人教A版高中数学必修5讲义：2．3等差数列的前n项和.doc

天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎　 预习课本P42～45，思考并完成以下问题 ‎ ‎(1)数列前n项和的定义是什么？通常用什么符号表示？‎ ‎(2)能否根据首项、末项与项数求出等差数列的前n项和？‎ ‎　‎ ‎(3)能否根据首项、公差与项数求出等差数列的前n项和？‎ ‎　‎ ‎　　　　 ‎1．数列的前n项和 对于数列{an}，一般地称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.‎ ‎2．等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 选用 公式 Sn＝ Sn＝na1＋d ‎1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项所有项的和(　　)‎ ‎(2)an＝Sn－Sn－1(n≥2)化简后关于n与an的函数式即为数列{an}的通项公式(　　)‎ ‎(3)在等差数列{an}中，当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝an＋1(　　)‎ 解析：(1)正确．由前n项和的定义可知正确．‎ ‎(2)错误．例如数列{an}中，Sn＝n2＋2.‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.‎ 又∵a1＝S1＝3，‎ ‎∴a1不满足an＝Sn－Sn－1＝2n－1，故命题错误．‎ ‎(3)错误．当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝nd.‎ 答案：(1)√　(2)×　(3)×‎ ‎2．等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则Sn等于(　　)‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ A．n　　　　　　　　　　　 B．n(n＋1)‎ C．n(n－1) D. 解析：选D　因为a1＝1，d＝1，所以Sn＝n＋×1＝＝＝，故选D.‎ ‎3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，S4＝20，则S6等于(　　)‎ A．16 B．24‎ C．36 D．48‎ 解析：选D　设等差数列{an}的公差为d，‎ 由已知得4a1＋d＝20，‎ 即4×＋d＝20，解得d＝3，‎ ‎∴S6＝6×＋×3＝3＋45＝48.‎ ‎4．在等差数列{an}中，S4＝2，S8＝6，则S12＝________.‎ 解析：由等差数列的性质，S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，所以2(S8－S4)＝S4＋(S12－S8)，S12＝3(S8－S4)＝12.‎ 答案：12‎ 等差数列的前n项和的有关计算 ‎[典例]　已知等差数列{an}．‎ ‎(1)a1＝，a15＝－，Sn＝－5，求d和n；‎ ‎(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.‎ ‎[解]　(1)∵a15＝＋(15－1)d＝－，∴d＝－.‎ 又Sn＝na1＋d＝－5，‎ 解得n＝15或n＝－4(舍)．‎ ‎(2)由已知，得S8＝＝＝172，‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 解得a8＝39，‎ 又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.‎ 等差数列中的基本计算 ‎(1)利用基本量求值：‎ 等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．‎ ‎(2)结合等差数列的性质解题：‎ 等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用．‎ ‎　　　　‎ ‎[活学活用]‎ 设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a8＝11，则S9等于(　　)‎ A．13　　　　　　　 　　 B．35‎ C．49 D．63‎ 解析：选D　∵{an}为等差数列，∴a1＋a9＝a2＋a8，‎ ‎∴S9＝＝＝63.‎ 已知Sn求问题 ‎[典例]　已知数列{an}的前n项和Sn＝－2n2＋n＋2.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)判断{an}是否为等差数列？‎ ‎[解]　(1)∵Sn＝－2n2＋n＋2，‎ ‎∴当n≥2时，‎ Sn－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2‎ ‎＝－2n2＋5n－1，‎ ‎∴an＝Sn－Sn－1‎ ‎＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)‎ ‎＝－4n＋3.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 又a1＝S1＝1，不满足an＝－4n＋3，‎ ‎∴数列{an}的通项公式是an＝ ‎(2)由(1)知，当n≥2时，‎ an＋1－an＝[－4(n＋1)＋3]－(－4n＋3)＝－4，‎ 但a2－a1＝－5－1＝－6≠－4，‎ ‎∴{an}不满足等差数列的定义，{an}不是等差数列．