数的系数相等或互为相反数。②加减消元，得到一个一元一次方程.③解一元一次方程。④把求出的未知数的解代入原方程组中的任一方程，求出另一个未知数的值，从而得方程组的解。通过本环节的学习，加深和巩固了学生对加减消元法的认识。」
「课件投影」回忆上一节的练习和习题，看哪些题用代入消元法解起来比较简单？哪些题我们用加减消元法简单？我们分组讨论，并派一个代表阐述自己的意见，试说明两种解方程组的方法的共同特点和各自的优势。
「设计意图：有了前面的铺垫，学生通过独立思考回答下列问题就非常容易，这也就是加强了学生对知识的应用。」
「简要实录：学生自己总结出1.关于二元一次方程组的两种解法：代入消元法和加减消元法，通过比较，我们发现其实质都是消元，即通过消去一个未知数，化“二元”为“一元”
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。2.只有当方程组的某一方程中某一未知数的系数的绝对值是1时，用代入消元法较简单，其他的用加减消元法较简单。」
三、学以致用 提高能力
①选择：二元一次方程组的解是（ ）.
A. B. C. D.
②，求x,y的值.
「设计意图：通过练习，使学生熟练地用加减法解二元一次方程组并能在练习中摸索运算技巧，培养能力。」
「简要实录：通过本环节的练习，学生能够较熟练地运用加减法解二元一次方程组，学生都能很快的并且正确的解答。」
四： 勤于总结 新旧联系
1.关于二元一次方程组的两种解法：代入消元法和加减消元法.比较这两种解法我们发现其实质都是消元，即通过消去一个未知数，化“二元”为“一元”。
2. 用加减消元法解方程组的条件：某一未知数的系数的绝对值相等。
3. 用加减法解二元一次方程组的步骤：
①变形，使某个未知数的系数绝对值相等。
②加减消元。
③解一元一次方程。
④求另一个未知数的值，得方程组的解。
「设计意图：巩固和加深对化归思想的理解和运用。」
「简要实录：学生能够在课堂上畅所欲言，并通过自己的归纳总结，进一步巩固了所学知识。」
五、课后反思
“ 解二元一次方程组 ” 是 “ 二元一次方程组 ”一章中很重要的知识 , 占有重要的地位。通过本节课的教学 ,让学生通过探索、尝试、比较等活动去发现二元一次方程组的解法，体会消元化归的数学思想，会用加减消元法解二元一次方程组 。
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最初，对教材进行分析时，看到教材明确提出了消元思想，我就想：这是否意味着“消元思想”也是本课的一个教学内容？所以在最初的教学设计中反反复复的强调“消元”，把它看作一个教学内容而不停的向学生说教，并没有真正理解数学思想方法的内涵。经过实践后发现，教学效果并不理想，一堂课下来，学生对于如何用代入法解二元一次方程组还是很模糊，解方程组的过程也不规范。尽管数学思想和数学方法在本质上虽有区别，但是一个有机的整体，教学设计把“思想”和“方法”分割开来，分别“教学”，有违数学思想方法教学的“‘过程性’，循序渐进、逐渐逼近思想本质”这一基本原则，没有搞清楚这节课到底要“教会”学生什么。加减消元法是解二元一次方程组的一种方法，消元化归的数学思想仅仅是“蕴含”其中，“方法”是“有形”的、“思想”是“无形”的。教材之所以提出“消元思想”是缘于提出解方程组的方法策略，指导学生寻求解方程组的解法。所以应以“教会学生用代入法解方程组”为教学的指导思想，经过修改后的教学流程是这样的：探究方法→归纳方法→尝试解方程组→归纳一般步骤→深化练习在前两个环节中，让学生在探究、归纳方法的过程中去“体会”消元化归思想，在脑海中形成初步的印象；接着让学生在运用解法解方程的具体实践中去“体验”消元化归思想；最后在深化练习的过程中去加深对解法本质的理解。 基于在本课教学设计与实践中的一些感受，我想，对于数学思想方法的教学应着眼于在对数学方法的探究、归纳中初步“体会”、在方法实践中“体验”、在深化练习中加深对数学思想方法内涵的理解。《方程组是方程内容的深化和发展，二元一次方程组是方程组内容的开端，而二元一次方程组在数学学科和实际生活中有着广泛的应用。诱导学生慢慢地体验和感受，只要多加练习，一定会即快又准。课后，对少数中、下学生，及时跟踪、辅导，使他们对二元一次方程组的解法能及时掌握，督促他们课后复习，达到熟练掌握的目的。
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