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第一课时 数列的概念与简单表示法
预习课本P28～29，思考并完成以下问题
(1)什么是数列？什么叫数列的通项公式？
(2)数列的项与项数一样吗？
(3)数列与函数有什么关系，数列通项公式与函数解析式有什么联系？
1．数列的概念
(1)定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．
(2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．a1称为数列{an}的第1项(或称为首项)，a2称为第2项，…，an称为第n项．
(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．
[点睛] (1)数列中的数是按一定顺序排列的．因此，如果组成两个数列的数相同而排列顺序不同，那么它们就是不同的数列．例如，数列4,5,6,7,8,9,10与数列10,9,8,7,6,5,4是不同的数列．
(2)在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现．例如：1，－1,1，－1,1，…；2,2,2，….
2．数列的分类
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分类标准
名称
含义
按项的个数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
按项的变化趋势
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项相等的数列
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
3．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
[点睛] (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数解析式．
(2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数列1,1,1，…是无穷数列( )
(2)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一个数列( )
(3)有些数列没有通项公式( )
解析：(1)正确．每项都为1的常数列，有无穷多项．
(2)错误，虽然都是由1,2,3,4四个数构成的数列，但是两个数列中后两个数顺序不同，不是同一个数列．
(3)正确，某些数列的第n项an和n之间可以建立一个函数关系式，这个数列就有通项公式，否则，不能建立一个函数关系式，这个数列就没有通项公式．
答案：(1)√ (2)× (3)√
2．在数列－1,0，，，…，，…中，0.08是它的( )
A．第100项 B．第12项
C．第10项 D．第8项
解析：选C ∵an＝，令＝0.08，解得n＝10或n＝(舍去)．
3．数列的通项公式为an＝则a2·a3等于( )
A．70 B．28
C．20 D．8
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解析：选C 由an＝得a2＝2，a3＝10，所以a2·a3＝20.
4．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55，…中，x＝________.
解析：通过观察数列各项的大小关系，发现从第三项起，每项的值都等于前两项值之和，因此x＝5＋8＝13.
答案：13
数列的概念及分类
[典例] 下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )
A．1，，，，…
B．sin ，sin ，sin ，sin ，…
C．－1，－，－，－，…
D．1,2,3,4，…，30
[解析] 数列1，，，，…是无穷数列，但它不是递增数列，而是递减数列；数列sin ，sin ，sin ，sin ，…是无穷数列，但它既不是递增数列，又不是递减数列；数列－1，－，－，－，…是无穷数列，也是递增数列；数列1,2,3,4，…，30是递增数列，但不是无穷数列．
[答案] C
1．有穷数列与无穷数列的判断
判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列．
2．数列单调性的判断
判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足anan＋1，则是递减数列；若满足an＝an＋1，则是常数列；若an与an＋1的大小不确定时，则是摆动数列．
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[活学活用]
给出以下数列：
①1，－1,1，－1，…；
②2,4,6,8，…，1 000；
③8,8,8,8，…；
④0.8,0.82,0.83,0.84，…，0.810.
其中，有穷数列为________；无穷数列为________；递增数列为________；递减数列为________；摆动数列为________；常数列为________．(填序号)
解析：有穷数列为②④；无穷数列为①③；递增数列为②；递减数列为④；摆动数列为①；常数列为③.
答案：②④ ①③ ② ④ ① ③
由数列的前几项求通项公式
[典例] (1)数列，，，，…的一个通项公式是________．
(2)根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式．
①，，，，…；
②－3,7，－15,31，…；
③2,6,2,6，….
[解析] (1)数列可写为：，，，，…，分子满足：3＝1＋2,4＝2＋2,5＝3＋2,6＝4＋2，…，
分母满足：5＝3×1＋2,8＝3×2＋2,11＝3×3＋2,14＝3×4＋2，…，
故通项公式为an＝.
[答案] an＝
(2)解：①均是分式且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上1，第二个因数比第一个因数大2，
∴an＝.