‎ ‎(1)已知Sn求an，其方法是an＝Sn－Sn－1(n≥2)，这里常常因为忽略条件“n≥2”而出错．‎ ‎(2)在书写{an}的通项公式时，务必验证n＝1是否满足an(n≥2)的情形．如果不满足，则通项公式只能用an＝表示．‎ ‎　　　　‎ ‎[活学活用]‎ ‎1．已知数列{an}的前n项和为Sn＝－n2，则(　　)‎ A．an＝2n＋1 B．an＝－2n＋1‎ C．an＝－2n－1 D．an＝2n－1‎ 解析：选B　当n＝1时，a1＝S1＝－1；n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋(n－1)2＝－2n＋1，此时满足a1＝－1.综上可知an＝－2n＋1.‎ ‎2．已知Sn是数列{an}的前n项和，根据条件求an.‎ ‎(1)Sn＝2n2＋3n＋2；‎ ‎(2)Sn＝3n－1.‎ 解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝7，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n＋2)－[2(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝4n＋1，又a1＝7不适合上式，‎ 所以an＝ ‎(2)当n＝1时，a1＝S1＝2，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－1)－(3n－1－1)＝2×3n－1，显然a1适合上式，‎ 所以an＝2×3n－1(n∈N*).‎ 等差数列的前n项和性质 ‎[典例]　(1)等差数列前n项的和为30，前2n项的和为100，则它的前3n项的和为(　　)‎ A．130 B．170‎ C．210 D．260‎ ‎(2)等差数列{an}共有2n 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于________．‎ ‎(3)已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝________.‎ ‎[解析]　(1)利用等差数列的性质：‎ Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列．‎ 所以Sn＋(S3n－S2n)＝2(S2n－Sn)，‎ 即30＋(S3n－100)＝2(100－30)，‎ 解得S3n＝210.‎ ‎(2)因为等差数列共有2n＋1项，所以S奇－S偶＝an＋1＝，即132－120＝，解得n＝10.‎ ‎(3)由等差数列的性质，知 ＝＝＝＝＝.‎ ‎[答案]　(1)C　(2)10　(3) 等差数列的前n项和常用的性质 ‎(1)等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k…组成公差为k2d的等差数列．‎ ‎(2)数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列为等差数列．‎ ‎(3)若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，‎ ‎①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝；‎ ‎②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝.　‎ ‎　　　‎ ‎[活学活用]‎ ‎1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a11＋a12＋a13＋a14＝(　　)‎ A．18 B．17‎ C．16 D．15‎ 解析：选A　设{an}的公差为d，则a5＋a6＋a7＋a8＝S8－S4＝12，(a5＋a6＋a7＋a8)－S4＝16d，解得d＝，a11＋a12＋a13＋a14＝S4＋40d＝18.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎2．等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项和为________．‎ 解析：因为an＝2n＋1，所以a1＝3，‎ 所以Sn＝＝n2＋2n，‎ 所以＝n＋2，‎ 所以是公差为1，首项为3的等差数列，‎ 所以前10项和为3×10＋×1＝75.‎ 答案：75‎ 等差数列的前n项和最值问题 ‎[典例]　在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求前n项和Sn的最大值．‎ ‎[解]　由S17＝S9，得 ‎25×17＋d＝25×9＋d，‎ 解得d＝－2，‎ ‎[法一　公式法]‎ Sn＝25n＋×(－2)＝－(n－13)2＋169.‎ 由二次函数性质得，当n＝13时，Sn有最大值169.‎ ‎[法二　邻项变号法]‎ ‎∵a1＝25＞0，由 得即12≤n≤13.‎ 又n∈N*，∴当n＝13时，Sn有最大值169.‎ 求等差数列的前n项和Sn的最值的解题策略 ‎(1)将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决．‎ ‎(2)邻项变号法：‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 当a1>0，d