人教A版高中数学必修5讲义：1．1正弦定理和余弦定理.doc

天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎　 ‎1．1.1　正弦定理 ‎　预习课本P2～3，思考并完成以下问题 ‎ ‎(1)直角三角形中的边角之间有什么关系？‎ ‎(2)正弦定理的内容是什么？利用它可以解哪两类三角形？‎ ‎(3)解三角形的含义是什么？‎ ‎1．正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎[点睛]　正弦定理的特点 ‎(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．‎ ‎(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．‎ ‎(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．‎ ‎2．解三角形 一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．‎ ‎1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)正弦定理适用于任意三角形(　　)‎ ‎(2)在△ABC中，等式bsin A＝asin B总能成立(　　)‎ ‎(3)在△ABC中，已知a，b，A，则此三角形有唯一解(　　)‎ 解析：(1)正确．正弦定理适用于任意三角形．‎ ‎(2)正确．由正弦定理知＝，即bsin A＝asin B.‎ ‎(3)错误．在△ABC中，已知a，b，A，此三角形的解有可能是无解、一解、两解的情况，具体情况由a，b，A的值来定．‎ 答案：(1)√　(2)√　(3)×‎ ‎2．在△ABC中，下列式子与的值相等的是(　　)‎ A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选C　由正弦定理得，＝，‎ 所以＝.‎ ‎3．在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，则b等于(　　)‎ A．5 B．10 C. D．5 解析：选B　由正弦定理得，b＝＝＝10.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎4．在△ABC中，A＝，b＝2，以下错误的是(　　)‎ A．若a＝1，则c有一解　　 B．若a＝，则c有两解 C．若a＝，则c无解 D．若a＝3，则c有两解 解析：选D　a＝2 sin＝1时，c有一解；当aB＝45°.∴A＝60°或120°.‎ 当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝＝＝；‎ 当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝＝＝.‎ 综上可知：A＝60°，C＝75°，c＝或A＝120°，C＝15°，c＝.‎ 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法 ‎(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．‎ ‎(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．‎ ‎(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．‎ ‎ ‎ ‎[活学活用]‎ 在△ABC中，c＝，C＝60°，a＝2，求A，B，b.‎ 解：∵＝，∴sin A＝＝.‎ ‎∴A＝45°或A＝135°.‎ 又∵c>a，∴C>A.∴A＝45°.‎ ‎∴B＝75°，b＝＝＝＋1.‎ 三角形形状的判断 ‎[典例]　在△ABC中，acos＝bcos，判断△ABC的形状．‎ 解：[法一　化角为边]‎ ‎∵acos＝bcos，‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎∴asin A＝bsin B．由正弦定理可得：a·＝b·，‎ ‎∴a2＝b2，∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形．‎ ‎[法二　化边为角]‎ ‎∵acos＝bcos，‎ ‎∴asin A＝bsin B.‎ 由正弦定理可得：2Rsin2A＝2Rsin2B，即sin A＝sin B，‎ ‎∴A＝B.(A＋B＝π不合题意舍去)‎ 故△ABC为等腰三角形．‎ 利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径 ‎(1)化角为边．将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：sin A＝，sin B＝，sin C＝.‎ ‎(2)化边为角．将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C．　　　　‎ ‎[活学活用]‎ 在△ABC中，已知acos A＝bcos B，试判断△ABC的形状．‎ 解：由正弦定理，＝＝＝2R，所以acos A＝bcos B可化为sin A cos A＝sin Bcos B，sin 2A＝sin 2B，又△ABC中，A，B，C∈(0，π)，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，所以△ABC的形状为等腰或直角三角形．‎ 层级一　学业水平达标 ‎1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是(　　)‎ A. B. C. D. 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 解析：选A　根据正弦定理得＝＝.‎ ‎2．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是(　　)‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 解析：选B　由题意有＝b＝，则sin B＝1，‎ 即角B为直角，故△ABC是直角三角形．‎ ‎3．在△ABC中，若＝，则C的值为(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．90°‎ 解析：选B　由正弦定理得，＝＝，‎ 则cos C＝sin C，即C＝45°，故选B.‎ ‎4．△ABC中，A＝，B＝，b＝，则a等于(　　)‎ A．1 B．2‎ C. D．2 解析：选A　由正弦定理得＝，‎ ‎∴a＝1，故选A.‎ ‎5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝bsin A，则sin B＝(　　)‎ A. B. C. D．－ 解析：选B　由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，所以sin A＝sin Bsin A，故sin B＝.‎ ‎6．下列条件判断三角形解的情况，正确的是______(填序号)．‎ ‎①a＝8，b＝16，A＝30°，有两解；‎ ‎②b＝18，c＝20，B＝60°，有一解；‎ ‎③a＝15，b＝2，A＝90°，无解；‎ ‎④a＝40，b＝30，A＝120°，有一解．‎ 解析：①中a＝bsin A，有一解；②中csin Bb且A＝120°，有一解．综上，④正确．‎ 答案：④‎ ‎7．在△ABC中，若(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝sin2C，则△ABC的形状是________．‎ 解析：由已知得sin2A－sin2B＝sin2C，根据正弦定理知sin A＝，sin B＝，sin C＝，‎ 所以2－2＝2，‎ 即a2－b2＝c2，故b2＋c2＝a2.所以△ABC是直角三角形．‎ 答案：直角三角形 ‎8．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则＝________.‎ 解析：由正弦定理及已知得＝，∴＝2.‎ 答案：2‎ ‎9．已知一个三角形的两个内角分别是45°，60°，它们所夹边的长是1，求最小边长．‎ 解：设△ABC中，A＝45°，B＝60°，‎ 则C＝180°－(A＋B)＝75°.‎ 因为C>B>A，所以最小边为a.‎ 又因为c＝1，由正弦定理得，‎ a＝＝＝－1，‎ 所以最小边长为－1.‎ ‎10．在△ABC中，已知a＝2，A＝30°，B＝45°，解三角形．‎ 解：∵＝＝，‎ ‎∴b＝＝＝＝4.‎ ‎∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，‎ ‎∴c＝＝＝ ‎＝4sin(30°＋45°)＝2＋2.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 层级二　应试能力达标 ‎1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c＝a，B＝30°，那么角C等于(　　)‎ A．120°　　　　　　　　　 B．105°‎ C．90° D．75°‎ 解析：选A　∵c＝a，∴sin C＝sin A＝sin(180°－30°－C)＝sin(30°＋C)＝，即sin C＝－cos C，∴tan C＝－.又0°