人教A版高中数学必修5讲义：1．2应用举例.doc

天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎　 第一课时　解三角形的实际应用举例 ‎　预习课本P11～16，思考并完成以下问题 ‎ ‎(1)方向角和方位角各是什么样的角？‎ ‎(2)怎样测量物体的高度？‎ ‎(3)怎样测量物体所在的角度？‎ ‎　　　 ‎ 实际测量中的有关名称、术语 名称 定义 图示 仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时l与水平线的夹角 俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线l下方时与水平线的夹角 方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°)‎ 方位角 从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角 ‎1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)已知三角形的三个角，能够求其三条边(　　)‎ ‎(2)两个不可到达的点之间的距离无法求得(　　)‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎(3)方位角和方向角是一样的(　　)‎ 解析：(1)错误，要解三角形，至少知道这个三角形的一条边长．‎ ‎(2)错误，两个不可到达的点之间的距离我们可以借助第三个点和第四个点量出角度、距离求得．‎ ‎(3)错误．方位角是指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，而方向角是以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)．‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)×‎ ‎2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的(　　)‎ A．北偏东15°　　　　　　 B．北偏西15°‎ C．北偏东10° D．北偏西10°‎ 解析：选B　如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，‎ 而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.‎ ‎∴点A在点B的北偏西15°.故选B.‎ ‎3．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为(　　)‎ A．α＞β B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°‎ 解析：选B　根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图．知α＝β，故应选B.‎ ‎4.已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为1 km，船B在灯塔C西偏北25°且到C的距离为 km，则A，B两船的距离为________km.‎ 解析：由题意得∠ACB＝(90°－25°)＋85°＝150°，‎ 又AC＝1，BC＝，由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 150°＝7，∴AB＝.‎ 答案： 测量高度问题 ‎[典例]　如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 在同一水平面内的两点C与D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.‎ ‎[解]　在△BCD中，‎ ‎∠CBD＝π－(α＋β)．‎ 由正弦定理得＝.‎ ‎∴BC＝＝.‎ 在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝.‎ 测量高度问题的解题策略 ‎(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．‎ ‎(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．‎ ‎　　‎ ‎[活学活用]‎ ‎1．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的A处测得水柱顶端的仰角为45°，沿A向北偏东30°方向前进100 m到达B处，在B处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是(　　)‎ A．50 m　　　　　　　 B．100 m C．120 m D．150 m 解析：选A　如图，设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2×h×100×cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，解得h＝50或h＝－100(舍去)，故水柱的高度是50 m.‎ ‎2.如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000 m到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为________m.‎ 解析：因为∠SAB＝45°－30°＝15°，‎ ‎∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°，‎ 所以∠ASB＝180°－∠SAB－∠SBA＝135°.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 在△ABS中，AB＝＝＝1 000，‎ 所以BC＝AB·sin 45°＝1 000×＝1 000(m)．‎ 答案：1 000‎ 测量角度问题 ‎[典例]　如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋) n mile的两个观测点．现位于A点北偏东45°方向、B点北偏西60°方向的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20 n mile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h，则该救援船到达D点需要多长时间？‎ ‎[解]　由题意，知AB＝5(3＋) n mile，‎ ‎∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，‎ ‎∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.‎ 在△DAB中，由正弦定理得＝，‎ 即BD＝＝ ‎＝ ‎＝10 n mile.‎ 又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝60°，BC＝20 n mile，‎ ‎∴在△DBC中，由余弦定理，得 CD＝ ‎＝ ‎＝30 n mile，‎ 则救援船到达D点需要的时间为＝1 h.‎ 测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等．‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量．通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．‎ ‎　　　‎ ‎　[活学活用]‎ ‎　在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？‎ 解：设缉私船用t h在D处追上走私船，画出示意图，‎ 则有CD＝10t，BD＝10t，‎ 在△ABC中，∵AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°，‎ ‎∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(－1)2＋22－2·(－1)·2·cos 120°＝6，‎ ‎∴BC＝，且sin∠ABC＝·sin∠BAC＝·＝，‎ ‎∴∠ABC＝45°，BC与正北方向成90°角．‎ ‎∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝＝＝，‎ ‎∴∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.‎ 测量距离问题 题点一：两点间不可通又不可视 ‎1.如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离．‎ 即AB＝.‎ 若测得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，试计算AB的长．‎ 解：在△ABC中，由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，‎ ‎∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000.‎ ‎∴AB＝200 (m)．‎ 即A，B两点间的距离为200 m.‎ 题点二：两点间可视但有一点不可到达 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎2.如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出A，B的距离，其方法在A所在的岸边选定一点C，可以测出A，C的距离m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.‎ 若测出AC＝60 m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为________ m.‎ 解析：∠ABC＝180°－75°－45°＝60°，‎ 所以由正弦定理得，＝，‎ ‎∴AB＝＝＝20(m)．‎ 即A，B两点间的距离为20 m.‎ 答案：20 题点三：两点都不可到达 ‎3.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.‎ 若测得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．‎ 解：∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，‎ ‎∴∠DAC＝60°，‎ ‎∴AC＝DC＝.‎ 在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，得BC＝·sin∠BDC＝·sin 30°＝.‎ 在△ABC中，由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 45°‎ ‎＝＋－2×××＝.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎∴AB＝(km)．‎ ‎∴A，B两点间的距离为 km.‎ 当A，B两点之间的距离不能直接测量时，求AB的距离分为以下三类：‎ ‎(1)两点间不可通又不可视(如图①)：可取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得：‎ AB＝.‎ ‎(2)两点间可视但不可到达(如图②)：可选取与B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB.‎ ‎(3)两点都不可到达(如图③)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB.‎ ‎　‎ 层级一　学业水平达标 ‎1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为(　　)‎ A．12 m　　　　　　　　　 B．8 m C．3 m D．4 m 解析：选D　由题意知，∠A＝∠B＝30°，‎ 所以∠C＝180°－30°－30°＝120°，‎ 由正弦定理得，＝，‎ 即AB＝＝＝4.‎ ‎2．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为(　　)‎ A. n mile/h B．34 n mile/h 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ C. n mile/h D．34 n mile/h 解析：选A　如图所示，在△PMN中，＝，‎ ‎∴MN＝＝34，∴v＝＝ n mile/h.‎ ‎3.如图，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点仰角分别是β，α(α