《简单的轴对称图形》
【教学目标】
1.知识与技能
（1）探索线段垂直平分线的性质，并利用性质解决问题。
（2）会利用尺规作图作角平分线。
2.过程与方法
在探索轴对称性质的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
3.情感态度和价值观
学生在自主探索获得正确的学习方式和良好的情感体验。
【教学重点】
探索轴对称的性质。
【教学难点】
利用轴对称的性质解决问题。
【教学方法】
自学与小组合作学习相结合的方法。
【课前准备】
教学课件。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、复习导入
【过渡】在前两节课的学习中，我们学习了两种简单的轴对称图形：等腰三角形和线段，并通过亲自动手，探索了这两种轴对称图形的性质。现在，大家一起来回忆一下这两张轴对称图形都有什么样的性质吧？
（学生回答）
等腰三角形的性质：等边对等角；三线合一
线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
【过渡】在性质的学习过程中，我们也练习了如何正确的利用这些性质。今天，我们就来学习一下另一个简单的轴对称图形——角。究竟角都具有哪些性质呢？和之前的学习方法一样，我们一起来动手探究一下吧。
二、新课教学
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1．角平分线的性质
【过渡】现在，请大家拿出一张纸，任意画出一个角，并将其标为∠AOB，然后，我们用剪刀将其剪下。
【过渡】我们首先来思考第一个问题，角是轴对称图形吗？
根据轴对称图形的定义，以及我们前两节课的学习，大家知道该如何给出这个答案吗？
（学生回答）
【过渡】没错，就是对折。现在，请大家将手中的角进行对折，使角的两边重合，大家能得到什么样的结论呢？
【过渡】角是轴对称图形。
【过渡】现在，我们把刚刚的折痕画出来，我们发现，折痕将角分成了两个小角，我们将这两个角标为∠1和∠2，根据刚刚的对折，大家能说出这两个角的关系吗？
（学生回答）
【过渡】根据刚刚的对折，我们知道，这两个角是重合的，也就是说∠1=∠2。因此，我们知道，对于一个角而言，对称轴所在的直线是角平分线。
【过渡】通过刚刚的动手，我们可以得出这样的结论：
角是轴对称图形；
角的对称轴是角的平分线所在的直线。
【过渡】接下来，我们继续进行探究。
在∠AOB的角平分线上任意取一点C，分别折出过点C且与角两边垂直的直线，垂足分别为D、E，再次对折，线段CD与CE能重合吗？
【过渡】通过对折，我们发现，CD=CE。
如果改变C的位置，还能得到同样的结论吗？
（学生动手，回答）
【过渡】通过刚刚的动手，我们得到关于角平分线的性质：
角平分线上的点到角两边的距离相等。
【过渡】那么在实际问题中，这个性质该如何运用呢？我们一起来看一个例题。
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是角平分线，DE⊥AB．垂足为E．求证：BE=DE=CD。
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【过渡】要解决这个问题，我们首先想到三角形全等及角平分线。而题目中给出的有角平分线，因此，我们利用角平分线的性质来解决问题。
根据角平分线的性质，我们能够轻易的的得到CD=DE。
又由题意得到△ABC是等腰三角形，得到∠B=45°，进而得到△BDE是等腰三角形，得到BE=DE。由此，题目结论得以证明。
课件展示证明过程。
【过渡】在学习线段垂直平分线的时候，我们学习了对于一个三角形而言，三条边对应的中垂线交于一点，那么对于角平分线来说，是否也交于一点呢？我们来看下边的问题。
如图，△ABC的角平分线BM，CN交于点P。
（1）试说明点P到AB，BC，CA三边的距离相等；
（2）点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形三条角平分线有什么关系？
【过渡】大家一起动手来解决一下这个问题吧。
课件展示解题过程。
【过渡】从刚刚的问题中，我们学到了三角形三条角平分线相交于一点。
同时，对于第二个问题，我们也知道了，角平分线的判定作用：通过线段相等证明是否是角平分线。
【过渡】既然我们学习了角平分线的性质，那么我们利用尺规作图该如何作出一个角的平分线呢？
讲解课本例题。
【过渡】这节课呢，我们主要学习了角平分线的性质，大家来总结一下。
【过渡】现在，我们来学习一下如何利用角平分线解决实际问题。
如图，两条公路OA、OB相交于点O，在∠AOB的内部有两个村庄C、D，若要修一个加油站P，使P到两个村庄的距离相等，且到两条公路OA、OB的距离也相等，用尺规作出加油站P点的位置。
