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第一课时 等差数列的概念及通项公式
预习课本P36～38，思考并完成以下问题
(1)等差数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等差数列？
(2)等差数列的通项公式是什么？
(3)等差中项的定义是什么？
1．等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．
[点睛] (1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．
(2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．
(3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．
2．等差中项
如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．这三个数满足的关系式是A＝.
3．等差数列的通项公式
已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
递推公式
通项公式
an－an－1＝d(n≥2)
an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)
[点睛] 由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，如果设p＝d，q
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＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，an是关于n的一次函数；当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列( )
(2)等差数列{an}的单调性与公差d有关( )
(3)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项( )
(4)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列( )
解析：(1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．
(2)正确．当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d1)，记bn＝.求证：数列{bn}是等差数列．
证明：[法一 定义法]
∵bn＋1＝＝＝，
∴bn＋1－bn＝－＝＝，为常数(n∈N*)．
又b1＝＝，
∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．
[法二 等差中项法]
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∵bn＝，
∴bn＋1＝＝＝.
∴bn＋2＝＝＝.
∴bn＋bn＋2－2bn＋1＝＋－2×＝0.
∴bn＋bn＋2＝2bn＋1(n∈N*)，
∴数列{bn}是等差数列．
等差数列判定的常用的2种方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列．
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列．
[活学活用]
已知，，成等差数列，并且a＋c，a－c，a＋c－2b均为正数，求证：lg(a＋c)，lg(a－c)，lg(a＋c－2b)也成等差数列．
解：∵，，成等差数列，∴＝＋，
∴＝，即2ac＝b(a＋c)．
(a＋c)(a＋c－2b)＝(a＋c)2－2b(a＋c)＝(a＋c)2－2×2ac＝a2＋c2＋2ac－4ac＝(a－c)2.
∵a＋c，a＋c－2b，a－c均为正数，上式左右两边同时取对数得，lg[(a＋c)(a＋c－2b)]＝lg(a－c)2，即lg(a＋c)＋lg(a＋c－2b)＝2lg(a－c)，
∴lg(a＋c)，lg(a－c)，lg(a＋c－2b)成等差数列．
层级一 学业水平达标
1．已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－2n，则它的公差为( )
A．2 B．3
C．－2 D．－3
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解析：选C ∵an＝3－2n＝1＋(n－1)×(－2)，∴d＝－2，故选C.
2．若等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝35，则n＝( )
A．50 B．51
C．52 D．53
解析：选D 依题意，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝4，代入a1＝，得d＝.
所以an＝a1＋(n－1)d＝＋(n－1)×＝n－，令an＝35，解得n＝53.
3．设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是( )
A．a＝－b B．a＝3b
C．a＝－b或a＝3b D．a＝b＝0
解析：选C 由等差中项的定义知：x＝，
x2＝，
∴＝2，即a2－2ab－3b2＝0.
故a＝－b或a＝3b.
4．数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，则a2 015的值是( )
A．1 006 B．1 007
C．1 008 D．1 009
解析：选D 由2an＋1＝2an＋1，得an＋1－an＝，所以{an}是等差数列，首项a1＝2，公差d＝，
所以an＝2＋(n－1)＝，
所以a2 015＝＝1 009.
5．等差数列{an}的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为( )
A．a8 B．a9
C．a10 D．a11
解析：选B |an|＝|70＋(n－1)×(－9)|＝|79－9n|＝9，∴n＝9时，|an|最小．
6．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.
解析：设等差数列{an}的公差为d，
由题意，得
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解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋(n－1)×2＝2n＋1.
∴a6＝2×6＋1＝13.
答案：13
7．已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝________.
解析：根据题意得：
a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－a1＝－1，
∴a1＝1.
又a3＝a1＋2d＝1＋2d＝0，
∴d＝－.
答案：－
8．已知数列{an}满足：a＝a＋4，且a1＝1，an>0，则an＝________.
解析：根据已知条件a＝a＋4，即a－a＝4.
∴数列{a}是公差为4的等差数列，
则a＝a＋(n－1)×4＝4n－3.
∵an>0，∴an＝.
答案：
9．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则数列是否为等差数列？说明理由．
解：数列是等差数列，理由如下：
因为a1＝2，an＋1＝，
所以＝＝＋，
所以－＝(常数)．
所以是以＝为首项，公差为的等差数列．
10．若，，是等差数列，求证：a2，b2，c2成等差数列．
证明：由已知得＋＝，通分有＝.
进一步变形有2(b＋c)(a＋b)＝(2b＋a＋c)(a＋c)，整理，得a2＋c2＝2b2，
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所以a2，b2，c2成等差数列．
层级二 应试能力达标
1．若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q为( )
A．p＋q B．0
C．－(p＋q) D.
解析：选B ∵ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，
∴
①－②，得(p－q)d＝q－p.
∵p≠q，∴d＝－1.
代入①，有a1＋(p－1)×(－1)＝q，∴a1＝p＋q－1.
∴ap＋q＝a1＋(p＋q－1)d＝p＋q－1＋(p＋q－1)×(－1)＝0.
2．已知x≠y，且两个数列x，a1，a2，…，am，y与x，b1，b2，…，bn，y各自都成等差数列，则等于( )
A. B.
C. D.
解析：选D 设这两个等差数列公差分别是d1，d2，则a2－a1＝d1，b2－b1＝d2.第一个数列共(m＋2)项，∴d1＝；第二个数列共(n＋2)项，∴d2＝.这样可求出＝＝.
3．已知数列{an}，对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，则{an}为( )
A．公差为2的等差数列 B．公差为1的等差数列
C．公差为－2的等差数列 D．非等差数列
解析：选A 由题意知an＝2n＋1，∴an＋1－an＝2，应选A.
4．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，且公差d≠0，则( )
A．a3a6>a4a5 B．a3a6a4＋a5 D．a3a6＝a4a5
解析：选B 由通项公式，得a3＝a1＋2d，a6＝a1＋5d，那么a3＋a6＝2a1＋7d，a3a6＝(a1＋2d)(a1＋5d)＝a＋7a1d＋10d2，同理a4＋a5＝2a1＋7d，a4a5＝a＋7a1d＋12d2，显然a3a6－a4a5＝－2d2
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