②正负相间，且负号在奇数项，故可用(－1)n来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数次幂减1，
∴an＝(－1)n(2n＋1－1)．
③为摆动数列，一般求两数的平均数＝4，而2＝4－2,6＝4＋2，中间符号用(－1)n
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来表示．
an＝4＋(－1)n·2或an＝
由数列的前几项求通项公式的解题策略
(1)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系．
(2)若n和n＋1项正负交错，那么符号用(－1)n或(－1)n＋1或(－1)n－1来调控．
(3)熟悉一些常见数列的通项公式．
(4)对于复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，要将数列各项的结构形式加以变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳．
[活学活用]
写出下列数列的一个通项公式：
(1)0,3,8,15,24，…；
(2)1，－3,5，－7,9，…；
(3)1，2，3，4，…；
(4)1,11,111,1 111，….
解：(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1，8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是an＝n2－1.
(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)．
(3)此数列的整数部分1,2,3,4，…恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为，故所求的数列的一个通项公式为an＝n＋＝.
(4)原数列的各项可变为×9，×99，×999，×9 999，…，易知数列9,99,999,9 999，…的一个通项公式为an＝10n－1.所以原数列的一个通项公式为an＝(10n－1).
判定数列中项的问题
[典例] 已知数列{an}的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的2倍．
(1)求这个数列的第4项与第25项；
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(2)253和153是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？
[解] (1)由题设条件，知an＝＋2n.
∴a4＝＋2×4＝10，a25＝＋2×25＝55.
(2)假设253是这个数列中的项，则253＝＋2n，解得n＝121.∴253是这个数列的第121项．
假设153是这个数列中的项，则153＝＋2n，解得n＝72，这与n是正整数矛盾，∴153不是这个数列中的项．
已知数列{an}的通项公式，判断某一个数是否是数列{an}的项，即令通项公式等于该数，解关于n的方程，若解得n为正整数k，则该数为数列{an}的第k项，若关于n的方程无解或有解且为非正整数解则该数不是数列{an}中的项．
[活学活用]
数列1，，，，，，，，，，…，则是该数列的( )
A．第127项 B．第128项
C．第129项 D．第130项
解析：选B 把该数列的第一项1写成，再将该数列分组，第一组一项：；第二组两项：，；第三组三项：，，；第四组四项：，，，；…容易发现：每组中每个分数的分子、分母之和均为该组序号加1，且每组的分子从1开始逐一增加，因此应位于第十六组中第八位．由1＋2＋…＋15＋8＝128，得是该数列的第128项．
层级一 学业水平达标
1．有下面四个结论：
①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数；
②数列的项数一定是无限的；
③数列的通项公式的形式是唯一的；
④数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，…不存在通项公式．
其中正确的是( )
A．① B．①② C．③④ D．②④
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解析：选A 结合数列的定义与函数的概念可知，①正确；有穷数列的项数就是有限的，因此②错误；数列的通项公式的形式不一定唯一，③错误；数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，…存在通项公式，④错误．故选A.
2．下列说法正确的是( )
A．数列1,3,5,7与数集{1,3,5,7}是一样的
B．数列1,2,3与数列3,2,1是相同的
C．数列是递增数列
D．数列是摆动数列
解析：选D 数列是有序的，而数集是无序的，所以A，B不正确；选项C中的数列是递减数列；选项D中的数列是摆动数列．
3．数列{an}中，an＝3n－1，则a2等于( )
A．2 B．3
C．9 D．32
解析：选B 因为an＝3n－1，所以a2＝32－1＝3.
4．数列0，，，，，…的一个通项公式是( )
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
解析：选C 已知数列可化为：0，，，，，…，故an＝ .
5．已知数列，，，…，，则0.96是该数列的( )
A．第20项 B．第22项
C．第24项 D．第26项
解析：选C 由＝0.96，解得n＝24.
6．已知数列，，2，，…，则2是该数列的第________项．
解析：∵a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，
∴an＝.
由＝2⇒3n－1＝20⇒n＝7，
∴2是该数列的第7项．
答案：7
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7．数列a，b，a，b，…的一个通项公式是________．
解析：a＝＋，b＝－，故an＝＋(－1)n＋1.
答案：＋(－1)n＋1
8．已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________．
解析：由an＝19－2n>0，得na3＝
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