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【过渡】结合角平分线的性质，要到两条公路的距离相等，就需要作出角平分线，而到两点的距离相等，我们自然想到线段的垂直平分线，因此，作出这两条线的交点，就是我们需要的点。
【过渡】我们再来看一下课本想一想的内容。
如图，在Rt△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB,垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？
【过渡】分析题目，我们看到有角平分线，同时又有两个垂直，自然根据角平分线的性质，得到DE=DC。
这个问题也给我们一定的启示。在解决问题时，若出现角平分线，可以考虑添加适当的辅助线，利用角平分线的性质。
【学以致用】1、如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ D ）
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三边的中垂线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三条角平分线的交点
2、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线，AD=10，则点D到AB的距离是（ B ）
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A．8 B．5 C．6 D．4
3、如图，在△ABC中，∠B=90°，∠BAC=∠C，ED⊥AC于点D，且DE=BE，求∠AED的度数。
解：∵∠B=90°，∠BAC=∠C，
∴∠BAC=∠C=45°，
∵DE=BE，∠B=90°，ED⊥AC，
∴∠BAE=∠DAE=22.5°，又ED⊥AC，
∴∠AED=67.5°。
4、如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于E点，DF⊥AB于F点．若AB+AC=18，S△ABC=36，求DF的长。
解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于E点，DF⊥AB于F点，
∴DF=DE，
∵S△ABD+S△ADC=S△ABC，
∴ ×AB×DF+ ×AC×DE=36，
又AB+AC=18，
∴DF=DE=4。
5、如图，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC=PD，Q是OP上一点，QE⊥OA于点E，QF⊥OB于点F，求证：QE=QF。
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证明：∵PC=PD，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，
∴OP是∠AOB的平分线，又QE⊥OA于点E，QF⊥OB于点F，
∴QE=QF．
6、已知△ABC，请你在下列各图中判断点P到△ABC三边的距离是否相等，并证明你的结论．
（1）如图①，已知内角∠ABC，∠ACB的平分线交于点P；
（2）如图②，已知内角∠ABC的平分线与外角∠ACE的平分线交于点P；
（3）如图③，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线BP，CP交于点P。
解：（1）点P到△ABC三边的距离相等，
∵BP是内角∠ABC的平分线，
∴点P到BA、BC的距离相等，
∵CP是∠ACB的平分线，
∴点P到CB、CA的距离相等，
∴点P到△ABC三边的距离相等；
（2）点P到△ABC三边的距离相等，
∵BP是内角∠ABC的平分线，
∴点P到BA、BC的距离相等，
∵CP是外角∠ACE的平分线，
∴点P到CB、CA的距离相等，
∴点P到△ABC三边的距离相等；
（3）点P到△ABC三边的距离相等，
∵BP是内外角∠DBC的平分线，
∴点P到BA、BC的距离相等，
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∵CP是外角∠BCE的平分线，
∴点P到CB、CA的距离相等，
∴点P到△ABC三边的距离相等。
【板书设计】
1、角的平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
【教学反思】
通过大量的动手操作，力图让学生用自己的思维方式自由开放地去探索、去发现、去创造，使学生通过大量的感性经验形成表象，进一步体会轴对称的含义。通过动手探索，掌握角平分线的性质，感受对称图形的内在美，并通过大量的练习，巩固学生对于角平分线性质的掌握。
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